山东省某中学2024-2025学年高一年级下册4月月考数学试题（解析版）

山东省实验中学2024-2025学年高一4月月考

数学试题

时间：120分钟满分：150分

一、单选题

_r60。而=(2,0),阔=1\a+2b\=

1.已知平面向量。与°的夹角为V711，贝以1()

A.布B.273C.4D.12

【答案】B

【解析】

【分析】由数量积定义结合向量模长公式即可计算求解.

【详解】由题得同=2,⑦6=同/以《60。=2*1*3=1,

所以卜+2*J(a+2,=V«2+4P+4a-^=,4+4+4=273.

故选：B.

l+3z

2-(W

c.一。」31.

BY+LD.——+—z

22222222

【答案】A

【解析】

【分析】首先计算(1+1)2,之后应用复数的除法运算法则，求得结果.

1+3,1+3，31.

［详解］7—^------=--------1

1+,2i22'

故选A.

【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.

3.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是)

A.长方体B.圆锥C.棱锥D.圆台

【答案】D

【解析】

【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.

对于A项，如图1,用平面ACR截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确;

对于B项，如图2,用平面A钻截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；

对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角

形，故C项正确；

对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.

故选：D.

4.给出下列几个说法：

①过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.

其中正确说法的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行，垂直的关系判断即可.

【详解】对于①：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,正确；

对于②：过已知直线上一点有无数条直线与已知直线垂直，错误；

对于③：过平面外一点有无数条直线与该平面平行，错误；

对于④：过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，正确.

故选：C.

5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒

尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八角攒尖为例，它的主要

部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为1,则侧棱与底面外接圆

半径的比为（）

3万,3兀

ccos——-sin——

A.3〃B..3万C.8D.8

cos一sin——

88costzsina

【答案】C

【解析】

【分析】

37r

设。为正八棱锥S—A3cDEFG”底面外接圆心，连接Q4,OB,0E,由题意可得，ZOAB=—

8

ZSAB=a,运用锐角三角函数可得选项.

【详解】如图，。为正八棱锥S—ANCDEFGH底面外接圆心，连接。4,OB,0E,由题意,

371

37rcos——

ZOAB=—,Z.SAB=a，K'J-AB=&4-costz=OA-cos—^―8

8

280Acosa

【点睛】本题考查对数学文化的理解，以及空间中的角的实际运用，考查空间想象能力，属于中档题.

—►1—►1—►

6.已知VA5C中，D,E分别为线段AS5C上的点，直线AE,CD交于点尸，且满足3P=—氏4+—3。,

62

则13的值为（）

'△BPE

45510

A-B.-C.-D.—

3239

【答案】C

【解析】

【分析】令丽=〃或，BE=ABC^令丽=/配，BD=kBA＞利用平面向量基本定理确定点

P,E,D的位置即可求解作答.

【详解】如图，令丽=〃丽，BE=ABC，

于是丽=丽+丽=而+〃丽=而+〃（丽_函=（1-〃）而+〃丽=〃1_〃波+〃丽，

而丽=工丽账，并且丽，就不共线，因此〃=1,2（1—〃）=工，解得4=3,

62625

令加=/加，BD=kBA^

则丽=丽+丽=丽+「反=丽+f（而一丽）=（1一/）而+/第=左（1一。丽+「前，

从而7=工,左（1—。=工，解得左=4/=工，因此点p是线段C£＞的中点，

2632

33SBPD5

所以S.BPE=£S.BPC=£S.BP»，所以产=子

故选：c

【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

7.锐角VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB—sinA（sinC+cosC）=0,

a=^2，c=6，则C=（）

兀兀71一2

A.—B.—C.一D.—71

3643

【答案】A

【解析】

【分析】根据sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC进行化简得到cosA=sinA,求出A=乌，利

4

用正弦定理得到幽昱,jr

sinC=4=从而求出c=—

a23

(详解】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

则sinAcosC+cosAsinC—sinAsinC—sinAcosC=0,即cosAsinC—sinAsinC=0,

qr

因为sinCwO,所以cosA=sinA,解得：A=~,

4

由正弦定理得一^=-^,所以sinC=&A=Y3，

sinCsinAa2

TT

又。为锐角，所以c=—,

3

故选：A.

8.已知VA5C斜二测画法下的直观图是边长为2的正三角形(如图所示)，则AC=()

A.128—26B.710-2A/3C.373D.4

【答案】A

【解析】

【分析】过C作C'N7/x'轴，与V轴交于点N',由正弦定理可求出AN'和C'N'的值，再在平面直角坐

标系中得出AN与CN,利用勾股定理可得AC.

【详解】如图所示，

过C作C'N'//x'轴，与y'轴交于点N',

则Z.CAN'=60°-45°=15°，ZA'C'N'=120°,ZAN'C=45°,

C'N'A'N'A'C

由正弦定理得

sinNC'A'N'sinNC'AN'sinZA'N'C

C'N'AN'2

即nn------=--------=-------

sin15°sin120°sin45°

则=—1，A'N'=V6>

二、多选题

9.己知z=a+6i(a,6eR)为复数，N是z的共辗复数，则下列命题一定正确的是()

A.若z?为纯虚数，则。=。力0B.若』eR,则ZGR

Z

C.若|z—i|=l,则目的最大值为2D.z-z=|z|2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据复数的运算，复数的定义，复数模的三角不等式及共轨复数的定义，计算求解后判断即得.

_^2_Q

【详解】对于A,z2=(a+4)2=(二一廿)+2a历为纯虚数，所以《匕力。〜，即。=9/0,所以

A错误；

1_1_a-bi_ab

对于B，za+bi(a+bi)(a-bi)a2+b2a2+Z72，

因为』cR,所以6=0,从而zeR,所以B正确；

z

对于C,由复数模三角不等式可得闫=|(z-i)+i|<|z-i|+|i|=2,所以C正确；

对于D,z-z=(a+Z?i)(a-Z?i)=a2+kr=1.z|2,所以D正确.

故选：BCD.

10.如图，M,N为正方体中所在棱的中点，过",N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为()

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】BD

【解析】

【分析】由正方体的对称性即可得解.

【详解】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，

如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.

故选：BD

11.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-A4G2中，M,N分别为棱G2，GC的中点，则下列结论

正确的是（）

A.直线BN与"片是异面直线

B,直线40与3N是平行直线

C.直线脑V与AC是相交直线

9

D,平面截正方体所得的截面面积为一

2

【答案】AD

【解析】

【分析】对于ABC：根据异面直线的定义来判断；对于D：四边形为平面截正方体所得的

截面，求梯形面积即可.

【详解】即＜=面3。。］用，面3CG用=片，所以直线BN与“5是异面直线，故A

正确；

ABu面A3CD，MNC面ABCD=P,P^AB,所以直线A3与MV是异面直线，即直线40与BN

是异面直线，故B错误；

ACu面ABC。，面ABCD=P,P^AC,所以直线MN与AC是异面直线，故C错误;

明显MN//45,故四边形43NM为平面截正方体所得的截面,

2

MN=y/2,AlB=2y/2,AlM==®BN=^BC+CN~=6,

四边形ABN70是等腰梯形，则梯形的高是/z=

所以梯形的面积S=gx（后+20卜半=〈，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

12.如图，在△OAB中，P为线段上一点，则而=xOX+y砺，若Q=3而，I市1=4,

UUU

1081=2，且。4与08的夹角为60°,则OP.AB的值为.

【答案】-3

【解析】

【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用而，函表示赤与南，然后利用数量积的运算律求解

即可

【详解】因为通=3而，所以经=:题=:（四—西），

44

__._____.__.__,__.]__,Q__.__.__.

所以加•方=（两+硒•（砺一两=（—西+—函•（砺—两

44

=--OA+—OB2-—OA-OB=--xl6+—x4——x4x2xcos60°=—3,

442442

iPO?-AB=-3，

故答案：-3

13.已知圆台的上、下底面的周长分别为2兀，471,母线长为行，则该圆台的体积为.

__._14兀14

【答案】——##一兀

33

【解析】

【分析】根据圆台的体积公式V=；（S]+S2+廊;）/1代入求解即可.

【详解】因为圆台的上、下底面的周长分别为2兀，471,母线长为6，

所以该圆台上、下底面的半径分别1,2,

如图所示：

即OA=1,O]B=2,AB＜，所以3c=1,

所以直角梯形。4eq的高AC=y/AB2-BC2=2,故圆台的高为2，

TIX2IX2X

则圆台的体积V=g(S1+S2+店呢“=gx(兀xF+兀*2?+V1X72)2=一.

华田…、14K

故答案为：---

3

14.正三棱台ABC-A31G的上底面边长钻=2,下底面边长A4=4,棱台的高为2,则该正三棱台的

侧面积为.

【答案】3739

【解析】

【分析】还台为锥，P-AGG为正三棱锥•由正弦定理求出三棱台上下底面外接圆的半径，进而根据相似

三角形以及已知条件推导得出正三棱锥的侧棱长以及高，进而得出棱台的高，即可得出答案.

过点尸作出正三棱锥P-4四。1的高尸。，交棱台上底面于点。，交下底面于点。「

连结AO,4日厕易知△PAOSAPAOI.

因为VABC为正三角形，。是VABC的中心，互=2,

AB_

由正弦定理可得，°,所以。A=出.

sin—3

3◊

同理可得，。]4=半

POPAOA1

因为所以的=方=而=，.

因为OO{=PO1—PO=PO=2,

所以，Pq=4.

又平面平面,

PO11A4G,aau

所以，PQ10^.

在RIAPO^中，「a=J(pgy+(aA)2=手•

所以，PA=-PAI=^-,所以A4,=Wi.

取AB,44中点分别为D,R,连结PD,DD],则是等腰梯形ABB^的高.

在等腰三角形E4B中，显然有LAB,

且AD=1，巳4=逋，所以PD==叵,

33

所以。2二叵.

13

所以，S^BB1A=5x(43+44)x="s/^'・

乙L3

所以，该正三棱台的侧面积为3廊.

故答案为：3炳.

四、解答题

15.设三角形A3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC=Z?-1c.

2

(1)求角A的大小；

(2)若a=5求三角形ABC面积S的最大值.

【答案】(1)-；(2)述.

34

【解析】

【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用三角形内角和消去5,再化简求值;

（2）利用余弦定理得。2+/=庆+3,再根据基本不等式即可求出3,再根据面积公式求出最大

【详解】（1）由正弦定理:tzcosC=b——。可化为sinAcosC=sinB——sinC,

即sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC——sinC,

2

所以cosAsinC-LsinC=0,

2

又sinCwO,所以COSA=L,

JT

因为OvAv%,所以A=§；

%2：2_q1

(2)由余弦定理得cosA=3^~

2bc2

即=bc+3,

所以Z?c+322Z?c,所以〃cW3,

所以AABC面积S=L6csinA«Lx3x@=逑.

24

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，属于中档题.

16.（1）在复平面内，若砺、砺对应的复数分别为7+i、3-2i,求|顺J；

⑵复数z满足（l+2i）1=4+3i,求z；

（3）己知加eR,复数z=m2+2m-3）i,当"?为何值时,

①zeR；②z是纯虚数.

【答案】（1）5；（2）2+i；（3）①-3；②。或2.

【解析】

【分析】（1）根据复数的几何意义即可求解；（2）根据复数的运算法则和共辗复数的概念即可求解；（3）根据

复数的概念即可求解.

【详解】（1）：OA，而对应的复数分别为7+i、3—2i,

__»uuu

AOA=(7,1),OB=(3-2),

AB=OB—OA=(-4,-3),**.|AB|={(-4)2+(-3)?=5;

(2)v(l+2i)z=4+3i,?.(1-2i)(l+2i)z=(1-2i)(4+3i),A5z=10-5i，

z=2—i>,・z=2+i；

m2+2m-3=0,

(3)@VZGR，解得m=—3

m-10

m(m—2)

-----------=0、

②・・・z是纯虚数，.•.<m—1,解得根=0或相=2.

m2+2m—3w0

17.已知平面向量a,B的夹角为60°,且—

(I)求IB最大值;

(II)求(〃-石)•(〃+2石)的最大值.

【答案】(I)I；(II)73--.

22

【解析】

【分析】对等式|Z-同=1进行平方，根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合基本不等式进行求解

即可；

(II)结合(I)把Q-为-0+26进行化简并构造成关于同,W的双齐次式，利用换元法，结合基本不

等式进行求解即可.

rrrrrrrrrr3\r\1

【详解】(I)|a-〃|二ln(a—力y2+b2-2a-b=1=>a2+b2-2|^|-|Z?|--=1

n口2+/-口响=1'因为阵+国222同卡卜所以1+1阴221阳―卜雨《1,

而。・。=卜上仲/45，所以的最大值3；

/TT\——►—►-2—►—►-2-2\\-2

(II)(a-b)-(a+2b)=a+a-b-2b=a+-2bf

设/=加,W=〃,由(i)可知：口~+忸1—B'q=1,

即m2+/_mn=1,显然znw0,〃w0,

苏+2-2"(马2+"_2

一一一一crm

因止匕（。一石）,（a+2b）=m2+—^~-2/=--------=」加—

m+n—mn(生/_2十］

nn

,2iIo33

令生=十〉0),则/+2—2弓”2)2(52)

4-------=1+

nt2-t+1r-t+l("2)2+3(”2)+3

3,3

—k—

设t—2=k(k>—2),则1+"乙.=1+—l—

左+3k+3—+3

因此要想（Z-历＜£+2历有最大值,一定有左＞0,

因为左+（+322小小（+3=28+3（当且仅当左=g时取等号，即左=6时取等号）,

3

所以1-I------1----<1+77*--------r=也-77，

左+之+323+262

k

因此（。一B＞（a+2B）的最大值为君-；.

【点睛】关键点睛：对于第2问构造关于同，同的双齐次式，通过换元法、基本不等式是求解的关键.

18.如图，已知在直角梯形ABC。中，A