提优点6　奔驰定理与三角形四心

板块二提优点6奔驰定理与三角形四心(分值：52分)单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分.一、单选题1.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()eq\f(2,9)，eq\f(4,9) eq\f(4,9)，eq\f(2,9) eq\f(1,9)，eq\f(2,9) eq\f(2,9)，eq\f(1,9)2.点P在△ABC内部，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC＝()2∶1 3∶2 3∶1 5∶33.已知O是△ABC内一点，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()eq\f(\r(3),3) eq\r(3) eq\f(\r(3),2) eq\f(2,3)4.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的()外心 内心 重心 垂心5.如图，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()1∶2∶3 1∶2∶42∶3∶4 2∶3∶6二、多选题6.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则()eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,5) eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(1,3)eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5) eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(3,4)7.已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有()若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则S△BOC∶S△AOC∶SAOB＝4∶3∶2若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，∠AOB＝eq\f(2π,3)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC＝eq\f(9\r(3),4)若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则O为△ABC的垂心若O为△ABC的内心，且5eq\o(OA,\s\up6(→))＋12eq\o(OB,\s\up6(→))＋13eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则∠ACB＝eq\f(π,2)三、填空题8.△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的外接圆面积为________.9.(2024·丽水调研)若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.则△ABC的面积为________.10.已知点P，Q在△ABC内，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\