题型四 圆的相关证明与计算-2025年中考数学重难题型分类练（含答案）

题型四圆的相关证明与计算

类型一圆基本性质的证明与计算

1.(2024浙江)如图在圆内接四边形ABCD中.AD<AC,^ADC<NBA。延长AD至点E,使4E=4C,,延长

BA至点F,连接EF,使^AFE=ZXDC.

(1)若^AFE=60。,CD为直径,求N4BD的度数.

(2)求证:(①EF||BC;

第1题图

2.(2024烟台)如图,AB是。O的直径，△ABC内接于。O，点I为△48C的内心,连接CI并延长交。O于点

D.E是船上任意一点.连接AD.BD,BE,CE.

(1)若^ABC=25。,求NCEB的度数；

⑵找出图中所有与DI相等的线段，并证明；

(3)若CI=2V2,D/=芳VX求△MC的周长.

D

第2题图

类型二与切线有关的证明与计算

3.(2024遂宁)如图,AB是。O的直径,AC是一条弦，点D是左的中点，DN回4B于点E,交AC于点F,连接DB

交AC于点G.

⑴求证：AF=DF;

⑵延长GD至点M,使。M=DG,连接AM.

①求证:AM是。O的切线；

②若DG=6,DF=5,求。O的半径.

M

第3题图

4.新考法新设问(2024云南定心卷)如图，△48C内接于。O,且AB为。。的直径,。。外的点D在射线A

C上，过点D作DE垂直AB的延长线于点E,且BD平分工ADE.

(1)求证：BC=BE;

(2)若AD=1-3,DE=5,求AC的长；

(3)过点B作。O的切线BF,交AD于点F,是否存在常数k，使嗟=k♦甯成立?若存在，求常数k的值；

若不存在，请说明理由.

第4题图

5.|一题多设问(2024云南)如图,AB是。O的直径点D,F是OO上异于A,B的点点C在。。外,(C4=CD,延

长BF与CA的延长线交于点M,点N在BA的延长线上，UMN=AABM,AM-BM=AB-MN.点H在直径AB上,

UHD=90。,点E是线段DH的中点.

⑴求"FB的度数；

⑵求证:直线CM与。O相切；

(3)看一看，想一想,证一证：

以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：(CE+EB<CB,CE+EB=CB,CE+EB>C8,你认为

哪个正确?请说明理由.

第5尊图

⑷设BC交0O于点G,AG,HD的延长线交于点K,关于线段DK,线段DE有关的两个结论：DK=2DE,DK=|

DE,你认为哪个正确?请说明理由.

6.(2024福建)如图，在△力BC中，4BAC=90°,AB=AC,,以AB为直径的。O交BC于点D,4EE10C,垂足

为E,BE的延长线交通于点F.

⑴求写的值；

(2)求证：AAEBABEC-,

(3)求证:AD与EF互相平分.

7.（2024河北）已知。O的半径为3,弦MN=2V5.A4BC中,4ABC=90°,AB=3,BC=3店在平面上,先

将△4BC和0O按图①位置摆放（点B与点N重合，点A在。O上，点C在。O内），随后移动△4BC,使点B在

弦MN上移动，点A始终在。O上随之移动.设BN=%.

（1）当点B与点N重合时，求劣弧瓶的长；

⑵当。川时，如图②，求点B到OA的距离,并求此时x的值；

⑶设点O到BC的距离为d.

①当点A在劣弧MN±,且过点A的切线与AC垂直时,，求d的值;

②直接写出d的最小值.

图①图②备用图

第7题图

8.(2024湖南省卷)【问题背景】已知点A是半径为r的。O上的定点，连接OA,将线段OA绕点O按逆时针

方向旋转«(00<a<90°)得至!]OE,连接AE,过点A作。O的切线1,在直线1上取点C,使得NC71E为锐甬

【初步感知】

⑴如图①，当a=60。时，ACAE=_°;

【问题探究】

⑵以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD相交于点F.

①如图②，当AC=2r时，求证：无论a在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总成立；

②如图③，当4C="喘=|时,请补全图形,并求tana及:的值.

3OE3BC

题型四圆的相关证明与计算

1.⑴解:•・・CD是直径,

JZCBD=90°,

・・・NADC=NAFE=60。,四边形ABCD是圆内接四边形，

・•・ZABC=180°-ZADC=120°,

JZABD=ZABC-ZCBD=30°;

⑵证明：①:四边形ABCD是圆的内接四边形，

.*.ZADC+ZABC=180°,

ZAFE=ZADC,

.*.ZAFE+ZFBC=180°,

・・・EF〃BC;

②如解图，将^AFE绕点A顺时针旋转使得点E和点C重合，得到△ACG,

贝!]ZAGC=ZAFE=ZADC,ZEAF=ZCAG,CG=EF,

VZADC+ZABC=180°,

.,.ZAGC+ZABC=180°,

即点G在该圆上.

由圆内接四边形性质可知，

ZDAB+ZBCD=180°,

VZEAF+ZBAD=180°,

・•・NEAF=/BCD,

ZEAF=ZCAG=ZBCD,

...BD=CG,

ABD=CG,

即EF=BD.

第1题解图

2.解:(1)・・・AB是。O的直径，

・•・NACB=90。，

•・・ZABC=25°,

・•・ZBAC=65°,

・・,四边形ABEC为。O的内接四边形，

.*.ZBAC+ZCEB=180°,

・•・乙CEB=180°-65°=115°;

(2)

解题思路

根据I为八ABC的内心，连接ALBI,可得到NDCA=NDCB,/BAI=NCAL根据同弧所对的圆周角相等得到NDA

B=NDCB,可推出NDIA二NDAI,同理NDIB=NDBI,即可得证DA二DI=DB.

DI=DA=DB,

证明:如解图，连接ALBI,

•・•点I为△ABC的内心，

ACD平分NACB,AI平分NBAC,

ZDCA=ZDCB,ZBAI=ZCAI,

VZDAB-ZDCB,

:.ZDCA=ZDAB,

・・・NDIA为工AIC的外角，

:.ZDIA=ZCAI+ZDCA,

NDAI=NDAB+NBAI,

ZDIA=ZDAI,

ADI=DA.

同理可得,NDIB=NDBI,

ADI=DA=DB;

(3)

解题思路

I为△ABC三条角平分线的交点，由角平分线上的点到角两边距离相等，将AC,BC部分长度转化到AB边上

去，求出剩余长度与CI的关系，即可求出4ABC的周长.

解：如解图，过点I分别作AC,AB,BC的垂线，垂足分别为F,G,H,

由(2)得，D1=DA=DB=吟

.•.在RtAABD中,AB=-2+B"=13)

:点I是△ABC的内心，

.*.AI平分/FAG,

ZFAI=ZGAI,

ZAFI=ZAGI=90°,

/.AAFI^AAGI(AAS),

；.AF=AG,

同理,BG=BH,

ZACB=90°,CI平分NACB且IF±FC,

•••△FIC为等腰直角三角形，

CF=—CI=2,

2

同理，CH^^CI=2,

.二△ABC的周长为AB+AC+BC=2AB+2CF=26+4=30.

3.(1)

解题思路

要证明线段相等，需证明等腰三角形两个底角相等.

证明：如解图，连接AD,

第3题解图

是^山:的中点，

AD=CD,

：.NABD=NCAD,

,.,DN±AB,AB为。O的直径,

•••ANAD,

・•・NADN=NABD,

・•・ZADN=ZCAD,

AAF=DF;

(2)①

解题思路

由AB为直径，推出NADB=90。,再结合DM=DG,得到AD是MG的垂直平分线,由等角代换求出ZBAM的值即

可证明切线.

证明：如解图，VAB为。O的直径，

ZADB=90°=ZADM,

JZB+ZBAD=90°,

VDM=DG,

・•・AD是MG的垂直平分线，

JZMAD=ZGAD,

VZGAD=ZB,

.\ZMAD=ZB,

ZMAD+ZBAD=ZB+ZBAD=90°,

ZBAM=90°,

VAB为。O的直径，

JAM是。O的切线；

②

解题思路

由DN_LAB,推出DE〃AM,得至以GDFs/^GMA,求出AM值，利用勾股定理求出AD值,再由tanM=—

MD

=工,即可求出直径AB,进而得到半径长.

解:,.,DG=6,

・・・DM=DG=6,MG=12,

VDN±AB,ZMAB=90°,

ADE/7AM,

AAGDF^AGMA,

,DG_DF_6_1

,•MG-MA—12-2，

VDF=5,

AAM=10,

•••AD=VXM2-MD2=8,

解得力

・・・。0的半径为y.

4.⑴证时VAB是。O的直径，

JZACB=90°,

・•・ZBCD=90°.

VDEXAB,

・•・ZAED=90°,

•「BD平分NADE,

ABC=BE;

(2)解:在RtABCD和RtABED中,

rBC=BE

[BD=BD'

ARtABCD^RtABED(HL),

・・・CD=ED=5,

AAC=AD-CD=13-5=8;

一题多解

在RtAAED中,NAED=9(r,AD=13,DE=5,

・•.AE=Vi4D2-DE2="32-52=12.

设BC=BE=xJU!JAB=12-x,

•・・ZAED=90°,

..DE5

•••smA=—=—.

AD13

又：NACB=90。，

..BCx

•••smA=—=-----.

AB12-x

x_5

•・12-x-13'

10

・•・X=—.

・•・AC=VaB2-BC2=J管)2_(£)2=8；

(3)

解题思路

第一步:证明△ACBs^AED得至U*=笫

ACAE

解：存在常数k=l,使竿=上•曙成立.

ACAD

理由如下：

NA=NA,NACB=NAED,

.'.△ACB^AAED,

tAB_AD

''AC-AE'

第二步:由BF为OO的切线得到/ABF=90。,推出/A=/CBR得到△AEDs^BCR得至I」答=常

ADBF

・・・BF为。。的切线，

・•・ZABF=90°,

・•・ZABC+ZCBF=90°.

・・ZABC+ZA=90°,

・•・NCBF=NA.

VZE=ZBCF,

AAAED^ABCF,

DEFC

ADBF,

第三步：将泮=k•鬻进行化简，将第一，二步得到的比例式子进行等量代换即可求出k值.

ACAB

CFAE,FBDE

假设<--------,

ACAB

CFAEABCFAEABDEAEAD

则々=------=--=--14.

ACBFDEBFDEACADDEAE

••・存在常数k=l,使暧=h甯成立•

一题多解

存在常数k=l,使嗟=h甯成立.

理由如下：

〈BF切。0于点B,

ABFXAB,

・•・ZABC+ZCBF=90°.

ZACB=90°,

・•・ZA+ZABC=90°,

二•NA=NCBF,

・・・ZACB=ZBCF=90°,

pf

・•・tan/=—,tanzCBF=—,

ACBC

•••tanX•tanzCBF=tanX-tanA=—•—=—

ACBCAC

*：ZAED=90°,ZABF=90°,

,ADE_ABF

•••tanA=—,tanA=——.

AEAB

A」.DEBF

••・tanA•tan/=---------,

AEAB

J._C_F^3_D_E._B_F

••AC~AEAB"

.CFAE_FBDE

••AC~AB'

要使嗟=卜•甯成立，

只需令k=l,

..•存在常数k=l,使若=k•若成立.

5.(1)解:：AB是。O的直径，点F是。O上异于A,B的点，

.­.4AFB=90°;

⑵证明：：AMBM=ABMN,

tAM_AB

••MN-BM"

•••乙AMN=/LABM,

AAAMN^AABM,

JZNAM=ZMAB.

ZNAM+ZMAB=180°,

JZNAM=ZMAB=90°,

AOA1CM.

•・,OA为。。的半径，

，直线CM与。O相切；

⑶证明:我认为CE+EB=CB正确，

理由如下:如解图①，连接OC,OD,AD,BD,设OC交AD于点G,

第5题解图①

VOA=OD,

・••点O在线段AD的中垂线上，

VCA=CD,

・••点C在线段AD的中垂线上，

AOCXAD,

JZOGA=90°,

VAB是。O的直径，

JNADB=90。，

AZOGA=ZADB,

・・・OG〃BD,

・•・ZAOC=ZABD.

ZAHD=90°,

JNDHB=90。，

•••tan^HBD="tan乙HBE=

BHBH

YE为DH的中点，

EH=^DH,

FH1

・•・tan^HBE=—=

BH2

—,tan^ABC=—AO=-AB,

•••tanzXOC=AOAB2

tanZ.ABC=-tanZ-AOC,

2

VZAOC=ZABD,

tanZHBE=tanZABC,

.\ZHBE=ZABC,

AB,E,C三点共线,

.\CE+EB=CB.

一题多解

⑶证明：我认为(CE+EB=正确，

理由如下：

如解图②，连接OC,OD,过点B作。O的切线，交CD的延长线于点K,设BC与DH交于点G,

OA=0D

在小OAC和4ODC中｛0C=0C„

CA=CD

.,.△OAC^AODC(SSS),

ZOAC=ZODC.

由(2)知OA±CM,

ZOAC=ZODC=90°,

/.ODXCD.

；OD为。。的半径，

；•CK为。O的切线.

：BK为。。的切线，

/.DK=BK,BK±AB.

VDH±AB,CA±AB,

；.AC〃DH〃BK,

BHGBACACDG△CKB,—=

•­•AAABCK'

GH_BHGD_CD

''AC~ABfBK-CK'

.GH_DKGD_BK_DKGH_GD

,•AC—CK'CD-CK-CK'AC—CD，

VCA=CD,

.*.GH=GD,

•••点G是线段DH的中点，

•，点E是线段DH的中点，

•••点G与点E重合.

线段BC经过点E,

ACE+EB=CB.

一题多解

⑶证明:我认为CE+EB=CB正确,理由如下:如解图③，连接OC,OD,

0A=0D

在^OAC和^ODC中｛。。=0C〃

CA=CD

:•△OAC会△ODC(SSS),

JZCDO=ZCAO=90°,

连接BD并延长与AC延长线交于点P,设BC与DH交于点G,

ZCDO=ZCAO=90°,ZBAC=90°,

・•・ZP+ZOBD=90°,ZCDP+ZODB=90°,

VOD=OB,

AZODB=ZOBD,

・•・ZP=ZCDP,

ACP=CD,

TCA=CD,

・・・AP=2AC,

ZCAO=ZBHD=90°,

・・・AP〃HD,

AABHG^ABAC,ABHD^ABAP,

HB_HGHB_HD

"BA-AC'BA-APl

tHG_HD

••AC-AP"

VAP=2AC,

；.HD=2HG,即G为HD中点，

又「E是DH的中点，

•••点G与点E重合，

/.CE+EB=CB.

解题技巧

本题求证CE+BE与CB的数量关系,只需证明CE与BE共线即可，可用方法一：证明/HBE=/ABC或方法二、

三：利用三角形相似.

(4)解我认为DK=2DE正确.理由如下:

如解图④，延长DE交。0于点Q,

第5题解图④

根据相交弦定理知：

DEEQ=GEEB,

又：AB为直径,AB_1DQ,

；.HQ=HD,

：DE=HE,

/.QE=3DE.

又：ZKGE=180°-ZAGB=90°=ZEHB,ZGEK=ZHEB,

/.△EHB^AEGK,

.,.EHEK=EGEB,

/.EK=EQ=3DE.

；.DK=2DE.

6.(1)

解题思路

由/BAC=90。,且AE_LOC,利用tan乙4OC=—=空即可求解.

AOOE

解:TAB=AC,且AB是。O的直径，

・・・AC=2AO.

ZBAC=90°,

：.在RtAAOC中，tan〃OC=^=2.

VAEXOC,

,_.AF

...在中，

1RtAAOE15tanzXOC=O—E.

•AE—)•OE——1,

''OE~，••4E・2，

(2)

解题思路

第一步：利用倍长中线0E，构造与4AEO全等的三角形，求出/OEB的度数；

证明：如解图①，过点B作BM〃AE,交EO的延长线于点M.

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

VAO=BO,

/.△AOE^ABOM(AAS),

,>.AE=BM,OE=OM.

tOE_l

'AE~?!

ABM=2OE=EM,

ZMEB=ZMBE=45°,

第二步:由AE_LOC,推出NAEB=BEC;

JZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,

乙BEC=180°-乙MEB=135°

JZAEB=ZBEC.

第三步:由AB=AC,且NBAC=90。,推出NCBA的度数，再由第一步证明的三角形全等，通过等角计算，推出N

BAE=ZCBE即可得证.

VAB=AC,ZBAC=90°,

JNABC=45。，

・・・NABM=NCBE,

JZBAE=ZCBE,

AAAEB^ABEC;

⑶

解题思路

第一步:由AB=AC,NBAC=90。且NADB=90。,推出2BD=BC,由⑵知△AEBs^BEC,推出△AOEs/\BDE,进而

推出AF〃DE;

证明：如解图②，在解图①的基础上，连接DE,DF.

VAB是。0的直径，

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

VAB=AC,ZBAC=90°,

；.BC=2BD,/DAB=45。.

由(2)知,AAEB^ABEC,

AEAB2A0AO「“八厂”

・•・——=—=——=—,Z-EAO=Z-EBD,

BEBC2BDBD

AAAOE^ABDE,

ZBED=ZAEO=90°.

JZDEF=90°.

ZAFB=ZDEF,

・・・AF〃DE.

第二步:由⑵知NAEB度数推出/AEF=/DFB,进而推出AE〃FD;

由⑵知,NAEB=135。,

^.AEF=180°-4AEB=45°

,/ZDFB=ZDAB=45°,

ZDFB=ZAEF,

；.AE〃FD,

第三步：由两组对边分别平行推出四边形AEDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质进行证明.

..•四边形AEDF是平行四边形，

；.AD与EF互相平分.

7.解:⑴如解图①.连接OA,ON,

VAN=OA=ON=3,

.•.△AON是等边三角形，

ZAON=60°,

；・劣弧AN的长为丝等=兀;

loU

第7题解图①

⑵

解题思路

第一步：将点B到AO的距离转化成点O到MN的距离是解题的关键，然后利用垂径定理即可求解点B到A

0的距离；

如解图②，过点o作ODLMN于点D,过点B作BEXAO于点E,连接ON,

贝！JDN=3MN=V5,

VON=3,

OD=yj0N2-DN2=J32—(与之=2,

BE=OD=2,

•••点B到OA的距离为2.

第7题解图②

第二步：利用勾股定理求出AE,然后求解x即可.

AE=7AB2—BE2=V32—22=V5,

BD=E。=4。-4E=3-逐，

x=BN=BD+DN=3-V5+V5=3;

(3)

解题思路

由勾股定理求出AC,再根据半径求出CO,利用相似三角形即可求出0到BC的距离d.

①过点A的切线与AC垂直时，AC过圆心0,如解图③，过点0作OFXBC于点F,

AC=7AB2+BC2=J32+(3/『=3V3,

ZABC=ZOFC=90°,ZACB=ZOCF,

AABC^AOFC,

崇=徐甯，解得d=3-丹

第7题解图③

【解法提示】如解图④，过点0作OUBC于点J,连接0B,在RtAOBJ中，•：0]=回济二彳,••当0B最

小时，即OBJ_MN时,d最小，过点A作AQ±BO于点Q,连接OA,：AB=AO=3,AQ，OB,；.BQ=|OB=1,VAABQ△

BOJ,微焉《°〕=|-d的最小值为|

MBN

第7题解图④

8.⑴解:30;

【解法提示】•?ZAOE=a=60°,OA=OE,.\△OEA是等边三角形,；./OAE=60。,：直线1是。O的切线,

ZOAC=90°,.\ZCAE=90°-60°=30°.

(2)

解题思路

由AC=2r,推导得出4OAE04FCD才隹出AE=CD即可证明.

①证明:：OA=OE,

ZOAE=ZOEA,

ZAOE=a,

ZOAE+ZOEA+a=180°,

・•・Z-OAE=-1-8-0-°---C-C=9r0xr\a--a1.

22

ZOAC=90°,

Z.DAC=|cr;

•••四边形ABCD是矩形，

1

・•.FA=DF,CF=DF=^AC=r,BC=AD,

Z.FAD=Z-FDA=；a,

ii

•••Z-CFD=-a+-a=a.

22

VOA=OE=r,

.,.OA=FC,OE=FD,

XVZAOE=ZCFD,

/.△OAE^AFCD,

・・・AE二CD.

,.・BC=AD,AD=AE+DE,

BC=CD+DE;

②解：