题型五 新函数图象与性质探究题-2025年中考数学重难题型分类练

题型五新函数图象与性质探究题

类型一新函数性质探究

1.（2024吉林省卷）小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示，输入x

的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.

⑴直接写出k,a,b的值；

（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图②.

I.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；

II.若关于x的方程ax2+bx+3-t0（t为实数），在（。<x<4时无解,求t的取值范围；

III.若在函数图象上有点P,Q（P与Q不重合）.P的横坐标为m,Q的横坐标为-根+1“小明对P,Q之间（含

P,Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围.

I输入XI

|y=h+3]髭

345

图①第1题图

2.（2023阜新）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数丫=水3+（^,b,c是常数，a/））的性质进行了初步探究，

部分过程如下，请你将其补充完整.

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图①图②

第2题图

⑴当a=l,b=c=0时，即y=|x|.当x>0时，函数化简为y=x;当x<0时，函数化简为y=：

⑵当a=2,b=l,c=0时，即y=2|x-l|.

①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：

X-2-101234

y6m20246

其中m-

②在图①所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x-“的图象；

⑶当a=-2,b=l,c=2时，即y=-2|x-l|+2.

①当x>l时，函数化简为yE,

②在图②所示的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-l|+2的图象；

⑷请写出函数y=a|x-b|+c（a,b,c是常数a知）的一条性质：.（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）

类型二与几何图形结合的函数性质探究

3.（2024重庆A卷）如图，在△48c中,AB=6,BC=8,点P为AB上一点，AP=居过点P作PQ||BC交AC

于点Q.点P,Q的距离为yi，△48C的周长与A2PQ的周长之比为y2.y2.

（1）请直接写出，力,先分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数yi,y2的图象，并分别写外/2出函数yi，y2的一条性质；%,内

⑶结合函数图象，直接写出yi>%时x的取值范围.（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）

第3题图

4.（2023连云港）【问题情境建构函数】

⑴如图①，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，4E团垂足为E.设BC=x,AE=y,试用含x的代数

式表小y.

【由数想形新知初探】

⑵在上述表达式中，丫与*成函数关系，其图象如图②所示.若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性?

若有，请说明理由，并在图②上补全函数图象.

【数形结合深度探究】

⑶在“X取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随X的增大而增大；②函数

值y的取值范围是-4/<y<4/;③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A,B,C,D,

使得四边形ABCD是平行四边形.其中正确的是________；（写出所有正确结论的序号）

【抽象回归拓展总结】

（4）若将⑴中的“AB=4"改成"AB=2k",,此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k40,x取任意

实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）.

类型三与实际问题结合的函数性质探究

5.（2024北京）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）.在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了

一个新水杯，并将其制作出来.新水杯（记为2号杯）示意图如下.

当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度hi（单位:cm）和2号杯的水面高度h2

（单位：cm）,部分数据如下：

V/mL040100200300400500

hi/cm02.55.07.510.012.5

h2/cm02.84.87.28.910.511.8

（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画必与V,h2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两

个函数的图象；

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm（结果保留

小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为一

—cm（结果保留小数点后一位）.

6.（2023郴州）在实验课上，小明做了一个试验.如图①，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘

B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.

改变托盘B与点C的距离x（cm）（0<%<slant60）,,记录容器中加入的水的质量，得到下表：

托盘B与点C的距离x/cm3025201510

容器与水的总质量yi/g1012152030

加入的水的质量y2/g57101525

把上表中的x与以各组对应值作为点的坐标在平面直角坐标系当中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，

得到如图②所示的％关乃于x的函数图象.

（1）请在该平面直角坐标系中作出为关于x的函数图象；

⑵观察函数图象，并结合表中的数据：

①猜测yi与x之间的函数关系，并求外关于x的函数表达式；刈%

②求V2关于X的函数表达式；

③当0<久W60时，yi随X的增大而(填“增大”或“减月小3y2随X的增大而(填"增大'或

“减小3y2的图象光％可以由Y1的图象向(填“上”或吓”或左或右评移力得到；

(3)若在容器中加入的水的质量力⑷满足19W%W45,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.

题型五新函数图象与性质探究题

1.解:⑴k的值为l,a的值为l,b的值为-2;

【解法提示】..,x=-2<0,各x=-2,y=l代入y=kx+3彳导-2k+3=],解彳导k=],.；x=2,0,x=3,0,；.j刍x=2,y=3和x=

3,y=6代入y=收+bx+3得｛祟群"涵得｛j二

(2)I.*/k=l,a=l,b=-2,

，一次函数解析式为y=x+3,二次函数解析式为y=%2-2%+3,

当：x>0时y=/一2x+3的对称轴为直线x=l,图象开口向上,.-.x>l时，y随x的增大而增大；

当x<0时,y=x+3,k=l>0,

•，•x<0时，y随x的增大而增大，

综上所述，x的取值范围为x<0或x>l；

I.ax2+bx+3—t=0,

ax2+bx+3=t,在0<x<4时无解，

问题转化为抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时无交点，

;对于y=x2-2x+3,,当x=l时,y=2,

二顶点为(1,2),如解图①,

第1题解图①

当t=2时，抛物线y=，-2x+3与直线y=t在0<x<4时正好有一个交点，

当t<2时，抛物线y=/-2%+3与直线y=t在0<x<4时没有交点；

当.x=4,y=42—2x4+3=11,

当t=ll时,抛物线y=/_2%+3与直线y=t在0<x<4时正好有一个交点，

当t>ll时抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点，

综上所述，当t<2或t>ll时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点,

即当t<2或t>ll时，关于x的方程ax2+bx+3-t-0（t为实数）在0<x<4时无解；

III.-l<m<0或l<m<2.

・・+（+1）

【解法提示】〈Xp=m,xQ=-m+1,•加丁=i

；•点P,Q关于直线%=京寸称，V图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，,当x=l时,

y口小佶=1-2+3=2,,当x=0时,y最大值=3,当x=2时,y=3,当x=-l时,y=2,.,.①当m>：时，如解图②，由题意得

-1<X：<篇14sSW2;②当…泄，如解图③,由题意得

1二盆"二黑:C-TWsiWda"。,综上所述,m的取值范围是上mW。或团幺

图②图③

第I题解图

2.解:⑴-x;

【解法提示】y=|x|,当x<0时，函数化简为y=-x.

(2)@4;

【解法提示】当x=-l时,y=2|x-l|=2|-l-l|=4.

②画出函数y=21x-l|的图象如解图①所示；

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I__1__I一1

1111

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^--21%—11+2

图②

第2题解图

(3)①-2x+4;

【解法提示】当x>l时，函数化简为y=-2(x-l)+2=-2x+4.

②画出函数y=-2|x-l|+2的图象如解图②所示；

(4)当a>0时，函数y=a|x-b|+c的图象有最低点(b,c).(答案不唯一)

3.解：(Dy1=1x(0<slantx<slant6~),y2=|(0<x<slantG);

⑵画出函数图象如解图；

根据函数图象，函数的性质为：

①当0<x<6时,％随x的增大而增大；

当0<x<6时,y2随x的增大而减小;

②函数yt在自变量的取值范围内，有最大值和最小值.当x=0时，函数取得最小值0；当x=6时，函数取得最

大值8；函数yz在自变量的取值范围内,有最小值.当x=6时，函数取得最小值1；（分别写出一条即可）

第3题解图

⑶由函数图象得，当2.1<x<6时,yi>y2.

解题技巧

当两个函数比较大小时，先求出交点，再根据图象可知谁大谁就在图象上方，即可求出函数在比大小时的取值

范围.

4.解:⑴在矩形ABCD中,NABC=NC=90。，

ZABE+ZMBC=90°,

VAEXBM,

ZAEB=90°,

ZBAE+ZABE=90°,

ZAEB=ZC,ZBAE=ZMBC,

AABE^ABMC,

.AB_AE

,•BM-BC'

•・・AB=4,M是CD的中点，

11

CM=-CD=-AB=2,

22

在RtABMC中，8M=VBC2+CM2=Vx2+4,

...4=y

VX2+4xr

._4x_4XVX2+4

'VX2+4X2+4'

•••y关于x的函数表达式为y=(x)0)；

(2)x取任意实数时，对应的函数图象关于原点成中心对称，理由如下:

若P(a,b)为图象上任意一点，则6=空号，

设P(a,b)关于原点的对称点为Q,则Q(-a,-b),

4(-a)7(-a)2+4_4aVa2+4

当x=-a时，y=

(-a)2+4a2+4

4%VX24-4.

二,Q(-a,-b)也在函数y=:的图象上，

X2+4

..•当X取任意实数时，函数y=的图象关于原点成中心对称，补全函数图象如解图所示;

X2+4

⑶①④;

【解法提示】根据函数图象可得，函数值y随x的增大而增大，故①正确:•••在RSAEB中,AB为斜边,AE为

直角边，，函数值lyl<AB,故函数值y的取值范围为-4<y<4,故②错误；根据中心对称图形的性质，不存在一条直

线与该函数图象有四个交点，故③错误；因为平行四边形是中心对称图形，则在图象上存在四点A,B,C,D,使得四边

形ABCD是