题型一 规律探索（含解析）-2025年中考数学重难题型分类练

题型一规律探索

类型一数式规律

1.（2024日照）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之

间插入这两数的和，形成新的一列有序数字.现有一列数：2,4,进行第1次构造，得到新的一列数26,4,第2次构

造后,得到一列数2,8,6,10,4,...,第11次构造后得到一列数:241,*2,x3,...,x4,4,记an=2+xr+x2+x3+—+xk+4.

某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（）

4a5=84B.?为偶数C.an+1=3an-6D.k=2n-l

2.（2024江西）观察a,a?,。3,a。…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为.

3.（2024眉山）已知a1=x+1（%丰。且%*-1）,a2=~^—,a3=■■■,an=——，则a2024的值为_______

1-a11-0.21—1

一•a2024

4.（2024山东省卷）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行

上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1-4—2-1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将

点（x,y）中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x,y均为正整数.例如，点（6,

3）经过第1次运算得到点（3,10）,经过第2次运算得到点（10,5）,以此类推很点（1,4）经过2024次运算后得到点.

5.（2023嘉兴）观察下面的等式：32-野=8x1,52-32=8x2,72-52=8x3,92-72=8x4,--

（1）写出192-"2的结果；

（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；

（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.

类型二图形规律

考向1累加型

6.（2024重庆B卷）用菱形按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个菱形第②个图案中有5个菱形，

第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是

)

A.20B.21C.23D.26

△

△△△

△△△△

△△△△△△

8南8侬§、、,4△△△△

①②③④第i个第2个第3个

第6题图第7题图

7.（2024牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个

图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去.第674个图中三角形的个数是

()

A.2022B.2023C.2024D,2025

8.（2024青海省卷）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第⑺个图案中有个火柴棒.

△/\7/\7\

(1)(2)(3)

第8题图

9.（2024泰安）如图所示，是用图形“。”和“•”按一定规律摆成的“小屋子”.

•O•O•O

•••

(1)(2)(3)(4)⑸

第9题图

按照此规律继续摆下去，第________个“小屋子”中图形“。”个数是图形“•”个数的3倍.

10.（2024遂宁）在等边△ABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF,易得△ADF^ABE

DgACFE,设SAABC=1,则SADEP=1-3sA

第10题图

如图①，当枭=况寸,SADEF=1-3x[=：

如图②，当£=：时，^DEF=1-3x|=|

如图③，当登=加，SA.=1—3x总=5

直接写出，当枭=9寸，S&DEF=

11.（2024凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：

下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个

飞/•••

第II题图

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.

(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为前15行的点数之和为那么，前n行的点数之

和为；

⑵体验：三角点阵中前n行的点数之和(填“能”或“不能”)为500;

⑶运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排

4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

12.(2023安徽)【观察思考】

O

0*0

第I个图案第2个图案第3个图案第4个图案

第12座图

【规律发现】

请用含n的式子填空：

⑴第n个图案中“◎”的个数为；

(2)第1个图案中“*”的个数可表示为詈，第2个图案中“*”的个数可表示为等，第3个图案中“*”的个数可表示

为辞，第4个图案中“*”的个数可表示为等,…，第n个图案中“*”的个数可表示为；

【规律应用】

(3)结合图案中“*”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3++n等于第n个图

案中“◎，，的个数的2倍.

考向2成倍递变型

13.(2023烟台)如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正

方形.PAI&A，正方形「4446,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA4A的顶点

坐标分别为P(-3,0),4(-2,1),4(-1，。),43(-2,-1),则顶点400的

)

A.(31,34)

B.(31，-34)

C.(32,35)

D.(32,0)

14.(2024齐齐哈尔)如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将

等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,0),点C在第一象限，乙OBC

=120。.将AOBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为(T,点

c的对应点为lqc与的交点为公,称点&为第一个“花朵”的花心，点必为第二个“花朵”的花心；…；按

此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为.

y

0BC'%

第14题图

15.（2024达州）如图，在△ABC中，分别是内角“明夕卜角”8。的三等分线，且^ErAD=^CAB

，乙EtBD=g乙CBD,在△48%中，4%，8%分另（J是内角4场/8,夕卜角4E/D的三等分线.且^E2AD=^ErABt^E2

BD=3乙EIBD,…以此规律作下去.若“=血。则出=_度

儿•».B

£、•一I。

第16题图

16.（2022玉林）如图的电子装置中,红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处.两枚跳

棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳

动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）

A.4B.2V3C.2D.0

17.（2024绥化）如图，已知4（1，一⑹,&⑶一百）,4（4,0）4（6,0）

,45（7，^）,46（9，百）,&（10,0）,&（11，-百）,-“。依此规律，则点4024的坐标为.

第17题图

18.（2023怀化）在平面直角坐标系中，△40B为等边三角形，点A的坐标为（1,0）,把△40B按如图所示的方式

放置，并将△力OB进行变换：第一次变换将△力OB绕着原点O顺时针旋转60。,同时边长扩大为4A。/?边长的2

倍，得到△&OB"第二次旋转将△4。31绕着原点0顺时针旋转60。，，同时边长扩大为AAiOBi边长的2倍，

得到△A2°B2,…，依次类推，得到△42023。82023,则△42023。殳023的边长为，点42023的坐标为-

第19座图

19.（2024龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3,0）,△是等边三角形,

点B坐标是（1,0）,A04B在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O—M—N—PTO—M—…）做无

滑动滚动,第一次滚动后，点A的对应点记为4,4的坐标是（2,0）；第二次滚动后，4的对应点记为阳4的坐标

是（2,0）；第三次滚动后，出的对应点记为&3，4的坐标是（3-亭|）；如此下去，.…则4024的坐标是.

类型三与函数图象结合

20.（2024武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=*_3/+3x-l的图象，发现它关于点（1,0）中心

19），420（2〃20）

对称若点A（0.l-y3）,49242）,43（03乃），“・，49（19丫都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.

1开始依次增加0.1,则为++丫3+---1-719+乃0的值是（）

A.-1B.-0.729C.OD.1

第2im

21.（2024广安）己知，直线dy=%-?与x轴相交于点儿,以OA3为边作等边三角形（。4九点当在第一象

限内，过点当作x轴的平衡线与直线1交于点.4,与y轴交于点的以CiA2为边作等边三角形CI&B2（点巳在

点4的上方）,以同样的方式依次作等边三角形心必鼎,等边三角形。34况,…，则点4004的横坐标为.

题型一规律探索

1.D【解析】第1次构造得ai=2+6+4=12,k=l=21—l,第2次构造得(^=2+8+6+10+4=3。

=%+18=%+6x31,k=3=22-1，第3次构造得=2+10+8+14+6+16+10+14+4=84=+

54=a2+6x32,k=7=23—1故A选项正确；第n次构造为厮=an_1+6x3"T,则an—an_r=6x

n-1n-2n-3n-1

3,Cln-i—an-2=6X3,an-2—O-n-3-6X3,,0.1—Gt]=6X31相加得册—a】=6x3+6x

3n-2+6x3"-3+...+6x31=6x(371-1+3n-2+■■•+3]),令S=+3n-2+-+31=31+32+■■■+

3n-2+3n-1①，，则3s=32+33++3”2.，由①-②得,-2S=3-3",；.S=3"-患|]即一的=6x(3九-1+3"-+...+

1n+1n+1n+2n

3)=3-9,.,.an=3+3,则an+1=3+3,即an+1=3an-6,故C选项正确y=3+1为偶数，故B选

项正确；第n次构造为an=an_r+6x3"4k=2"—1,故D选项错误.

2.a*00【解析】根据题意可得，第n个式子为a”,.,•第100个式子为那0.

1

3.--【解析】•­•aT=x+1,■-a2=-^―===

xl-arl-(x+l)

1_11x_1____1

~I_4+1…xX+1,a5=--,a6=5■，…，由上可得，每三个为一个循环，

------I_(-----1.1・XXTI

X+1(%)x+1

1•,2024+3=674…2,a2024=解题技巧一般情况下，求

次数很大项的结果都是循环的，只需观察每个式子都与前一项有关，计算出前几项即可发现循环规律，根据规律求

解即可.

4.(2,1)【解析】根据题意得点(1,4)经过第1次运算得到点(4,2)，经过第2次运算得到点(2,1)，经过第3

次运算得到点(1,4)，经过第4次运算得到点(4,2),,观察可知，经过第4次运算得到的点与经过第1次运算得

到的点相同2024+3=674……2,；.点(1,4)经过2024次运算得到的点与经过第2次运算得到的点相同，，点(1,4)

经过2024次运算后得到点(2,1).

类题通法对于循环型的数字规律探索题：

1.先找出循环周期n；

2.用N(设问中给出的第N次变化)除以n,当商b余m(0Sm<n)时，第N次变化对应的数即为一个循环变化中

第m次变化后所对应的数.

5.解:((1)192-172=8X9=72;

(2)(2n+I)2—(2n—I)2=8n;

【解法提示】：32-I2=(2x1+I)2-(2x1-I)2=8x1,52-32=(2x2+I)2-(2x2-I)2=8x2

,72—52=(2x3+—(2x3—=8义3,92—72=(2x4+1)2—(2x4—=8x%依此规律可得，

第n个式子为((2n+I)2-(2n-l)2=8n.

(3)；左边：=(2n+l)2-(2n-l)2

=(2n+l+2n-l)(2n+l-2n+l)

=4nx2

=8n,

；・左边=右边，

这个结论是正确的.

6.C【解析】由题图可知.第①个图案中有3x7=2个菱形，第②个图案中有3x2-l=5个菱形，第③个图案中

有3义3-1=8个菱形，第④个图案中有3x4-1=11个菱形，…，由此规律可知，第酚图案中有(3n-l)个菱形，，第⑧个

图案中菱形的个数为3x8-1=23.

7.B【解析】第1个图有4个三角形.即4=3xl+l：第2个图有7个三角形，即7=3x2+l；第3个图有10个三角

形，即10=3x3+1,…，按此规律，第n个图有(3n+l)个三角形，则第674个图中三角形的个数为3x674+1=2023.

8.15【解析】第⑴个图案有2xl+l=3个火柴棒;第⑵个图案有2x2+l=5个火柴棒;第⑶个图案有2x3+l=7个

火柴棒...第(n)个图案有(2n+l)个火柴棒....第⑺个图案有2x7+1=15个火柴棒.

9.12【解析】由题图得，图⑴。有1个，•有1+2+1=4个图(2)。有1+2=3个，•有2+2+2=6个;图(3)。有1+2+3=6

个，•有3+2+3=8个;图(4)。有1+2+3+4=10个，•有4+2+4=10个,因此第(n)个图中，。有1+2+3++n="尹个，•有In

+2+n=(2n+2)个,.•.当。个数是•个数的3倍时，丛#=3(2n+2)解得n=12(负值已舍去).

10.得(或0.73)【解析】根据题意可得，当院“时，

100ABn

c4cn—1712—371+3frillsizAD1n_i_—102—3x10+373

SADEF=1-3x厂厂，则当布=«时，SADEF=—=~.

11.解：(⑴36,120,硬尸；

⑵不能；

【解法提示智2=500,7为正整数，当n=31时，中=496,n=32时竺=528,故不能.

⑶摆放n排需要花数为2+4+6++2n=生磬也n(n+l),当n(n+l)=420,解得n=20(负值已舍去)，

答：一共能摆放20排.

12.解:⑴3n;

⑵F

(3)由题意可列方程：空F=2x3n,

解得n=0(舍去)或n=ll,

.♦•正整数n的值为11.

类题通法

对于图形个数变化规律探索题，解决的一般步骤为：

1.标序号:记每个(组)图形的序数为“1,2,3,

2.数图形个数：对应的图形个数用at,a2#3an表示；

3.观察:a1,a2,a3an与序数n之间的关系：

①图形个数与图序数是倍数或平方关系；

②图形个数与图序数关系不明确时，按照以下步骤找寻关系：

步骤一：列表表示an~即_1的值；

步骤二：将所列等式左右相加，得到(。2-«1)+(GL3-Gt2)+…+(a“一an_1)=an-%的值；

步骤三：表示an；

4.验证：代入序号检验所得式子是否正确.

13.A【解析】；100=33x3+1,，A]00位于射线PAX0上的第34个点,观察规律可知,射线PAX0上第1

个点的坐标为Ai(-2,1),第2个点的坐标为A4(12),第3个点的坐标为A,(0,3),...,.,.射线PA10上第n个点的坐标

规律为(n-3,n),故A10。的坐标为(34-3,34),即(31,34).

14.(1349+674V3-y)【解析】如解图，连接A】B,记OB与OC交于点D,点O,滚动后的对应点为E.

由题意得/BOC=/BCO=30o,NBOC=NBC'O'=30。,NOB。'=60°,OB=BC=O'B=BC=1,A$1OC'.O'B

22

1OC,：.ArB=OB■tan30°=~,BD=1OB=^,OD=y/OB-BD=亨,OC=C'E=V3,•••

4(3+遍，9),同理力3(5+2其苧)，…,An(l+(n-1)(2+遍)，争,△OBC滚动一次得到M,△OBC

滚动四次得到A2,△OBC滚动七次得到A3,VAOBC滚动2024次后停止滚动,.,.(2024-1)+3=674……1,674+1=6

75,.•.停止滚动后，最后一个“花朵”的花心为A675,即X675(1349+674V3,多.

y

0HCE*

第14题解图

15.【解析】•••Z.ErAD=三乙CAB/E^BD=jzCSD,设/E1AD=a,NE]BD=|3,贝！]/CAB=.3a,NCBD=

3B，由三角形的内外角关系得p=a+4Ei，30=3a+zC,=|NC,同理可得，/E?=|"•.应=Q?zC,z

En=(I)”,即乙En=.m。.

16.B【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A,黑跳棋每过18秒钟跳动回顶

点A,：2022+6=337,...经过2022秒后,红跳棋在顶点A处;：2022+18=112……6,6+3=2,.•.经过2022秒钟后，黑跳

棋在顶点E处如解图，连接AE,过点F作FG±AE于点G,：六边形ABCDEF是边长为2的正六边形,；.ZAFE

=120°,FE=AF=2,.\AFAE=30°,AG=EGAF-cos30°=2xy=V3,：.AE=2V3,,即两枚跳棋之间的距离是

2V3

第16题解图

(

17.(2891,-V3)【解析】：4(1，一旧),923'一百)人(4,0),A(6,0),A5(7,V3),A6(9,V3),A7(10,0),

&(11，一百),…,.••可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，点A7□的坐标为(10n,0),点A,□+1的坐标为(10n+l,-V3),

,Z2024-7=289……1,.•.点A2023的坐标为(2890,0),...点A2。24的坐标为(2891,-V3).

18.22023,(22022--22022V3)【解析】由题意可知：每次绕原点O顺时针旋转后的图形边长都会扩大为上一个

的2倍,△AOB的边长为1,AAiOBi的边长为1x2,AA2OB2的边长为2x2,△A3OB3的边长为2x2x2,…，以此类

△23

推,4023OB2023的边长为22°;AAOB中，点A的坐标为(1,0),△A、OBX中，点A、的坐标为(1,-推),△A2OB2

中.点A2的坐标为(-2,-2V3),AA3OB3中点A3的坐标为(-8,0),△A4OB4中，点A4的坐标为(-8,8百),△A5O

Bs中.点A5的坐标为(16,16V3),AA6OB6中点AG的坐标为(64,0)，由此得出，一圈旋转六次，六次为一个周期，

由于等=3371,第2023个三角形相当于第一次旋转落在第四象限J；AA2o23OB2o23的边长为2?。23,如

解图，过点A2023作.“2023”图'轴于点H,在RtAOHA2023中，/"。％2023=60°,*，*0H=。/2023,COS乙H0

202320222023

42023=2x|=2,A2023H-OA2023-sinzHOX2023=2xy=V3x22°2,...点A2023的坐标为（

19.(1,3)【解析】；正方形OMNP顶点M的坐标为(3,0),，OM=MN=NP=OP=3,：4OAB是等边三角形，

点B坐标是(1,0)，，等边三角形高为|,由题知,Ai的坐标是(2,0)人的坐标是(2,0)A的坐标是(3-争力继

续滚动后A’的坐标是(3,2)；A5的坐标是(3,2)阳的坐标是(|，3-寺曲的坐标是(1,3)人的坐标是(1,3)处的

坐