数列高频考点 归纳练-2025年高考数学复习

数列高频考点归纳练

2025年高考数学复习备考模拟预测

〃n

1.记2苦=玉+尤2+%++xn，Y[xi=xlxx2xx3xXX","eN",已知数列｛4｝和圾｝分别满足：

i=li=l

Z%=几2,立2=(我".

f=lz=l

⑴求｛an｝,｛/?„｝的通项公式；

⑵求Z。也.

i=l

2.已知等比数列｛%｝的前“项和为S”，％%=3W，且-3,必，9生成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

,1，、

(2)设2=4,+〃(“+]),求数列也｝的前“项和北

3.将数列｛〃｝(〃eN*)中的各项随机排列后构成一个数列为优｝(1<i<n,ieN*),则称优｝是｛耳的一

个“随机数列”；若机｝中的各项均满足左"，则称板｝是｛外的“完全随机数列"，记｛九｝的“完全随机

数列”的个数为

⑴直接用〃表示£应的最小值和最大值；(不需要写出过程)

1=1

(2)分别计算%,%，%，％，并证明：｛%-次*｝("22)是公比为一1的等比数列；

(3)若从优｝中随机选取一个数列，记此数列是｛科的“完全随机数列”的概率为勺，证明：只=£斗.

1=01-

4.已知数列｛%｝中，«2=1,设S,为｛4｝前〃项和，2S„=nan.

(1)求｛凡｝的通项公式；

⑵若际卷而而，求数列也｝的前〃项和4

5.设数列｛%｝的前〃项和为S”，且2s“=3a”-l.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵若bn=，求数列｛2｝的前〃项和T„；

⑶若S“>a„,+14(〃zeN+),求，〃的最小值.

6.已知数列｛%｝满足q=1,an+1an=an-2an+l.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵记｛4｝的前〃项和为s„,求证：sn<2.

7.已知等比数列｛%,｝的首项为2,公比q为整数，且4q+2出+%=4阻.

⑴求｛%｝的通项公式;

(2)设数列，>的前〃项和为S“，比较S/，与4的大小关系，并说明理由.

2

8.已知数列｛《｝的前〃项和S“=f(”eN*),数列也｝是正项等比数列，满足4=%,b3=as.

⑴求｛%｝,也｝的通项公式;

(2)设％此N"),记数列仁｝的前〃项和为T.，求小

9.如图，曲线y=«下有一系列正三角形，设第〃个正三角QaE,Q"(。。为坐标原点)的边长为

(2)记S”为数列｛《｝的前〃项和，探究。用与S“的关系，求｛4｝的通项公式；

(3)是否存在正实数入，使得不等式卢\.广、产、•取二<力-9九对一切正整数〃都成?

3q+13%+13a.+13

若存在，求出彳的取值范围；若不存在，请说明理由.

/V2

10.已知双曲线打：靛-*=1(%>0力“>0,“eN*)的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角

的5倍，尸，为双曲线E“的右焦点，过耳，的直线与双曲线E”的右支交于4，纥两点，过点从，纥分

别作平行于X轴的直线，与直线x=分别交于C“，匕两点，直线星G与x轴的交点为M“(7%],0).

⑴求双曲线E“的离心率；

⑵证明：数列也,｝是以;为公比的等比数列；

(3)定义：无穷等比递减数列｛%｝的所有项和s=F，其中9为匕,｝的首项，0为｛g｝的公比，且

i-q

0<4<1.设直线纥G与直线4a的交点为4,AnBnHn的面积记为S”,求数列｛S,,｝的所有项和S的

最小值(结果用q或4表示).

11.有穷数列％,。2，，。“(〃>2)中，令SSMnap+ap+i+L

⑴己知数列-3,2,-1,3,写出所有的有序数对(P，4),且。<4,使得S(p,q)>0；

⑵已知整数列49，，%，〃为偶数，若S(i,j+1)卜=1,2,L,3满足：当i为奇数时，S(i,〃-i+1)>0；

当i为偶数时，S0>-z+l)<0.求同+同+•••+㈤的最小值;

(3)已知数列01M2,…M“满足S(L〃)>0,定义集合4=｛力5«+1,〃)>0/=1,2,1,"-1｝.若

4=｛小2，1,小卜€川)且为非空集合，求证：S(l/)>4+&++a..

12.数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列为=，+：](〃eN*)的

性质，对通项公式取对数得，lna“=ln[+J),则可通过研究函数y=ln(l+x«的性质，得到数列

｛In。”｝的性质，进而得到｛〃“｝的性质.请根据以上材料，解决如下问题：

⑴若不等式c尤上ln(l+x)对任意xZO恒成立，求实数c的取值范围，并证明：+

⑵是否存在常数。，使得：V〃eN*有，1-。二"<42<妆1-1?若存在，求。的值；若不存在，请说明

n

理由.

(注：e为自然对数的底数)

参考答案

i.=2»-i;bn=y

⑵才她=3+(〃-1)x3向

Z=1

(1)设S"=t±工=fl七，典1

i=l1=1

当〃=1时，q=S]=l；

22

当"22时，an=Sn-Sn_l=n-(n-l)=2n-l,

经检验，当〃=1时，满足所以%=2〃-1；

当”=1时，4=7>3；当〃“时，2=|=漂二「(后"=3",

当"=1时，满足a=3",所以2=3".

(2)由⑴知“也=(2〃-1)、3",则

fae=1x3+3x32+5x33++(2n-l)x3",①

i=l

=1X32+3X33+5X34++(2/7-3)X3"+(2/7-1)X3,,+1,②

Z=1

31n+1

由①-②相减得：-2\ajbi=3+202+3+3++3")-(2〃—1)x3

Z=1

9_3〃+i

=3+2x^-^(In-1)x3n+1=-6-(2n-2)x3n+1

故£她=3+(〃-1»3向

2.(1)4=3"；(2)T=-3〃-+i--3+-n^.

22n+1

(1)在比数列｛4｝中，设等比数列｛a.｝的公比为4,由电%=3d,

得a；/=3a：/,.・.4=3,

・.・—3,S,，9生成等差数列，・・・2S4=9〃3-3,

从而有皿二2=94¥-3,得％=3,

1-3

n[

an=axq~=3"；

71

(2)由。〃=3〃，且2=%+(

〃n[n+l)

Mb=3n+/=3"+---—,

+nn+1'

(3'+32+

30-13"+i3n

1-3n+1~22^+1

3.(1)最小值为立5+1-。=2+?”"2),最大值为./="("+122"+1)

i=\6i=ib

(2)q=0,%=1，%=2,a4=9,证明见解析

(3)证明见解析

(1)最小值为£+17)="5+g"*2),

最大值为才=叱丁+1).

(2)显然4=。；

当〃=2时，｛科为数列1,2,

则其完全随机数列必为2,1,

故的=1;

当〃=3时，｛力为数列123,

则完全随机数列可以为2,3,1或3,1,2,

故%=2；

当”=4时，｛科为数列L2,3,4,为得到数列L2,3,4的完全随机数列，

可先排1,有3种排法，比如1排到2的位置，那就再排2,也有3种排法，剩下的两个数字只有1

种排法，

由乘法原理可得g=3x3xlxl=9.

当数列｛科有〃+1项时，其“完全随机数列”的排法可以分为两个步骤：

第一步：随机排〃+1且不排在第〃+1项的位置，有〃种排法；

第二步：随机排其余〃项，根据第一步的排法，可以分为两类；

第一类：若.〃+1排在第迫=12-,〃)项的位置，但i不排在第"+1项的位置，这样的排法有种;

第二类：若附+1排在第小•=1,2,㈤项的位置，i排在第"+1项的位置，这样的排法有。“一种，

所以由计数原理得a“+i又%-2%=1,

(。“+%)-5+1)%_-+㈣-

所以他n+\)ann

册一叫一1册一S-Ia“一叫i

所以数列｛a„-陷T｝(〃22)是公比为_1的等比数列.

(3)由(2)得a“—na%l—1

所吟一(%(一1)〃

n\

%册-2(一1尸

w—1)!(〃-2)!(〃_])!

a(一1尸

n-2〃相-3

(«-2)!一(77-3)!—(«-2)!，

L

%%_1

2!-1?-2!?

以上各式相加可得2_幺=工__1+_1_，+।(R

n\1!2!3!4!5!n\

所以,(-D"

n\2!3!4!5!n\

又数列｛科的随机数列的个数为n\,

所以匕="=1一i+,—,(-1)"七(T)'

〃n\2!3!4!5!n\i!

4.(1)«„=«-1

(2)Tn=tan(〃+1)-tan1

(1)数列｛%｝中，%=1，5,为｛%｝前"项和,

当〃=1日寸，2S]—tZj—2q=〃],..—0,

当"22时，2s①,

2szi+1=(〃+1)%②,

由②-①得:2sm—2S“=(n+1)4+1—na”,2(5^-Sn)^(n+l)an+1-nan,

即时-1).,

口nan-la2

当〃N2时，3=—递推可得：工n=-；3

ann-lan_xn-2a32a21

一,凡见dnn-l32

由累乘法可得：——rxx—x—

anan_}a3a2n-ln-221

~^~=n＞又因为。2=1，所以。“+i=〃，即a“=〃T,经检验，当〃=1时q=。符合上式,

所以%="-1；

(2)由(1)可知«„+1=«,所以：

sinl

b7---------------------

〃COS+1)COS(。升1+1)

_sinl

cosncos(n+l)

cosncos(n+l)

sin(〃+1)cosn-cos(〃+1)sin〃

cosncos(n+l)

sin(n+l)cosncos(n+l)sinn

cosncos(n+1)cosncos(n+1)

=tan(n+l)—tann,

所以北=仿+仇+力3+1bn

=(tan2—tan1)+(tan3—tan2)++[tann—tan(〃-1)]+[tan(〃+1)—tan

=tan(n+l)-tanl；

所以数列出｝的前〃项和北=tan(几+1)-tan1.

5.⑴%=3〃-]

⑵T=(-3)"-1

，4

(3)5

(1)因为2s,=34-1,令”=1可得3q-1=2S],q=1,

当“22时2sl=3。-一1,

所以作差得2(S“-S“_J=3%-3%T=2%,

所以a“=3a.T，所以儿=3,

an-\

所以｛4｝是首项4=1,公比为3的等比数列，a"=lx3"T=3''

(2)因为6"=(T)"(=(T)"X3"T

lx13，，

(3)因为a"=3"L所以s=(-)=£zl;

〃1-32

又因为鼠>金+14(根eN+),所以1>31+14,

所以3a>29,因为y=3工单调递增，且3^=27(293=81)29,

所以用一124，根25,

则加的最小值为5.

6-(1)«„=77-7

Z—1

(2)证明见解析

(1)由题设条件，可得若”,尸0,则见+户0,

用反证法，假设。向=0,由题设条件，显然见=。，这与已知条件矛盾，所以%M工。.

因为q=lN。，所以出片。，a3^Q,L,所以V〃eN*,%h。,

12,1(11

由%+限“=%_2。,+1得;;----=l,所以——+1=2—+1

a

%nan+lJ

又,+1=2x0,所以-L+l是首项、公比均为2的等比数列.

巧1%J

所以'+1=2",则4=不二.

«„2"-1

(2)显然”=1时，4=1<2成立,

121

当“22时，2"->2-^2>1，所以击<1,所以2-9r>1,

所以2"T〔2-即2"T>2"T>0,所以。“=占<备，

、乙)L—1Z

+导产=2『曰<2.

所以S=%+a+a+.+…LL

n23〃24

2

综上，S“<2,得证.

7.(l)a„=2H(neN*)

⑵S“<4

(1)由已知可得%=2xqM,

因为4al+2%+&=4%，所以4x2+2x2q+2xq3=4x2/,

即/_4/+2q+4=0,贝U(q-2乂/_2q_2)=0,解得g=2或1土石(舍去)，

所以4=2,4=2.2M=2〃(〃£N)

⑵由⑴得2HH=2(跖-1)=2呼一2=$一^_,

nnn1

G.c1ny/-n-2汨i,22Vn-2

令6,=券,设也｝前"项和为C",则。”=摄+于:++号,

〜…1「123nv1^,111n2n几2+n

所以］G=耍+域+了++吩，两式相减侍5G=1+初+中++广一弟=口一^=2-F

2

4+2〃

所以G=4—<4,

令尤"访9,则%>。,

设｛%｝前〃项和为1,则(>0,

所以S,=C"-(<4.

8.(1)<2„=/z(neN*),bn=T

45。+7496

3

2

(1)因为S“=^^(〃eN*),

所以“=1时4=1.

当“22时，S=(1)2+〃-1,

〃T2

所以凡=E,一S“T---一一冒一L=〃色>2)，

4=1,满足%=〃，所以q,="(〃eN*),

数歹U｛2｝是正项等比数歹!14=%=2,&=火=8.

所以公比4=2,bn=T.

(2)由(1)知g=

%=(1+3+5+…+99)+02+2,+…+298),

T50(1+99)।4x(1-449)[Soo]4x(449-1)4-+7496

"2"1-4_一3-3

24

9.(1)«!=-，

2

⑵4=§”

(3)4的取值范围为(2,”)

(1)依题意，为正三角形，且|以©=%>0,观察图象得6/小

而点々在曲线y=«上，即54=口，解得4=：,

△QEQ为正三角形，且以。2|=%>。，

aa

点心+~2^~~2在曲线上y=«，^-a2=Jat+—a2,

、ZZ)2\2

24

整理得3。；-2a2-§=0,解得〃2=]，

24

所以〃i=§,a2=~-

⑵。£+©田是正三角形，点Q(s“,o),|2QJ=4M>0,

r1出、

于是点匕+1Sn+~an+^~an+l在曲线丁=4上，

V22)

则即

NVZT■乙

3]31(31、

当〃N2时，Sn_x=-a^-—an,两式相减得：。〃=z〃；+i-不。“+1-一5％,

2

整理得(«„+1+=j(%+1+«„).

22*2

则而。2-4=§满足上式，因此V"eN",a"+]-a"=1，

70999

即数列｛4｝是首项为4=；,公差d=]的等差数列，a„=j+(n-l)x|=jn,

所以数列｛4｝的通项公式是

3a.3%3ar------2462n

所以-----•-----•,-----3al=­•一^一••・J'2〃+2,

小.3%+13a2+13%+1"n+13572n+l

2n/r-----„八2462n2n+2/r------

■-V2n+2,贝ni！lJ/（z"+l）=丁7丁•-----——--72«+4,

令"〃）=ITT2n+l3572n+l2n+3

所以f（n+1）2n+2j2”+4J（2w+4）（2〃+2）14及2+12〃+8

丫4/+12〃+9<1,

f（n）2〃+3j2〃+2（2〃+3）2

4

所以/⑺是递减数列，所以/（n）max=

所以使得不等式券丁小占七力•商二〈万一一切正整数〃都成立,

则万一^之〉：即3万_4九一4＞0,所以（34+2）（九一2）＞0,

因为彳正实数，所以2取值范围为（2,内）.

10.⑴孚；

（2）证明见解析；

⑶答*

（1）设双曲线E“的一条渐近线的倾斜角为a,另一条渐近线的倾斜角为夕,

a=5（3

依题意,解得"不'

a+p=7i

则双曲线纥的渐近线方程为y=±1x,即4=孝,

3

所以双曲线耳，的离心率为e=Jl+（%）2=挛

V%3

22

（2）由⑴知，£（22,0）,双曲线E”的方程为高-2=1,

3dbn

设4（%〃,先），3（x：,y=），则Q（|A，y3a（*|〃，y：），

过£（22,0）的直线4B〃斜率不为0,设直线4纥的方程为1=切+22（加W±G）,

x=my+2b八

由-y2।消去x并整理得（疗-3）/+4〃在y+b；=0,A=12（疗+1）配＞0,

国计

贝+笫笫'=^^，一加券笫'='（％+%’），

m—5m-34

y'—yy'~y3

直线纥G的斜率ma=：3",直线B“C”的方程为'一％="；3~（X~2b"^

X“Tn斗T”一

31,1

A八一%("f2)3_%(«%'+弓2)3-咐J；3

令贝^-+-b,=-------------Z+-

y=o,L»=-------f---2_+-9fe„n=--------f-----9nro

Jvn—yvn乙Jvn—，V〃乙Vn—Vn乙

=才(%+%)-5%/32b+-b=-b，因此直线纥G恒过定点(1%o),

v—v2"4"2"4"4

7bl

又直线纥G与x轴的交点为M“(7d+”0),于是7b“,i=；b“，即常="

所以数列｛2｝是以4为首项，：为公比的等比数列.

7771

H

（3）由对称性知，直线4a也恒过定点（72，0），则乩］〃，°），\nFn^bn--bn\=-bn,

因此S"]HnFn||"f1=咋么J(y-4yM=9。(岩)2-M

则｛S〃｝是以厅为首项，上为公比的等比数列，数列图｝的所有项和

2

S]_1662I+1_4A/32Im+1

_12222

~｝_1_15'VV(/TI-3)'\(m-3)-设机？+l=/，贝iJ/"2=/一],

16

由过£的直线与双曲线E,的右支交于4,纥两点，得-也＜m＜币,即14t＜4,

m2+1t11(

__________—________—__________If)

则(加2一3)2一(r-4)2一.16°,又函数y=f+—-8在[1,4)上单调递减,

tH-----ot

所以数列｛，｝的所有项和S的最小值为W1照.

11.(1)(1,4).(2,3X(2,4),(3,4)

(2)77-1

（3）证明见解析

(1)(P应)为(1,4)时，S(p,q)=—3+2+(—1)+3=1>0,

(。应)为(2,3)时,S(p,q)=2+(-1)=l>0,

(p,q)为(2,4)时,S(p,q)=2+(-1)+3=4>0,

(P,q)为(3,4)时,S(p,g)=(-1)+3=2>0,

故。<4,且使得S(p,q)>0的有序数对有(1,4).(2,3)、(2,4).(3,4)；

(2)由题意可得S(l,〃)>0,S(2,〃-l)<0,

又。，为整数,故S(L〃R1,S(2,〃-

贝lj=ai+an>2,

同理可得义2,n-1)-S(3,n-2)=a2+*<-2,

即有同+%」之2,

同理可得，当，w耳时，有何+〃"T+JN2,

即当iw/时,有同+|%一注1|之+a〃T+J之2,

当产时，S(^+l]=an+a>19

22)22

a+a

故同+同++|%|=(同+同)+(|。2|+|。1|)++nn

k22+i)

Ci+a+a+a+a+a2

-(\l„\)(\2n-l\)+nn+l=[-I+1=77-1；

k22+7'Z1

（3）对于数列q,0，，%,A={il,i2<-,ik],不妨设力<%<…<*，

①首先考虑已“一如22G九=1,2,..㈤,24<%W〃—1的情况，

由于S(d，〃)wo,S(4+l,«)>0,故4<0,同理%<o,…，a.<0,

故S(1,”)>0>4+松+…+气.

②再考虑彳匕，…%中有连续一段是连续的正整数的情况,

此时ipTeA，4+leA,im+1-im=l,(m=p,p+l,

因为5«川)_5&+1,“)="+1+4,+2++%,S(ip,〃)_sC+l,")<0,

故这说明此连续的4项的和为负.

同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负,

再由①中结论，可得5。,"）>0>4+纵+・+%.

③若在①②中"=5=2,,im=rn,im+l^A,由于S&+>〃)>0,

此时去掉前机项，则可转化①②的情况，所以有5（1,〃）＞。＞4+限

④若A={1,2,3,则<^+1+4+2++%>。,

所以此时有5（1,〃）＞4+成+…+4,

综上，结论成立.

12.(l)c>l；证明见解析

⑵存在，a=e2

(1)当x=0时，52In(1+x)显然恒成立，ceR；

11

当X>0时，6>[11(1+.)可化为(7210+工),

X

令g(x)=皿匕D，X>O,则；，日)一.一51+/x-(l+x)ln(l+x),

令/i(x)=x-(l+x)如(1+x),x>0,则〃(x)=l-ln(l+x)-1=-111(1+%)<0在%e(0,+(»)上恒成立,

因此/i(x)=x-(l+x)ln(l+x)在(0,内)上单调递减,所以力(“<〃(0)=0,

即小六父消户

＜0在X£（O,y）上恒成立,

所以g（x）=^"^在（0,内）上单调递减,

又由洛必达法则可得：limMM=limHMl=limJ_=1,

x-＞0X%—。Xrx-01+工

所以g（x）＜l恒成立，因此，为使c之皿必对任意x＞0恒成立，只需C21；

X

综上，C＞1;

所以％21n（l+无），因为1＞0,所以，

nn\nJ

则l>〃ln[l+!]=ln[l+L],所以e〉e1J=11