相似三角形（原卷版）

专题22相似三角形

【专题目录】

技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件

技巧2：巧作平行线构造相似三角形

技巧3：证比例式或等积式的技巧

【题型】一、相似图形的概念和性质

【题型】二、平行线分线段成比例定理

【题型】三、相似三角形的判定

【题型】四、相似三角形的性质

【题型】五、利用相似三角形解决实际问题

【题型】六、位似图形的概念与性质

【题型】七、平面直角坐标系与位似图形

【考纲要求】

1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题.

2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用.

3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.

【考点总结】一、相似图形及比例线段

相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.

若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个

相似多边形多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

在四条线段a,b,c,d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

即2=£（或a：6=c：①，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简

比例线段的定义

bd

解直

称比例线段.

角三⑴基本性质：㈡4d=3

人LL,1Hac,a-\-bc~\-d

角形(2)口比性质：厂.Jb~d'

比例线段的性质

(3)等比性质：

的应

4…+…+9,那么比"当号.

用

点C把线段A3分成两条线段AC和2C,如果黑—黑，则线段”被点c黄

黄金分割

金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与A3的比叫做黄金比.

【考点总结】二、相似三角形

各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.

定义

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相

似；

(2)两角对应相等，两三角形相似；

相似

判定

(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

三角(4)三边对应成比例，两三角形相似；

(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

形

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

性质(3)相似三角形周长的比等于相似比；

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方

【技巧归纳】

技巧1:巧用“基本图形”探索相似条件

相似三角形的四类结构图:

1.平行线型.

A

BC

(DE//BC)(CD//AB)

2.相交线型.

AA

A

C

A

BC

【类型】一、平行线型

1.如图，在4ABC中,BE平分/ABC交AC于点E,过点E作ED〃:BC交AB于点D.

⑴求证：AEBC=BDAC；

(2)如果SAADE=3,SABDE=2,DE=6,求BC的长.

【类型】二'相交线型

2.如图，点D,E分别为△ABC的边AC,AB上的点，BD,CE交于点O,且需=黑，试问AADE与

AABC相似吗？请说明理由.

【类型】三'子母型

3.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,ADJ_BC于点D,E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于

ABDF

点F.求证:

AC-AF-

A

【类型】四、旋转型

4.如图，已知NDAB=NEAC,ZADE=ZABC.

求证：（D△ADEs^ABC；

〈々AECE-

技巧2：巧作平行线构造相似三角形

【类型】一'巧连线段的中点构造相似三角形

1.如图，在△ABC中，E,F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE,AF于点P,

Q,求BPPQQD.

【类型】二'过顶点作平行线构造相似三角形

2.如图，在△ABC中，AC=BC,F为底边AB上一点，BFAF=32,取CF的中点D,连接AD并延

长交BC于点E,求能的值.

【类型】三、过一边上,的点作平行线构造相似三角形

3.如图，在△ABC中，AB>AC,在边AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC

的延长线交于点p.求证：署

【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形

4.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=%B,连接EM并延长交BC

的延长线于点D..求证：BC=2CD.

技巧3：证比例式或等积式的技巧

【类型】一'构造平行线法

1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E,交BC的延长线于点F,

求证：AECF=BFEC.

2.如图，已知AABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F,

求证：ABDF=BCEF.

【类型】二'三点定型法

3.如图，在DABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.

DCCF

求证:

AE-AD-

DC

4.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,M为BC的中点，DMJ_BC交CA的延长线于D,交AB于E.

求证：AM2=MDME.

【类型】三、构造相似三角形法

5.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,

N.

求证：BPCP-BMCN.

【类型】四、等比过渡法

6.如图，在△ABC中，AB=AC,DE〃:BC,点F在边AC上，DF与BE相交于点G,且NEDF=NABE.

求证：(1)ADEF^ABDE；

(2)DGDF=DBEF.

7.如图，CE是MAABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BGLAP于点G,交

CE于点D.

求证：CE2=DEPE.

8.如图，在MAABC中，AD是斜边BC上的高，/ABC的平分线BE交AC于E,交AD于F.

4TBFAB

求证：BE=BC'

9.如图，在口ABCD中，AMXBC,ANXCD,垂足分别为M,N.求证:

(1)AAMB^AAND；

【类型】六、等积代换法

10.如图，在△ABC中，AD_LBC于D,DEJ_AB于E,DF_LAC于F.

4TAEAC

求I止：AF-AB-

11.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD1.BC于点D,点P是AD上一点，CF/7AB,延长BP交

AC于点E,交CF于点F,

求证：BP2=PEPF.

12.如图，已知AD平分/BAC,AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.

求证：PD2=PBPC.

【题型讲解】

【题型】一、相似图形的概念和性质

「QZ-tJ-I

例1、如图，在△ABC中，DE//AB,且J=-,则士上的值为（）

BD2CA

【题型】二、平行线分线段成比例定理

例2、如图，在AABC中，DE//BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AC的长为（）

【题型】三、相似三角形的判定

例3、如图，已知NZXB=NC4E,那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABCS/XADE的是（）

A

D

ABACABBC

B.-----=------C.ZB=ZDD.NC=ZAED

~\D~~AEADDE

【题型】四、相似三角形的性质

例4、如图，在AABC中，。、E分别是A8和AC的中点，S四边形比£。=15,则5AABC=（）

A.30B.25C.22.5D.20

【题型】五、利用相似三角形解决实际问题

例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点4再在他所在的这一侧选点3,C,D,使得

ABYBC,CD±BC,然后找出与8C的交点E,如图所示.若测得BE=90m,EC=45m,CD=60m,

则这条河的宽AB等于（）

E'、L_|C

A.120mB.67.5mC.40mD.30m

【题型】六、位似图形的概念与性质

例6、如图，△ABC与△OEP位似，点。为位似中心.已知。4：。。=1：2,则△ABC与△DEF的面积比

为（）

D

C.1：4D.1：5

【题型】七.平面直角坐标系与位似图形

例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5,且三角板的一边长为8cm.则

C.8cmD.3.2cm

相似三角形（达标训练）

一、单选题

AD

1.如图，已知£>E〃BC,贝UVADE与AABC的周长之比为（）

BD2

A.1:2B.1:4C,1：9D.1:3

2.如图，在AABC中，高80、CE相交于点E图中与△AEC一定相似的三角形有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

3.在△ABC中，D、E分别是A3、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）

4.如图，。是△ABC的边8C上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△D3A相似的是（）

A.ZC=ZBADB.NBAC=NBDA

-ACAD

D.AB2=BDBC

,BCAB

5.已知△ABCSAAB'C',AD和AD是它们的对应角平分线，若AD=8,AD=12,则AABC与AA?C'的

面积比是（）

A.2：3B.4：9C.3：2D.9；4

二、填空题

6.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆8E测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5%，测得AB=3m,

AC=10m,则建筑物CD的高是m.

□

□

□

7.如图所示，要使AABC〜AADE,需要添加一个条件（填写一个正确的即可）

三、解答题

8.如图，在AA8C中，D,E分别是AB,AC边上的点，AD:AB^AE:AC=2:3.

A

⑴求证：△ADE^AABC；

(2)若OE=4,求5C的长.

相似三角形（提升测评）

一、单选题

1.如图，在菱形A8CZ）中，点E在AO边上，EF//CD,交对角线3。于点R则下列结论中错误的是（）

DEDFEFDFEFDF「EFDF

A.B.C.D.----=-----

AEBFADDBCDBFCDDB

2.如图1为一张正三角形纸片A3C,其中。点在上，E点在5C上.今以。石为折线将5点往右折后,

BD、篦分别与AC相交于尸点、G点,如图2所示.若AZ)=10,A尸=16,DF=14,BF=8,贝！JCG的

长度为多少？（）

图1图2

A.7B.8C.9D.10

3.如图,在平面直角坐标系中有A,3两点，其中点A的坐标是（-2,1）,点3的横坐标是2,连接AO,

20.已知ZAO3=90。，则点2的纵坐标是（）

A.2#>B.4C.6D.2

4.如图，。是△ABC的边上的一点，过点。作BC的平行线交AC于点E,连接8E