相似三角形中的常见的基本模型（八大模型）原卷版-2025年中考数学冲刺复习（武汉专用）

抢分秘籍07相似三角形中的常见的基本模型

题型概览

目录

【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】相似模型之“N”字模型【题型二】相似模型之“X”字模型

【题型三】相似模型之“NX”字模型【题型四】相似模型之“母子型”模型

【题型五】相似模型之一线三等角模型【题型六】相似模型之手拉手模型

【题型七】相似模型之半角模型【题型八】相似模型之对角互补模型

解空中考

考情分析：相似三角形中的常见的基本模型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考

内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，“A”“X”“母子”“一线三等角”等模型高频，多与线段比例、面积、动点结

合，是相似判定与性质核心载体。

2.从题型角度看，选择填空考基础模型识别，解答题常以几何综合、动点探究形式出现，侧重证明相

似及求边长、比例、面积，分值8分左右，着实不少！

备考策略：熟记模型特征及对应结论，多练含动态、复合图形的综合题，注意分类讨论对应关系,

强化转化思想（复杂一基本模型）与计算准确性。

6题型特训提分

【题型一】相似模型之Z”字模型

【例1】（2025•山东滨州•模拟预测）如图，在△4BC中，点。、£分别在边/8、AC±,且。£〃BC,若

=

S"DES四边形OBCE，贝U4E:AC=.

A

A

BC

iN

“4,字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹

这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。

①””字模型②反””字模型③同向双””字模型④内接矩形模型

ADAEDE

①“N”字模型条件:如图1,DE//BC-,结论:△ADEsAABCo

ABACBC

宜ADAEDE

证明：;.NADE=/ABC,ZAED=ZACB,：./^4DE^AABC,：.—=—=—。

ABACBC

②反””字模型条件：如图2,/AED=/B；结论：AADE^/\ACB^—=—=—

ACABBCo

„、…ADAEDE

证明:AZA=ZA,（公共角）：.AADE^>/\ACB,：.一=一=一。

ACABBC

③同向双””字模型条件：如图3,EF//BC；

结论：LAEFsAABC,/^AEGs^ABD,/IAGFSAADC0里二胆:坦。

BDCDAD

证明：尸〃2C,：.NAEF=/ABC,ZAFE=ZACB,：.AAEF^^ABC,

ADAEDE

同理可证：AAEG^^XABD,AAGF^^ADC,：.—=一=—。

ABACBC

④内接矩形模型条件：如图4,A42C的内接矩形DEFG的边斯在BC边上，D、G分别在/2、4c边

上，且NM12C；结论：AADGsAABC,AADN^AABM,MGNS/\4cM=DG_AN.AN.

BCABAM

证明:：DEFG是矩形：.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^>/\ABC,

同理可证：AADN^AABM,AAGN^>/\ACM,:.世=史=处。

BCABAM

【例2】（2025,湖北武汉•一模）如图，一块材料的形状是等腰△NBC,AB=AC=5cm,5C=6cm,把它加

工成正方形防G"零件，使正方形的一边在8C边上，其余两个顶点分别在48,NC上，则这个正方形零

件的边长是cm.

A

【变式1】（24-25九年级上•安徽亳州•阶段练习）（1）如图1,在中，E是AB上一点,过点E作

on

的平行线交NC于点尸，点。是8c上任意一点，连接4D交E尸于点G,求证：---；

（2）如图2,在（1）的条件下，连接B尸，DF,若好FG=彳1，且FE，E8恰好将N/ED三等分，求行DF的

FG2FC

值.

【变式2】（2025•黑龙江佳木斯•一模）如图，在RtA/OB中，ZAOB=90。,。4和02的长分别是方程

f-7x+12=0的两个根（。/＜。8）,以。为原点，。2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点尸从点

3出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点A运动，同时点。从点A出发，以相同的速度向点O匀速运

动，到达点。后又立即按原速返回，当点尸到达终点时，点。也随之停止运动，连接尸。，设点P、0的运

动时间为/秒，△/尸。的面积为S.请结合图象信息解答下列问题：

⑴求线段的长；

⑵求S与f之间的函数关系式；

⑶是否存在f的值，使△/尸。为直角三角形？若存在，请直接写出/的值：若不存在请说明理由.

【题型二】相似模型之“X'字模型（“8”字模型）

【例1】（2025•湖南张家界•一模）如图，线段与CD相交于点尸，AP=5,CP=3,BP=10,

DP=6.求证：AAPCs^BPD.

AC

DB

“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个

三角形相似.

①“8”字模型②反“8”字模型③平行双“8”字模型④斜双“8”字模型

~八，p，-ABOAOB

条件：如图1,AB//CD-,结论：/\AOBs4cOD=——=—=—。

CDOC0D

、ABOAOB

证明：；.N/=NC,NB=/D,J.AAOB^ACOD,：.——=—='~■0

CDOCOD

②反“8”字模型

-八，e，-ABOAOB

条件：如图2,/A=/D；结论：AAOBS/\DOC=—=—=—o

CDODOC

r4BOAOB

证明:=ZAOB=ZDOC,（对顶角）：.AAOB^^\DOC,：.——=——=—。

CDODOC

③平行双“8”字模型

条件：如图3,AB//CD-,结论：9=些=丝。

DFCFCD

证明；./A=/D,ZAEO=ZDFO,：.AAEO^/\DFO,

同理可证：ABEOsACFO,AABO^>/\DCO,.•.至=迫=理。

DFCFCD

④斜双“8”字模型

条件：如图4,Z1=Z2；结论：AAOD^/\BOC,/^AOB^AZ）OC<^>z3=Z4o

证明：：/l=N2,//OD=N8OC（对顶角），：.AAOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,BPAO:DO=BO:CO；

•.•/NO8=/DOC（对顶角），：./^AOB^^DOC,；./3=/4。

【例2】（2025•陕西西安•一模）如图，在矩形中，£是/。的中点，连接CE,交对角线2。于点

F.若/。=6,则要的值为

【变式1】（2025•天津红桥•一模）如图，线段N8,O相交于点E,若NE=10,CE=6,BE=5,

DE=3.

⑴求证：AC〃DB；

（2）若BD=CE,求4C的长.

【变式2］（2025•安徽池州•一模）如图，在矩形/BCD中，点E在边上，连接CE,交对角线于点

F,且4E=CE.

⑴若403=35。，求/DCE的度数；

⑵若£/=1,CF=4,求。£的长；

EF

（3）若尸，求大三的值.

Cr

【变式3］（2025•江苏宿迁•一模）在梯形/BCD中，AD//BC,点£在边N8上，且/£=

⑴如图1所示，点尸在边C。上，且。尸=连接£尸，求证：EF//BC；

(2)己知AD=AE=1.

s

①如图2所示，如果点阴■在边3c上，S.BM=CM=2,连接DM、EC,DM与EC交于N.求瞪生

3Aoe/V

的值；

②如图3所示，连接。E,如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径

长.

【题型三】相似模型之“4T字模型（“N8”字模型）

【例11（2025・安徽合肥・一模）已知点E是矩形边D4延长上一点，且NE=NC,。是对角线NC和

的交点.连接CE,交于尸，交BD于G,连接。尸，如图1.

(图2)

(2)若/3=3,AD=4,求tan//。尸的值.

R「2

（3）若N5=4D,如图2,求券的值.

技I巧

①一””+“8”模型②两”，，+，，8”模型（反向双"”字模型）③四”，，+“8”模型

图3

①一“4"+“8”模型条件：如图1,DE//BC；

结论：AADESAABC,ADEFsMBF,=迎=理=匹=变=££

ABACBCFCBF

ADAEDE

证明:；・/ADE=NABC,NAED=/ACB,：.AADE^AABC,：.—=一=—0

ABACBC

*：DE//BC,:./FDE=/FCB,/DEF=/CBF,：.ADEF^/\CBF,・••匹=竺=生

BCFCBF

.AD_AEDE_DF_FE

•,花一二一瓦一7F一而。

②两””+“8”模型条件：如图2,DE//AF//BC；

结论：△DAFS^DBC,ACAF^ACED,=_L=J-+J_。

AFBCDE

证明：/〃BC,:./DAF=/B,ZDFA=ZDCB,：./\DAF^^DBC,:=空。

DCBC

'：DE//AF,：.ZCAF=ZE,ZCFA=ZCDE,：.^CAF^/\CED,:.式=空。

CDDE

两式相加得到："+”="+殳,即1=空+丝，故_L=_L+，。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“4”+“8”模型3条件：如图3,DE//GF//BC；结论：AF=AG,—+—=—=—=—

BCDEAFAGGF

证明:同②中的证法，易证：x+x=x,x+x=x,

BCDEAFBCDEAG

：.J-=-L,BPAF=AG,1।1_1_2o

AFAGBCDEGF_GF

彳的562Mli海场蒲二穰屋巨面「痂鼠一在短元益而用「煮万「万芬期在逅月日一丽王

NBAE=NDAF,延长/£、NF分别交DC、BC延长线于点〃、G.

⑴求证：DF-CD=BEBC；

⑵联结跖、HG,如果E尸〃HG,求证：四边形48co是正方形.

【变式1】（2025,安徽铜陵•一模）如图，四边形48co中，N4BC=NDCB=90。,CD=2AB,AC、BD

相交于点E,EFIBC,垂足为点尸，连接。尸交AC于点G,连接BG.

⑴求证：AD=AC.

⑵求一的值;

⑶求证：BG//AD.

【变式2】（2024・湖北•模拟预测）（1）【问题背景】如图1,ABIIEFHCD,4。与2C相交于点E,点尸在

111

BD上.求证:---1---=--

ABCDEF

图1图2图3

小雅同学的想法是将结论转化为基来证明,

M+=i请你按照小雅的思路完成原题的证明过程.

ABCD

（2）【类比探究】如图2,AE1AB,BD1AB,GHA.AB,与3C相交于点G,点〃在上,

112

AE=AC.求证：--------=

GHACBD

（3）【拓展运用】如图3,在/C四边形/BCD中，AB//CD,连接，BD交于点M,过点M作跖〃

交4D于点、E,交BC于点、F,连接EC,ED交于点N,过点N作G"〃/3,交4D于点G,交BC于点、H,

若/3=3,CD=5,直接写出GZZ的长.

【题型四】相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）

【例1】（2025,湖北武汉•一模）（1）【提出问题】如图1,M是△ABC的边2C上一点，且

AM_AB

2MAB=/ACB.求证:~AC~liC

（2）【探究问题】在四边形48CD中，ZABC=90°,AD//BC,E是边C。上一点，连接BE交NC于点

P,S.ZCBE=ZACD.

①如图2,若/8=3,BC=4,BELCD,求BE的长;

RF

②如图3,若E为CD的中点,直接写出黑的值.

A.C

图1图2图3

iN

“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三

角形相似。

□“母子，，模型（斜射影模型）

条件：如图1,NC=/ABD；结论：/\ABD^£\ACB,AB^AD-AC.

证明：:NC=/ABD,ZDAB=ZBAC,：.AADB^/\BAC,:.空=理,：.AB2=AD-AC.

ABBC

2）双垂直模型（射影模型）

条件：如图2,ZACB=90°,CDLAB；

结论：AACD^△CBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

证明：VZACB=90°,CD±AB,：.ZA+ZACD=90°,ZA+ZB=90°,：.ZB=ZACD,

'：ZA=ZA,:.△ACDs^ABC,...王=丝，：.AC2=ADAB.同理可证：BC1=BDBA,CD2=DADB.

ABAC

3）“母子”模型（变形）

条件：如图3,ZD=ZCAE,AB=AC；结论：AABD^/\ECA；

证明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,VZD=ZCAE,：.AABD^>/\ECA

4）共边模型

条件：如图1,在四边形中，对角线2。平分//8C,NADB=NDCB,结论：BD:BABC；

证明：•.,对角线AD平分N/5C,ZABD=ZCBC,

•；NADB=NDCB,：.AADB^>/\DCB,；.理="，:.BD?=BABC

DBBC

"歹『打豆花工山东演加稹赦森湎厂如囱厂至正入1后石甫:一之及万二丽二丁三豕近灰^彳6工万友/万近工而

高CD分别记为a,6,c,〃.

A

图1图2

⑴求证：ab=ch；

⑵求证:不+手=言;

⑶若将变为锐角△/3C,其他不变，如图，设其外接圆的直径为d,试探索并写出瓦d这4个

量的一个等量关系，然后给出证明.

【变式1］（2025•江苏徐州•一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体

现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建.汤老师对此题进行了变式处理，

请按要求完成下列问题.

a

图1图2图3

⑴如图1,在△4BC中，。在边2C上，且N1=N2,求证：AB?=BD-BC;

（2）如图2,在△NBC中，若44c8=90。，CD142于点。，AC=3,BC^4,求BD；

⑶图3,已知点。在线段N8上，用无刻度的直尺和圆规在直线。上找所有的点尸，满足NBPD=/PAB.

【变式2】（2025•吉林长春•一模）如图，在RtZ\/8C中，44c8=90。，AB=245,4C=2,点、E是边BC

上一点（且点E不与点2、C重合），连结/E.过点C作CDL/E,交边AB于点、D,交线段/E于点尸.

⑴边8C的长为;

⑵当时，求4D的长；

AD

⑶当CE=3时，求黑的值；

DD

⑷连结当四边形/CED为轴对称图形时，直接写出5。的长.

【题型五】相似模型之一线三等角模型

【例1】（2025,安徽滁州•一模）如图，在四边形4BCD中，E是BC上的一点，且乙1ED=4B=NC.

D

图1图2

⑴如图1,若N4ED=NB=NC=90°,求证：AABEs^ECD.

（2）如图2,若NAED=/B=NC=45°.

①求证：ABCD=BECE.

②若AB=3&，BE=1,CE=2,求的长.

1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型）

条件:如图,Z1=Z2=Z3,

证明:'：Z1+ZC=Z2+ZDEB（外角定理），Z1=Z2

：.ZC=ZDEB,VZ1=Z3,：.AACE^>/\BEDo

2）一线三等角模型（异侧型）

结论：AADE^^BEC.

证明：VZ1=Z2,.•./C5£=NE4D（等角的补角相等），：.ZC=ZDEB,VZ1=Z3,：.AACE^/\BEDo

'：Z2=ZC+ZCEB（外角定理），Z3=ZDEA+ZCEB,Z2=Z3：.ZC=ZDEA,:.△ADEs^BEC.

3）一线三等角模型（变异型）

①特殊中点型：条件：如图1,若C为48的中点，且/1=/2=/3,结论：AACEs^BEDsAECD.

证明：Z1+ZC=Z2+ZDEB（外角定理），Z1=Z2,/.ZC=ZDEB,VZ1=Z3,:.AACEsABED。

:.更=巴,：C为N8的中点，：.AE=EB,:.里=吗,.•.些=也，VZ2=Z3,：./\BED^/\ECD

BDEDBDEDCEED

②一线三直角变异型1：条件：如图2,ZABD=ZAFE=ZBDE=90°.^:^；z^ABC^/\BDE^/\BFC^/\AFB.

证明：VZABD=ZAFE=90°,：.ZABF+ZCBF=90°,ZA+ZABF=90°,：.ZCBF=ZA,

'：ZABD=ZBDE=90°,：.AABC^/\BDE,VZABD=ZAFE=9Q°,：.ZABC=ZBFC=90°,

：.AABC^/\BFC,同理可证：AABCs^AFB。,故/^ABCsABDEs^BFCsAAFB.

③一线三直角变异型2：条件：如图3,//8D=NNCE=/8r>£=90。.结论：AABM^/\NDE^/\NCM.

证明：VZABD=ZACE=90°,：.ZABM=ZMCN=90°,

（对顶角相等）:AABMs^NCM.同理可证：ANDEsXNCM

故：AABMsANDESANCM.

彳两万］，565］妾薇淮北二穰又如画i「茬西丽7瓦力市「25二2口一■万富万工1二百「豆~一

NAED=ZB.

图1

⑴求证：AABEsAECD.

⑵①如图2,若tan乙lZ>E=q,当NB=NC=90。时，求证：4AB=3CE

②如图3,当乙8=NC=120。，CE=2,BE=6,CD=4时，求40的长.

【变式1】（2025•广东深圳・二模）在平行四边形ABCC•中，点E,尸分别在边8C,CDh.

CF

【尝试初探】（1）如图1,若平行四边形功。是正方形，E为比的中点，N-。。，求方的值;

【深入探究】（2）如图2,4=45。，/AEF=90。，AE=EF,求"的值；

DF

4AR5RF3CF

【拓展延伸】（3）如图3,BF与DE交于点O,tanZBOE=tanZA=-f—=求/的值.

【变式2](2025・山东济南•一模)(一)模型呈现

(1)如图1,点A在直线/上，NBAD=9Qo,AB=AD,过点3作BCD于点C,过点。作。于点£,

由Nl+N2=N2+ND=90。，得N1=ZD,又NACB=NDEA=9。°,可以推理得到A/BC丝。,进而得到

4C=,BC=.我们把这个数学模型称为"K字"模型或"一线三等角"模型；

(二)模型体验

(2)如图2,在△/BC中，点D为AB上一点,DE=DF=3,NA=NEDF=NB,四边形CEO尸的周长为

10,ZUBC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到A4DE之ABFD,进而得到

AE=BD,AD=BF,^AB=AE+BF,再根据题目中周长信息就可得=；

(三)模型拓展

(3)如图3,在△N8C中，ZACB=90°,AC=2BC,直线MN经过点C,且/DLMN于点。，BE1MN

于点E.请猜想线段。之间的数量关系，并写出证明过程：

(四)模型应用

(4)如图4,已知在矩形N8C。中，48=14,20=7,点E在。边上，且。£=4.尸是对角线NC上一动

点，。是边上一动点，且满足sin/EPQ=gVL当尸在NC上运动时，请求线段的最大值，并求出

此时线段4尸的长度.

【题型六】相似模型之手拉手模型

[例1](2025•甘肃陇南•一模)几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径.解决几何综合

探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法.

【初步探究】

(1)如图1,将ZUBC绕点A逆时针旋转90。得到连接CE,DB.

①/ACE的度数为；

②若CE=2,则◎的长为；

【拓展延伸】

(2)如图2,在四边形中，CD=CB,NB4D+/BCD=90。,AC,AD为对角线，且满足

3

AC=-CD,若ZQ=3,AB=4,请求出AD的长.

技I巧

1）手拉手相似模型（任意三角形）

条件:如图，ZBAC=ZDAE=a,—=—=yt；

AEAC

结论：AADEsAABC,AABD^^ACE；处=左；NBFC=NBAC.

EC

证明：•.•些=丝=左，，丝=丝，VZBAC=ZDAE=a,：./^ADE^^ABC,

ABACABAC

ZBAC=ZDAE=a,；.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：.ZBAD=ZCAE,

...丝=坐=左，：./^4BDs44CE,.•.些=丝=左，ZABD=ZACE,：.ZBFC=ZBAC=ZDAE=a,

AEACECAC

2）手拉手相似模型（直角三角形）

ODOB

结论：-OCsABOD；江=左，ACLBD,SARCn=-ABxCD-

BDABCD2

证明：ZAOB=ZCOD=90°,AZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,：.ZAOC=ZBOD,

•：2£=2A=k，：.AAOCsABOD,：.^£=2A=k,ZOAB=ZOBD,

ODOBBDOB

：.ZAEB=ZAOB=90°,：.AC±BD,：.SAKrn=-AB^CD-

【例2】(2025•江苏盐城•一模)问题情境借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶

点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究.如图1,在"BC中，N2=90。,

AB=BC=4,分别取/8、NC的中点。、E,作如图2所示，将△NZJE绕点A逆时针旋转，连

接3。、CE.

【类比应用】如图3,当DE所在直线首次经过点3时，求CE的长.

【延伸思考】如图4,在RtZUBC中，N4BC=90°,AB=S,BC=6,分别取/8、5c的中点。、E.作

ABDE,将△3DE绕点8逆时针旋转，连接AD、CE.当2。首次与NC平行时，求的面积.

【变式1](2025•江苏连云港•一模)综合与实践：

【新知定义】如图1,若/BACWE,则△曲，△曲.小明称图1中的△,和

互为“手拉手等形三角形

(1)如图2,若/A4c=90。，ZB=30°,3c=4,。为8C的中点.以4D为一边在4D右侧作,

且ZX/BC和△/£)£互为"手拉手等形三角形"，连接CE,则C£的长为；

(2)在图1中，连接2DCE,求证：AABD"ACE；

【变式应用】

(3)如图3,在△/BC中，AB=AC=5,3c=6,。为8c的中点，为一边在右侧作,

NBAC=ND4E,S^ABC=S^ADE,连接CE,求CE的长；

【综合应用】

(4)如图4,若NA4c=90。，ZB=30°,AC=1,若。点在线段BC上运动(BDv^BC,且点。不与点

8重合)，以4D为一边在4D右侧作△/£>£,且△4BC和互为"手拉手等形三角形"，连接CE.以

40、NE为边构造矩形4D尸E,连接CF.直接写出面积的最大值及此时RD的长度.

【变式2］（2025•广东东莞•一模）【问题背景】

已知。、E分别是△48C的48边和NC边上的点，且DE〃BC,则把绕着A逆

时针方向旋转，连接AD和CE.

①如图2,找出图中的另外一组相似三角形」

②若/B=8,AC=6,BD=4,则C£=_；

【迁移应用】

如图3,在氏△A8C和口中，ABAC=ADAE=90°,/ABC=/ADE,AB=6,/C=8,点。是

线段BC上一动点，连接EC.

①请求出笠的值及/DCE的度数，并说明理由.

BD

②如图4,点P是。E的中点，在点。从8点运动到C点的过程中，请直接写出点?经过的路径长.

【创新应用】

4D1

如图5:/B=/C=/E=2指，BC=4,1是直角三角形，NDAE=90°,—,将△/£>£■绕着点A旋

AE2

BF

转，连接班，尸是BE上一点,笔=：2,连接CF,求CF的取值范围.

BE5

图1图2图3

图4图5

【题型七】相似模型之半角模型

【例1】（2024•辽宁•模拟预测）⑴如图，等腰Rd/BC中，AB=AC,/A4c=90。，D、£在线段8C

上，且/D4E=45。，BC=U,BD=3,求DE的长.

。在E的右侧,

ZDAE=60°,若BC=12,CD=2,求。E的长.

（3）如图，在△/2C中，若ZB/C=2a,D、E是线段8C上的两点，ZEAD=a,若AC=k4B,

AD=4kAE,探究BE与CD的数量关系.

1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）

条件：已知，如图，在正方形/BCD中，NE4尸的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且/区4歹=45。

证明：：川?CD是正方形，AZADM=45°,•:/EAF=45°,：./ADM=/EAF,

VZAMD=ZNMA,：.AMDA^/\MAN,同理：AMAN^/\ABN,:.LMDAsAMANs八ABN；

结论：如图2,ABMEs丛AMNsADFN.

证明：是正方形，AZNDF=45°,VZEAF^45°,：.ZNDF=ZEAF,

"：ZDNF=ZANM,：.AAMN^/^DFN,同理：ABMEs丛AMN,：.ABME^/\AMN^/1DFN-,

ApApAr1—

结论：如图3,连接4C,则尸c,AAND^AAEC,且——=——=—=V2；

AMANAB

A,DA,D

Q

451454

图3图4

AC1厂

证明：・・Z3CD是正方形,：.ABAC=ZABC=ZACF=45°,——=J2,JZBAM+ZMAC=45°,

AB

Ap

'：ZEAF=45°,：.ZFAC+ZMAC=45°,：.ZBAM=ZFAC,：./^AMB^^AFC,：.——条收。

AM

AEAC仄日口AFAE

同理：AAND^AAEC,V2；即---=——空地。

ANABAMANAB

ApAE

结论：如图4,AAMNs4AFE且——二

AMANMN

证明：是正方形，:・AB〃CD,AZDFA=ZBAN；•：NAFE=NAFD,NBAN=/AMD,：.ZAFE=

ZAMN]

又/MAN=/FAE,:AAMNsAAFE,由图证明知：

3AFAE”6••AFAE型=母

AMANABAMANMN

2）半角模型（含120-60。半角模型）

条件：如图5,已知N8/C=120。，ZADE=ZDAE=60°；

结论：①4ABDsACAEsMBA；©—=—=—；③AD-4E=BD-CE(DE?=BD-CE)。

BDAEAB

证明：*?ZADE=ZDAE=60°,Z.ZADE=60°,：.ZADB=120°,VZBAC^120°,：,ZADB=ZBAC,

VZABD=ZCBA,：.AABD^ACBA；:.坦=吧,即：丝=江，

ACABBDAB

同理：LCAEsACBA,.•.里=四，即："="，即：AABD^ACAE^ACBA；—=—=—,

ACABAEABBDAEAB

：.ADAE^BDCE,'：AD=AE=DE,：.DE2=BDCE

【例2】（2024•江西南昌•模拟预测）【模型建立】

图2

⑴如图1,在正方形48CD中，E,尸分别是边BC,C。上的点，且NE/尸=45。，探究图中线段斯，BE,

。尸之间的数量关系.

小明的探究思路如下：延长C8到点G,使8G=。9,连接4G,先证明A4D尸取A48G,再证明

△AEF注AAEG.

@EF,BE,。尸之间的数量关系为；

②小亮发现这里A/3G可以由△/£）厂经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程.像

上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型.

【类比探究】

⑵如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,//3C与一。互补，E,尸分别是边8C,CD上的点，且

NE4F=pBAD，试问线段EF,BE,。尸之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由.

【模型应用】

（3）如图3,在矩形4BCD中，点E在边BC上，40=6,4B=4,ZCAE=45°,求CE的长.

【题型八】相似模型之对角互补模型

【例1】（2025,湖北武汉•一模）如图，8。是四边形/BCD的对角线，已知/A8C=/4DC=90。.

⑴如图1,点E在8c的延长线上，若NBDE=90°,求证：AADBs^CDE；

⑵如图2,若/48。=60。，求证：AB+^BC=2BD-,

（3）如图3,若DA=DB,tanZDBC=k,直接写出tanNADC的值（用含左的式子表示）.

TO

1）对角互补相似1

条件：如图，在放△/8C中，/C=/£。9=90。，点。是N8的中点,

结论：如图，过点。作OOUC,OHLBC,垂足分别为。，H,则：①4ODE〜4OHF：②匹=生

OFAC

证明：-：OD±AC,OH1BC,垂足分别为D,H,:./EDO=/FHO=90°,

'：ZC=90°,四边形O//CZ）为矩形，ZDOH=90°,DO=CH：.ZDOF+ZHOF=90°,

VZEOF=90°,：.ZDOF+ZDOE=90°,：.ZHOF=ZDOE,：・AODE〜AOHF,—

OFOH

*：ZC=ZOHD=90°,点。是48的中点，.•・〃为5C中点，：.BH=CH,：.BH=DO,—

OHOH

••・NC=/OHD=90。,NB=/B,.•.△OHB4CB,：.%啜，.•喘=*=*啜

2）对角互补相似2

条件：如图，已知N/O2=NDCE=90。，/BOC=

结论1：如图1,过点C作CFJ_6M,CG±OB,垂足分别为凡G；贝IJ①aECG〜△DCF；②CE=

CD-tana.

证明：法1：CG±OB,垂足分别为尸,G；:./EGC=/DFC=9Q°,

VZAOB^90°,二四边形。GCB为矩形，AZGCF=90°,CF=OG,：.ZFCD+ZDCG^90°,

VZDC^=90°,：.ZGCE+ZDCG=90°:・NGCE=NFCD,:・ECG〜4DCF,