2024北京重点校高一（下）期末数学汇编：三角函数章节综合（解答题）

第1页/共1页2024北京重点校高一（下）期末数学汇编三角函数章节综合（解答题）一、解答题1．（2024北京东城高一下期末）设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在．(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围．条件①：函数的图象经过点；条件②：在区间上单调递增；条件③：足的一条对称轴．2．（2024北京西城高一下期末）若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数．(1)判断是否是好函数，证明你的结论；(2)对任意实数，函数满足．若是好函数，（i）当时，求；（ii）求证：不是周期函数；（iii）求证：是好函数．3．（2024北京怀柔高一下期末）在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量.(1)设，写出函数ℎx的相伴向量；(2)若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有2个不同的交点，求实数的取值范围；(3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.4．（2024北京石景山高一下期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．

(1)求的值；(2)求的值．5．（2024北京北师大附中高一下期末）已知函数h(x)的定义域为R.若存在正整数k，使得对于任意实数x，都有则称具有性质.(1)判断函数是否具有性质P(2)，并说明理由；(2)设函数其中是否存在ω、φ，使得具有性质?若存在，求ω，φ的值；若不存在，说明理由；(3)已知函数具有性质(k为正偶数)，且在区间上的值域为.设函数，且满足下列条件：①；②对于任意实数x，都有；③在区间上的零点不超过个.求证：存在正偶数使得.参考公式：.6．（2024北京北师大附中高一下期末）某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为（单位：m），且满足；③玩具弹最终落在点.根据上述模型，解决下列问题：(1)当时.（i）若时，玩具弹刚好落在点，求及此次的发射仰角θ的值；（ii）求的最大值及此时的发射仰角θ；(2)当时，求证：.7．（2024北京北师大附中高一下期末）设函数其中的最小正周期为π.(1)求；(2)当时，恒成立，求m的最大值；(3)将f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.直接写出方程的根的个数.8．（2024北京清华附中高一下期末）在中，，，分别为，，所对的边，已知.(1)求的大小；(2)若且，求的长.9．（2024北京昌平高一下期末）已知函数，先将图象上所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象.(1)求的解析式和零点；(2)已知关于的方程在区间内有两个不同的解.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求的值.（用含的式子表示）10．（2024北京101中学高一下期末）已知函数，且．(1)求a的值和的最小正周期；(2)求在上的单调递增区间．11．（2024北京怀柔高一下期末）已知函数从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一.条件①：；条件②：在区间单调，且；条件③：函数相邻两个零点间的距离为.选__________作为条件(1)求值；(2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值.12．（2024北京顺义高一下期末）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：直线是函数的图象的一条对称轴．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的单调递增区间．13．（2024北京海淀高一下期末）已知函数．(1)求的值和的零点；(2)求的单调递增区间．14．（2024北京西城高一下期末）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若函数，（i）求函数的单调递增区间；（ii）求函数在区间内的所有零点的和．15．（2024北京西城高一下期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．(1)求及的值；(2)求的值．16．（2024北京昌平高一下期末）已知函数，图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求的解析式；(2)求在区间上的最小值；(3)若在区间上单调递增，求实数的最大值.17．（2024北京昌平高一下期末）已知，且为第二象限角.(1)求的值；(2)求的值.18．（2024北京东城高一下期末）已知，．(1)求的值；(2)求的值．19．（2024北京石景山高一下期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记．

(1)求的长（用表示）；(2)求面积的最大值，并求此时角的大小．20．（2024北京第八中学高一下期末）已知．(1)若为锐角，求的值；(2)求的值．21．（2024北京第八中学高一下期末）已知函数，且_____．从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．(1)求函数的单调递增区间；(2)设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．22．（2024北京延庆高一下期末）已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求函数的最值及取得最值时自变量的值.

参考答案1．(1)，单调递减区间为；(2)【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合所选条件，利用周期与单调性求出，求函数解析式即可；（2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，依题意．【详解】（1）因为，若选①②：由①函数的图象经过点，则，，即，，由②在区间上单调递增，有，即，又且，即，所以，此时不存在；选条件②③：由②在区间上单调递增，有，即，又且，即，所以，由③是的一条对称轴，则，，所以，，所以，所以，则的最小正周期，由，解得，所以的单调递减区间为；若选①③：由①函数的图象经过点，则，，即，，由③是的一条对称轴，则，，所以，，此时不存在；（2）由（1）可知，因为，所以，所以，，因为对于任意的，都有，所以，即的取值范围为．2．(1)是好函数，不是好函数，证明见解析；(2)（i）（ii）证明见解析（iii）证明见解析【分析】（1）根据好函数的定义直接判断即可；（2）（i）由所给条件直接得出（ii）假设函数为周期函数，推出矛盾可证明函数不是周期函数（iii）证明函数为好函数转化为证明为周期函数，再由函数周期的性质化简即可得证.【详解】（1）因为，其中为周期函数，所以为好函数，、若为好函数，则存在实数和周期函数，使得，所以为周期函数，又由二次函数性质知当且仅当时，取最小值，这与是周期函数矛盾，所以不是好函数.（2）（i）由，，可得.（ii）若是周期函数，设是的一个周期，则，这与矛盾，所以不是周期函数.(iii)因为是好函数，所以存在实数和周期函数，使得，由(ii)知，否则是周期函数，矛盾.令，以下证是以为周期的周期函数，是的周期，假设存在，使得，则，矛盾.所以，所以.所以是好函数.【点睛】关键点点睛：证明是好函数，即证存在实数和周期函数，使得，据此可构造函数，转化为证明是以为周期的周期函数，再由周期函数的定义证明即可.3．(1)(2)或(3)答案见详解【分析】（1）根据两角差的正弦公式即可求解；（2）画出的图像以及直线的图像，数形结合可得的取值范围；（3）结合函数图像，对进行分类讨论即可求解.【详解】（1）因为，所以函数ℎx的相伴向量；（2）若的有序相伴向量为，则，所以，如图所示，当，；由图像可知，若函数ℎx与直线有且仅有2个不同的交点，则或；（3）若的有序相伴向量为，则，当时，，当时，假设存在是否存在“和谐区间”，则由，得，①若，则由，知，与值域矛盾，故存在“和谐区间”，②同理，时，也，不存在；下面讨论③若，则，故的最小值为，于是，所以，所以的最大值为，故，此时的定义域为，值域为，符合题意，④若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若，即，，故，，与矛盾，若，同理，矛盾，所以，即，由图像可知，当时，，因为，所以，从而，从而，矛盾，综上所述，有唯一“和谐区间”.【点睛】此题为向量和三角函数相结合的新定义问题；主要把握住它们之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题，数形结合解决问题.4．(1)(2)【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案.（2）由题结合二倍角正切公式可得答案.【详解】（1）由题结合任意角三角函数定义可得：；（2）由题可得：，则.5．(1)具有，不具有，理由见解析；(2)，具有性质；(3)证明见解析.【分析】（1）利用给定的定义分别验证，即可判断得解.（2）利用给定的定义，再利用和差化积，结合恒成立得，由给定范围求出.（3）利用给定的定义，结合反证法推理得，再按取奇偶探讨即得.【详解】（1）由，得，而，因此，函数具有性质；由，得，而，因此g(x)+g(2π)=cosx+1≠g(x+2π（2）若函数具有性质，则，而，因此，即，由对任意实数上式恒成立，得，则存在整数，使得，即，为偶数，而，于是，此时，则存在整数，使得，即，又，则，此时，所以存在使函数具有性质.（3）由函数具有性质，得，则，解得，由对于任意实数x，都有，得，，而，于是，因此存在整数，使得，而在区间上的值域为，从而在区间上的值域为，且为正整数.①当时，存在，使得，且与在区间上的零点不超过个矛盾，因此；②当，且为正奇数时，因为对于任意实数，，则，又，因此，即与矛盾，所以存在正偶数使得.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.6．(1)（i），；（ii）(2)证明见解析【分析】（1）（i）根据，求得，进而求得；（ii）根据题意，得，进而求得，即可求解；（2）根据，整理得，再由辅助角公式化简得，即可求解.【详解】（1）（i）当时，，由，得，因为，所以此次的发射仰角为，；（ii）当时，，由，得，所以，因为，所以，所以时，取得最大值.（2）当时，，由，得，因为，所以，代入式整理得，得，所以，其中，所以，解得.7．(1)2(2)(3)3【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，再由周期公式求解即可；（2）先求得的范围，再利用整体法，结合三角函数的性质即可得解；（3）先利用三角函数变换得到，从而将问题转化为与的图象的交点个数问题，数形结合即可得解.【详解】（1），的最小正周期为.则，得；（2）由（1）得，因为，所以，由，得，得，故的最大值为：；（3）由题意得，，由，作出函数的图象，如图所示：方程的根的个数：3.8．(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理边角互化即可；（2）用余弦定理，结合已知式子求出，再结合面积公式，可以求出,最后代入已知的式子可以求出.【详解】（1）由和正弦定理得，，则，即，则，即，由于，则，则.（2）由余弦定理得，.又，则，求的.由，即，即，则.代入得，，解得.9．(1)；(2)；【分析】（1）用辅助角公式化简，由三角函数的图象变换可得，继而可得零点；（2）（ⅰ）由（1）得（其中），从而可得的取值范围.（ⅱ）由题意可得，当时，可求；当时，可求，由，从而可以求解.【详解】（1），将图象上所有点向右平移个单位得，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则，的零点为和，故的零点为.（2）（ⅰ）（其中），方程在区间内有两个不同的解，即在区间内有两个不同的解，故.（ⅱ）是方程（其中）在区间内有两个不同的解，，当时，，即，即；当时，，即，即；.故.10．(1)，；(2).【分析】（1）根据求出，然后利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可得；（2）利用整体代入法求出的单调递增区间，结合可得.【详解】（1）因为，所以，即，解得，所以，所以的最小正周期为.（2）由，解得，所以的单调递增区间为，所以在上的单调递增区间为.11．(1)(2)当时，；当时，【分析】先化简，（1）若选条件，分别求解，舍掉不满足存在且唯一，逐一检验即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范围即可求解.【详解】（1），若选条件①，,，即，无解，不合题意；若选条件②，因为，所以且所以过图象的最高点，过图象的最低点，又因为在区间单调，所以解得，当时，，当时，，所以在区间不单调，不符合题意，所以；若选条件③，因为相邻两个零点间的距离为，所以，即，又，解得，不合题意；综上，；（2）由（1）知，当时，，所以，当时，；当时，.12．(1)；(2).【分析】（1）由可得条件①不满足，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，由条件②③结合正弦函数性质求出，进而求出最小正周期.（2）由（1）求出的单调递增区间，进而求出在给定区间上的递增区间.【详解】（1）函数，有，因此条件①不满足，，其中，函数的最大值为，由条件②得，解得，当时，，满足条件③，当时，，不满足条件③，因此函数满足条件②③，且唯一确定，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知，，解得，即函数在上单调递增，所以函数在区间上的单调递增区间为.13．(1)，的零点为；(2)的单调递增区间为.【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可；（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.【详解】（1）令，所以．所以的零点为（2）因为的单调递增区间为所以．所以所以函数的单调递增区间为14．(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；（2）根据三角恒等变换化简，进而利用正弦函数单调性求单调区间，再由正弦函数性质得出零点，即可求和.【详解】（1）由图象可知：，将点代入得，∴（2）（i）令，解得，所以函数的单调递增区间为.（ii）令，即，所以或，即或，由可得，零点为，故零点之和为.15．(1)；(2)【分析】（1）根据任意角的三角函数值的定义求，再利用倍角公式求；（2）根据任意角的三角函数值的定义求，再利用倍角公式、诱导公式运算求解.【详解】（1）由题意可知：，所以.（2）由题意可得：，则，所以.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根据条件，利用辅助角公式得到，再结合条件，即可得到，从而求出结果；（2）令，得到，利用的图象与性质，即可求出结果；（3）利用的图象与性质，求出的单调增区间，再结合条件，即可求出结果.【详解】（1）因为，又图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且，所以，得到，所以.（2）由（1）知，令，则因为，所以，得到，所以在区间上的最小值为.（3）因为，由，得到，令，得到，又在区间上单调递增，所以实数的最大值为.17．(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用正切的和角公式，即可求解；（2）利用倍角公式及正弦的差角公式，得到，即可求解.【详解】（1）因为，且为第二象限角，所以，得到，所以.（2）因为，由（1）知，，所以.18．(1)(2)【分析】（1）首先求出，，再由两角差的正切公式计算可得；（2）利用二倍角公式和降幂公式将其化为一倍角，再代入计算可得.【详解】（1）因为，，所以，则，所以.（2）.19．(1)(2)时，面积的最大值为．【分析】（1）过，作的垂线，垂足分别为，，由求解；（2）由求解．【详解】（1）解：过，作的垂线，垂足分别为，，

则，，，．（2），．，，，即时，，因此，当时，面积的最大值为．20．(1)(2)【分析】（1）根据题意先求，再利用两角和的余弦公式运算求解；（2）根据倍角公式结合两角差的正切公式运算求解.【详解】（1）∵，且，为