重庆市某中学2024-2025学年高一年级下册4月月考数学试题（解析）

高2024级高一下4月考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知复数z=3—i,则z的虚部为（）

A.-1B.1C.-iD.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据虚部的概念即可得到答案.

【详解】因为z=3—i,则其虚部为—1.

故选：A.

2.平面向量£与B的夹角为60°,|利=2|,B|=1,贝万+26|=

A.73B.12C.4D.273

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得10+25|=J（万+25产，由数量积的定义，代入已知数据可得答案.

【详解】由题意可得|。+251=J（万+25户

=+4户+4万•5=1片+4户+4丘||万|cos60。

=^22+4xl2+4x2xlx1=273

故选：D.

【点睛】本题考查向量的模的计算，涉及向量的夹角，以及向量的数量积运算，属于常考题型.

3.设点B为两个非零向量，则“£=2023斤'是“£=々”的（）

|o|

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断

【详解】因为2=2023。所以Z1同向共线，所以义=£,

\a\\b\

因为乌=£,所以点B同向共线，此时％=20233不一定成立，

\a\\b\

所以“£=2023斤'是“？=2”的充分不必要条件.

\a\\b\

故选：A

4.如图，飞机飞行的航线和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30。，飞行

10千米到达8处，测得目标C的俯角为75。，这时B处与地面目标C的距离为（）.

【答案】B

【解析】

【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.

【详解】根据题意可知=10，C=75°-30°=45°.

在VA3C中，由正弦定理得'叫=———,BPBC=—^-=572.

sinCsinABAC12

不

故选:B

5.己知万=（1,一1）,5=（1,3）,则巨在5上的投影向量为（）

,13、13、

A.B.Z

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案.

【详解】由日=(1,—1)力=(1,3),得。•/?=1x1—1x3=—2，|b|=V12+32-A/10>

a-b--2-113

所以商在5上的投影向量为=(1,3)=(—之).

\b\~10555

故选：A

6.VA5C中，三边之比a/:c=2:3:4,则史上网且等于()

sin2C

1

A-—2B.——C.2D.-2

2

【答案】C

【解析】

【分析】首先由a:b:c=2:3:4结合余弦定理得出cosC=-2，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得

4

出结果.

【详解】因为a:Z?:c=2:3:4,不妨设。=24,Z?=3匕c=4左（左>0）,

a2+b2-c24k2+9k?—\6k?

则cosC

lab12k24

sinA-2sinB_sinA-2sinBa—2b_4b—2a12左一4左

所以sin2C2sinCcosC

故选：C.

(______、

____A。

7.。为AABC所在平面上动点，点尸满足。P=OA+2=+,Xe[0,+s)，则射线AP过AABC

[网|AC|J

的

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】

AD~4C

【分析】将赤=丽+4变形为福=2因为「和的模长都是

、雨|AB||AC|

1,根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.

【详解】-：OP=OA+A

:.OP-OA=AP=A

TRAC

因为E和分别是右和衣的单位向量

I叫\AC\

所以也+H是以北和父

为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量

\AB\\AC\\AB\IACI

所以aA的方向与NBAC的角平分线重合

即射线AP过A4BC的内心

故选B

【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.

8.如图所示，在矩形A3CD中，=0,3。=2,点E在边CD上运动（包含端点），则可后•丽的

C.2A/2,1

B.[20,4]D.P4

【解析】

/受I:

7

【分析】以A为坐标原点建立直角坐标系，设E（a,2）,得荏.丽=CL—根据。的范围即可

22

7

求出荏•屉的范围.

【详解】

以A为坐标原点，建立如图所示直角坐标系,

因为在矩形ABCD中，AB=y/2,BC=2,

则网0,0),C(62),0(0,2),

又点E在边CD上运动(包含端点),

设£(〃,2),则OVQV0，

AE=(a,2),BE-(a-V2,2),

r历Y7

则屈屈=a(a—0)+2x2=/—缶+4=a-^-

(/TV7「7"

因为OK。〈行，所以a——+——,4，

k272L2」

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.若复数2=二^,贝I().

l-i

A.|z|=V17B.z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z=4+iD.复数。满足|。|=1,则|。—z|的最大值为

A/17+1

【答案】ACD

【解析】

【分析】应用复数的除法化简求z,即可判断A、B、C；再由复数模的几何意义确定复数①对应点轨迹,

结合圆的性质求I0-2|最值判断D.

(3-5i)(l+i)8-2i”.「_

【详解】由z='；.、=二厂=4-1,则|z|=JT7,z=4+i，A、C对;

(1-1X1+1)2

又Z对应点为(4,-1)在第四象限，B错;

由|。|=1,即复数。对应点在圆心为原点，半径为1圆上,

所以|0—z|的最大值为JI7+1,D对.

故选：ACD

10.在VA3C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的是()

A.若A>B,则sinA>sin5

B.若A=3O0力=5,a=2,则VABC有两解

C.若/+62<02,则VA3C钝角三角形

D.若a—c・cos5=a-cosC,则VABC为等腰三角形或直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】由正弦定理可得A正确、B错误；由余弦定理可得C正确；由正弦定理结合两角和的正弦公式可

得D正确.

【详解】对于A,A>B,则。>6,由正弦定理可得2RsinA>2RsinB,.•.sinA>sinB,故A正确；

nh,S=1一

对于B,由正弦定理----=-----,.bsinA25一此时VA5C无解，故B错误；

sinAsinB...sin3D=--------=-^=->1

a24

对于c,由余弦定理可得cosC=巴士——<0,所以CI最兀，兀，所以VA5C为钝角三角形，故C

2ab颖

正确；

对于D：a—c-cosB=a-cosC,a=ccosB+6zcosC,

由正弦定理可得sinA=sin(+C)=sinCcosB+sinAcosC,

即sinBcosC+cos5sinC=sinCcosB+sinAcosC,即(sin5—sinA)cosC=0,

一71

\S-a)cosC=0,a=。或cosC=0,若cosC=0,Ce(0,兀)，则。=—,

2

所以VA3C为等腰三角形或直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

11.已知VABC中，AB=l,AC=4,BC=y/13,。在BC上，为/8AC的角平分线，E为AC中点,

下列结论正确的是()

A.BE=gB.NABC面积为2百

C.AD=—!—D.P在VABC的外接圆上，则？B+2PE的最大值

5

为2s

【答案】AD

【解析】

【分析】利用余弦定理计算N54C=60,，利用余弦定理计算BE,判断A；根据面积公式计算VA3C的面

积，判断B；利用正弦定理计算AD,判断C；没NPBE=a,用々表示出PB,PE,得出PB+2PE关

于a的三角函数，从而得到？8+2PE的最大值，判断D.

【详解】在VA3C中，由余弦定理cosZBAC=.§2+AC?—Be?=1+16—13

2ABAC2x1x42

故错误；

,-.ZBAC=60°<i^S△AAB5Cc=2-xABxACxsin60=2-xlx4x—2=y/3,B

在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB-AE-cosZBAC=l+4-2xlx2x~=3,

2

BE=6，故A正确；

一二-13+16-17J3

由余弦定理可知：COSC=--r==r—,sinC=7=,

2x4x7132VI32713

•「AD平分/BAC,/.ZZMC=30°,

/.sinZADC=sin(C+30°)=~^=x+—x—=—1=,

2^1322V1322V13

ADAC

在△ACD中，由正弦定理可得:

sinCsinZADC

4x—i—i-

ACsinC=_誓=迪，故c不正确;

故AD=

sinZADC55

2A/13

AB=1,AE=2,ZBAE^60°,，BE=Jl+4-2xlx2x；=5

：.AB±BE，

.：AE为AA的的外接圆的直径，故AABE的外接圆的半径为1,

B

D

显然当PB+2M取得最大值时，月在优弧区4e上・

故NBPE=NBAE=60，设NPBE=a,贝1J/尸EB=120°—口，，

PBPE

—--------------=------=2,

sin(120J-a)sina

/.PB=2sin(l20-a)=y/3cosa+sina,PE=2sinCC，

万5

PB+2PE=6cosi+5sina=2asin(i+0)其中sin0=—=,cos0——T=,

2币2V7

.,.当a+6=|•时，PB+2PE取得最大值2件，故D正确.

故选：AD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c==J8B=工，C=

3

【答案】-

6

【解析】

【分析】直接利用正弦定理即可得出答案，注意大边对大角.

【详解】解：因为。=夜力==工,

3

又正弦定理得前^就

所以sinC=3

b

由c=^/2<b=A/6，得Cv_B,

71

所以C=：.

7T

故答案为：—.

6

13.已知M=(42),B=(—3,5),且商与日的夹角为锐角，则2的取值范围是.

【答案】X<—且2。—9

35

【解析】

【详解】试题分析：因为向量值与B的夹角为锐角，所以&Z<o且方与B不共线，所以—3丸+10>。且

52^-6,解之得：2<—5.2^--

35

考点：向量夹角及坐标运算.

14.已知冢，最为单位向量，设向量方=3令+02出=弓+02，向量15的夹角为。，若，-ge24l,求

cos/的取值范围.

…20

【答案】看』］

【解析】

【分析】根据已知及数量积运算律求得3cos„<1,同=J10+6cos词，W=J2+2COS4£,

再应用数量积的夹角公式求cos?。的范围.

，

【详解】由J—Ewi

5——•1

所以W—cosq,e2，故ZVcos,,%4I，

2.2-2

又a+6,,与+4=J10+6cos,,+2弓•q+6二

一2►2

八耳・

2za-bx2/3+4Ge2+4■)2

所以=

COS0—(-同--忖iTJ)(

2

(4+4COS^,^2)4+4cos^,e2

(10+6008^,^)(2+2008^,^)5+3cos^,e2

481/8-3220

三一7777；而，所以[//].

315+9cose19e2515+9008^,^6923

山林士二「20”

故答案为：［—,1］

23

1-----

【点睛】关键点点睛：根据已知得到工<cosq,6<1为关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.已知向量2=(-2,4),b=(x,-2),

(1)若乙〃(7+5),求行的值；

(2)若—石，求向量益与5的夹角的余弦值.

【答案】(1)B=2)；(2)叵.

17

【解析】

【分析】(1)由向量平行的坐标表示可构造方程求得x,由此得到B；

(2)由向量垂直的坐标表示可构造方程求得无，由向量夹角公式可计算求得结果.

【详解】(1)•「方+B=(九一2,2),.•.由万〃(4+5)可得：-2x2=4(x—2),解得:x=l,

.-.5=(1,-2)；3

(2)'—(2—b=—1,4),.,.由aJ_—b］可得：2(x+l)+16=0,解得：x=-9,

_ra-b18-8V17

二.cos<a,b〉=---rzj——T=—,——-----

同似2V5xV8517-

16.在VABC中，角AB,C的对边分别为a,A,c,且满足2拉?sinA=在(4+c?-匕2).

(1)求B的大小；

(2)若〃=3,VABC的面积为生8,求VABC的周长.

4

JT

【答案】(1)-

3

(2)9

【解析】

【分析】(1)根据题意，由余弦定理得》sinA=Jiacos5，再由正弦定理得sin_B=J^cosB，即可求

解；

(2)由三角形的面积公式，求得ac=9,根据题意和余弦定理，化简求得a+c的值，即可求解.

【小问1详解】

解：因为2AcsinA=^（a2+c2—〃），可得加sm-=班*“。V,

2ac2ac

由余弦定理得Z?sinA=y/3acosB，

又由正弦定理得sin5sinA=gsinAcos3，

因为OVA<TI,所以sinAwO,所以sinBugcosB，所以tanjB=g，

71

又因为0<5<兀，所以5=—.

3

【小问2详解】

解：由三角形的面积公式，可得S=,acsin6=2叵，可得〃。二9,

24

又由余弦定理得步-a2+c2-2accosB=（«+c）2-3ac，

因为》=3,所以（a+c）2=O?+3ac=9+3x9=36,解得a+c=6,

所以VA3C的周长为a+/?+c=9.

17.记VABC的内角AB,C的对边分别为a,加c,满足2c+b—2acos5=0.

（1）求角A；

⑵若。=2石，BAAC=1,AZ）是VABC中线，求AD的长.

【答案】（1）A=-n

3

（2）AD=^~

2

【解析】

【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值;

（2）利用而=:通+g正，平方后求|砺『，结合余弦定理来处理.

【小问1详解】

因为2c+〃一2acos5=0,由正弦定理可知：2sinC+sinjB—2sinACOSJB=0,

由C=71—A—JB,故51口。=0111（兀一人一5）=$111（74+5）,

2sin（A+B）+sinB-2sinAcosB=0

2cosAsin5+sin5=0(jB£(0,7i),sinjBw0),

cosA——,又AG(0,71),

2

所以A=2兀.

3

【小问2详解】

根据数量积的定义，由瓦bAC=：,得仍cos§=]nbc=3,

又〃=2y/3，在VABC中由余弦定理得：4二"+，—2bccosAn/??+c2=9

VAD=1AB4AC,，|叫2=空上丁些2蛆=/2+C2)_»C=|,

所以4。=逅

2

18.在VA5C中，角ASC所对的边分别为。乃,c,请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择多

个条件分别作答，则按第一个解答计分)

A

①QCOSB+bsin-=c

2

②"=2GsABC+abcosC

3△ADC

③2〃sinA=(2Z?—c)sinB+(2c—Z?)sinC

(1)求A的大小；

+b

(2)若VA5C为锐角三角形，求的取值范围.

b

TV

【答案】(1)A=—；

3

⑵(2,5).

【解析】

【分析】(1)选①，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及二倍角公式求解即可；选②，利用三角形面

积公式及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得；选③，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解

即得.

(2)利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦公式，结合正切函数的性质求出范围.

【小问1详解】

A

选①：在VABC中，由acos3+Z?sin—=c及正弦定理得，

2

sinAcosB+sinBsin-=sinC=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsiaB

则sinBsing=cosAsinB,又8£（0,兀），sinBw0,于是5由^=（\«74=1-25也2^,

而sin4>0,解得sid」，又Ae（O,兀）,4e（0,3,则±=g

2222226

TT

所以A==；

3

选②：在VABC中，Z/=HEs+〃6cosC，且uLobsinC,

3△AbC八/2

贝!J/?2_xJ_absinC+abcosC，即Z?=^^asinC+acosC，

323

由正弦定理得siaB=Y^sinAsinC+sinAcosC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

3

于是cosAsinC=-^-sinAsinC，而sinCwO,则tanA=g，又人£（0,兀），

TT

所以A=2；

3

选③：在VABC中，由2asinA=（28一c）sinB+（2c-〃）sinC及正弦定理得,

得2a2=（2b-c）i＞+（2c-t＞）c,即4=廿+c?—be，

*42_2i

由余弦定理得cosA=L^——又0<4<兀，

2bc2

7F

所以A='；

3

【小问2详解】

在VABC中，由正弦定理，得c_sinC_sin（；B）_fcosB+；sinB_逐.11],

bsinBsinBsinB2tanB2

由（1）知B+C=2,即C=0—B,由VA3C为锐角三角形，

33

。＜5若

得〈吟＜3若,于

八2兀八兀

0<-B<—

32

所以立x’+,ed,2）,即的取值范围为（1,2）,

2tanB22b2

19.在VABC中，。是AB边上靠近3的三等分点.

(1)若CD=DB,证明：BC+2ACcosZACB=0；

(2)若NACD=3A£>=石.

3

(i)求VA3C面积的最大值；

(ii)求5c的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)2^1；(ii)岳-2

【解析】

—>1—>2-►

【分析】由已知，可得CD=-CA+-CB,在7ABC利用余弦定理可得

«2+Z?2-labcosZACB=b2+4a2+^abcosZACB，化简即可；

(2)(i)由已知，在AACD中，由余弦定理可得3=AC2+c£)2—ACCD，再利用基本不等式得

ACCD<3,则S4”=3AC-CD-sinP<3x3x，3,即可求得VA3C面积的最大值；(ii)

△A8C2^ACD4342

在AACD中，由正弦定理，可得CD=2sinA,AC=2sinNADC=2sin[g-A[=A^COSA+sinA,由

cosZADC+cosZBDC=0,利用余弦定理，可得BC?=g+1c02-g,可得?一向4n(2A+夕)

即可求得3c的最小值.

【小问1详解】

因为。是A3边上靠近8的三等分点，所以力=已5+|通=&5+|(国—回)=:&?+|国,

所以也2=(；无+］闻］,

设VABC内角A,5,C的对边分别为a,b,c,贝”①卜|丽卜,

1144

所以=-Z>2+-a2+-abcos^ACB,即c?=b~+4a2+^abcosZACB，

在VABC中，由余弦定理得c?=