福建省福州市第一中学2020届高三第四次调研试题理（数学解析版）

福建省福州市第一中学2020届高三第四次调研试题理（数学解析版）一、选择题1.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(x)$的对称中心为：A.$(0,2)$B.$(0,1)$C.$(1,0)$D.$(1,2)$2.设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为：A.2B.1C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{2}$二、填空题3.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$的导函数$f'(x)$在$x=\frac{1}{2}$处的值为______。4.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1+a_4+a_7=12$，则$a_1+a_5+a_8=______$。三、解答题5.（1）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的极值。（2）已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。（3）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。四、证明题要求：证明下列命题的正确性。6.证明：若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq1$。五、应用题要求：根据下列条件，求出未知数的值。7.（1）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。（2）已知等比数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$q\neq1$，若$b_1=2$，$S_5=62$，求$q$的值。六、综合题要求：综合运用所学知识解答下列问题。8.（1）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求出$f(x)$的单调区间。（2）已知函数$g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$g(x)$的导数$g'(x)$，并求出$g(x)$的极值。本次试卷答案如下：一、选择题1.D.$(1,2)$解析：函数$f(x)=x^3-3x+2$的导函数为$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$，代入原函数得$f(1)=1^3-3\times1+2=0$，所以对称中心为$(1,0)$，即选项D。2.A.2解析：由均值不等式知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\geq2\sqrt{\frac{1}{ab}}$，因为$a+b=1$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2$，等号成立当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$，所以最小值为2，即选项A。二、填空题3.2解析：函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$的导函数为$f'(x)=6x^2-6x+4$，代入$x=\frac{1}{2}$得$f'(\frac{1}{2})=6\times(\frac{1}{2})^2-6\times\frac{1}{2}+4=2$。4.15解析：由等差数列的性质知$a_4=a_1+3d$，$a_7=a_1+6d$，所以$a_1+a_4+a_7=a_1+(a_1+3d)+(a_1+6d)=3a_1+9d=12$，解得$a_1+3d=4$，所以$a_1+a_5+a_8=a_1+(a_1+4d)+(a_1+7d)=3a_1+10d=3(a_1+3d)+d=12+d=15$。三、解答题5.（1）极值点为$x=1$，极大值为$f(1)=0$，极小值为$f(2)=1$。解析：首先求导数$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$，代入原函数得$f(1)=0$，所以$x=1$是极大值点，极大值为0。再求二阶导数$f''(x)=6x-6$，代入$x=2$得$f''(2)=6>0$，所以$x=2$是极小值点，极小值为$f(2)=1$。5.（2）$f'(x)=\frac{2x^2-4}{(x-2)^2}$。解析：由商规则得$f'(x)=\frac{(x^2-4)'(x-2)-(x^2-4)(x-2)'}{(x-2)^2}=\frac{2x(x-2)-(x^2-4)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+4}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)^2}{(x-2)^2}=1$。5.（3）$f'(x)=\frac{2x}{(x^2-1)^2}$。解析：由商规则得$f'(x)=\frac{(x^2-1)'x-(x^2-1)x'}{(x^2-1)^2}=\frac{2x^2-2x}{(x^2-1)^2}$。四、证明题6.证明：令$a=\sqrt{x}$，$b=\sqrt{y}$，则$x=a^2$，$y=b^2$，$a+b=1$，要证明$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq1$，即证明$a+b\leq1$，显然成立。五、应用题7.（1）$a_1=1$，$d=2$。解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$得$3n^2+2n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，因为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入得$3n^2+2n=\frac{n(a_1+a_1+(n-1)d)}{2}$，化简得$6n^2+4n=3a_1+3(n-1)d$，又因为$a_1+a_4+a_7=12$，代入得$3a_1+3(4-1)d=12$，解得$a_1=1$，$d=2$。7.（2）$q=2$。解析：由等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$得$62=\frac{2(1-q^5)}{1-q}$，化简得$q^5-31q+30=0$，解得$q=2$。六、综合题8.（1）$f'(x)=6x^2-6x+4$，单调增区间为$(-\infty,\frac{1}{2})$和$(\frac{2}{3},+\infty)$，单调减区间为$(\frac{1}{2},\frac{2}{3})$。解析：首先求导数$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x^2-x+\frac{2}{3}=0$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{2}{3}$，根据导数的正负确定单调性。8.（2）$g'(x)=\frac{2x^2-8x+8}{(x-2)^3}$，极值点为$x=2$，极小值为$g(2)=4$。解析：首先求导数$g'(x)=\frac{(x^2-4)'(x-2)-(x^2-4)(x-2)'}{(x-2)^3}=\f