2024-2025学年天一大联考高二年级阶段性测试（四）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天一大联考高二年级阶段性测试（四）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.关于变量x与y的线性回归分析，下列说法错误的是(

)A.若相关系数r=0.9，则说明变量x与y的线性相关程度较强

B.回归直线必过点(x,y)

C.若散点图中数据点从左上角到右下角分布，则x，y负相关

D.若回归方程为y=2x+8，则变量x每增加12.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d=2，S8=88，则A.10 B.12 C.14 D.163.已知随机变量X~N(4,σ2),若P(2<X<4)=0.3,则P(X≥6)=（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.84.函数f(x)=ex−x2的图象在点A.y=1 B.y=x+1 C.y=x−1 D.y=−x+15.某户外探险俱乐部组织10名成员(7名男性，3名女性)前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组(不区分两组的顺序)，要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有(

)A.105种 B.168种 C.210种 D.273种6.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，PA.2 B.3 C.2 7.已知a=lnπ2π，b=ln2，c=1eA.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=2n，数列{bn}满足bn=A.14 B.12 C.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知(1+x)n的展开式的各二项式系数之和为128，设(1+x)nA.n=7 B.a0=2

C.a010.一个书架有两层，第一层放有3本数学书和5本语文书，第二层放有4本数学书和3本语文书，先从第一层随机取出一本书放入第二层，用事件A1，A2分别表示从第一层取出的是数学书、语文书，再从第二层随机取出一本书，用事件B表示从第二层取出的是数学书，则(

)A.P(A1)=38 B.P(B|A11.如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥CD，E是BC的中点，AB=AD=2，BD=CD，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，得到三棱锥P−BCD，如图(2)，则(

)

A.PB⊥PC

B.三棱锥P−BCD的外接球的体积为8π3

C.点C到平面PDE的距离为33

D.异面直线PC与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立.若该射手射击5次，则恰好命中3次的概率为

.(用数字作答)13.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x，点M(m,0)，若C上存在一点N，使得ON⋅MN=−4，则实数14.若关于x的不等式ex−ax2+axlnx≥0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}是公比为2的等比数列，且a1，(Ⅰ)求{an(Ⅱ)求数列{n+1an}的前n16.(本小题15分)

2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行.为倡导全民健身理念，某社区随机抽取了200名市民，调查其周平均运动时长与年龄(以40岁为分界线)的关系，得到如下2×2列联表：年龄周平均运动时长合计小于5小时大于等于5小时40岁以下307010040岁及以上5050100合计80120200(Ⅰ)依据小概率值α=0.01的独立性检验，判断周平均运动时长是否与年龄有关;(Ⅱ)现从40岁及以上的样本中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取10人进行运动习惯访谈，再从这10人中随机抽取3人赠送运动礼包，记抽取的3人中“周平均运动时长小于5小时”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad−bcP(0.050.010.001k3.8416.63510.82817.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为棱PC的中点，PD=CD=2．

(Ⅰ)证明：PA//平面BDE;(Ⅱ)证明：DE⊥PB;(Ⅲ)若平面PBD与平面PBC夹角的余弦值为66，求AD18.(本小题17分)已知函数f(x)=e(Ⅰ)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a>1时，判断f(x)的零点个数;(Ⅲ)设函数g(x)=xf(x)，当0<a<1e时，记g(x)的极大值为ℎ(a)，证明：ℎ(a)≥−19.(本小题17分)已知椭圆E:x2a2+y(Ⅰ)求E的方程．(Ⅱ)设E的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交E于M(ⅰ)证明：1|MF(ⅱ)求△MNF2内切圆面积的最大值．参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.D

6.C

7.A

8.C

9.AC

10.ABD

11.AD

12.0.0729

13.[8,+∞)

14.(−∞,e]

15.解；(Ⅰ)因为数列{an}是公比为2的等比数列，且a1，a2+1，a3成等差数列，

所以2+2a2=a1+a3，即2+4a1=a1+4a1，解得a1=2，16.解：(Ⅰ)χ2=200×(30×50−70×50)2(30+70)(50+50)(30+50)(70+50)≈ 8.333>6.635，

故依据小概率值α=0.01的独立性检验，认为周平均运动时长与年龄有关；

(Ⅱ)因为40岁及以上周平均运动时长“小于5小时”和“大于等于5小时”的人数都是50，

则分层抽样抽取10人中，“小于5小时”和“大于等于5小时”各抽取5人．

则X可能的取值为0，1，2，3，

P(X=0)=C50C53X0123P1551则E(X)=0×11217.解：(Ⅰ)证明：如图，连接AC，交BD于点F，连接EF，

∵底面ABCD是矩形，

∴F是AC的中点，

又E为棱PC的中点，

∴EF//PA，

∵PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，

∴PA/​/平面BDE；

(Ⅱ)证明：∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥BC，

又BC⊥CD，CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，

∴BC⊥平面PCD，

又DE⊂平面PCD，

∴BC⊥DE，

∵PD=CD，E是棱PC的中点，

∴DE⊥PC，

又BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，

∴DE⊥平面PBC，

又PB⊂平面PBC，

∴DE⊥PB;

(Ⅲ)∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，

∴DA，DC，DP两两垂直，

以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

设AD=a(a>0)，

则D(0,0,0)，B(a,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，

DB=(a,2,0)，DP=(0,0,2)，

设平面PBD的法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅DB=ax+2y=0m⋅DP=2z=0，取m=(2,−a,0)，

由(Ⅱ)可知DE=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量，

因为平面PBD与平面PBC夹角的余弦值为66，

所以18.解：(Ⅰ)对函数f(x)=ex−a2x−a求导，可得f′(x)=ex−a2，

因为f(x)在R上单调递增，

所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ex−a2≥0恒成立，即a≤2ex恒成立，

因为2ex>0，所以a≤0，

故实数a的取值范围是(−∞,0]；

(Ⅱ)由(I)知f′(x)=ex−a2，因为a>1，令f′(x)=0，即ex−a2=0，解得x=lna2，

当x<lna2时，f′(x)<0，f(x)单调递减;当x>lna2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x=lna2处取得极小值，也是最小值，f(x)min=f(lna2)=−a(Ⅲ)g(x)=xf(x)=x(ex−a2x−a)=xex−a2x2−ax，

则g′(x)=(x+1)ex−ax−a=(x+1)(ex−a)，

令g′(x)=0，则x=−1或x=lna，

因为0<a<1e，所以lna<−1，

当x<lna时，ex−a<0，x+1<0，g′(x)>0，g(x)单调递增;

当lna<x<−1时，ex−a>0，x+1<0，g′(x)<0，g(x)单调递减;

当x>−1时，ex−a>0，x+1>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．

所以g(x)在x=lna处取得极大值，即ℎ(a)=g(lna)=−a2(

19.解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e=ca=12，则a=2c，

又因为a2=b2+c2，所以b2=a2−c2=3c2，

则椭圆方程可化为x24c2+y23c2=1，

因为椭圆E过点(3,−32)，

将其代入椭圆方程(3)24c2+(−32)23c2(−32)2=1，解得c2=1，

所以a2=4，b2=3，

椭圆E的方程为x24+