抛物线试题及答案解析

抛物线试题及答案解析

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.抛物线\(y=x^2\)的焦点坐标是（）A.\((0,\frac{1}{4})\)B.\((\frac{1}{4},0)\)C.\((0,1)\)D.\((1,0)\)2.抛物线\(y^2=8x\)的准线方程是（）A.\(x=-2\)B.\(x=2\)C.\(y=-2\)D.\(y=2\)3.抛物线\(x^2=-4y\)上一点\(P\)到焦点的距离是\(3\)，则点\(P\)的纵坐标为（）A.\(-1\)B.\(-2\)C.\(-3\)D.\(-4\)4.顶点在原点，对称轴为\(y\)轴，且过点\((1,4)\)的抛物线方程是（）A.\(y=4x^2\)B.\(y=\frac{1}{4}x^2\)C.\(x=4y^2\)D.\(x=\frac{1}{4}y^2\)5.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)上一点\(M\)到焦点的距离是\(a(a\gt\frac{p}{2})\)，则点\(M\)到准线的距离是（）A.\(a-\frac{p}{2}\)B.\(a+\frac{p}{2}\)C.\(a\)D.\(2a\)6.抛物线\(y=ax^2\)的准线方程是\(y=2\)，则\(a\)的值为（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(-\frac{1}{8}\)C.\(8\)D.\(-8\)7.抛物线\(y^2=4x\)的焦点弦长为\(8\)，则此焦点弦所在直线的倾斜角为（）A.\(\frac{\pi}{3}\)或\(\frac{2\pi}{3}\)B.\(\frac{\pi}{4}\)或\(\frac{3\pi}{4}\)C.\(\frac{\pi}{6}\)或\(\frac{5\pi}{6}\)D.\(\frac{\pi}{2}\)8.若抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点与双曲线\(\frac{x^2}{3}-y^2=1\)的右焦点重合，则\(p\)的值为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)9.过抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F\)作直线交抛物线于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)两点，若\(x_1+x_2=6\)，则\(\vertAB\vert\)等于（）A.\(8\)B.\(10\)C.\(6\)D.\(4\)10.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点为\(F\)，点\(A\)、\(B\)在抛物线上，且\(\angleAFB=90^{\circ}\)，弦\(AB\)中点\(M\)在准线上的射影为\(N\)，则\(\frac{\vertMN\vert}{\vertAB\vert}\)的最大值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(1\)D.\(\sqrt{2}\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于抛物线的说法正确的是（）A.抛物线是轴对称图形B.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点在\(x\)轴正半轴C.抛物线\(x^2=2py(p\gt0)\)的准线方程是\(y=-\frac{p}{2}\)D.抛物线的离心率为\(1\)2.若抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)上的点\(A(x_0,2\sqrt{2})\)到其焦点的距离是\(3\)，则（）A.\(p=2\)B.\(p=4\)C.\(x_0=2\)D.\(x_0=4\)3.对于抛物线\(y^2=4x\)，下列说法正确的是（）A.焦点坐标为\((1,0)\)B.准线方程为\(x=-1\)C.过焦点的弦长最小值为\(4\)D.过焦点与\(x\)轴垂直的弦长为\(4\)4.设抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，过\(F\)的直线\(l\)与抛物线相交于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，则（）A.\(\vertAF\vert\)的最小值为\(1\)B.若\(\vertAF\vert=2\)，则\(\vertBF\vert=2\)C.\(\triangleAOB\)的面积最小值为\(2\)D.直线\(OA\)与直线\(OB\)的斜率之积为\(-1\)5.抛物线\(y=ax^2(a\neq0)\)的性质有（）A.焦点坐标为\((0,\frac{1}{4a})\)B.准线方程为\(y=-\frac{1}{4a}\)C.当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上D.当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下6.已知抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)，直线\(l\)过焦点\(F\)且与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，\(\vertAF\vert=3\)，\(\vertBF\vert=2\)，则（）A.\(p=\frac{12}{5}\)B.直线\(l\)的斜率为\(\pm\frac{2\sqrt{6}}{5}\)C.弦\(AB\)的中点到准线的距离为\(\frac{5}{2}\)D.\(\vertAB\vert=5\)7.下列抛物线中，以点\((1,1)\)为中点的弦存在的是（）A.\(y^2=x\)B.\(y^2=4x\)C.\(x^2=4y\)D.\(x^2=-2y\)8.抛物线\(y^2=8x\)的焦点为\(F\)，\(A\)、\(B\)是抛物线上的两点，若\(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}\)，则（）A.点\(A\)的坐标为\((2,4)\)B.点\(B\)的坐标为\((\frac{1}{2},-2)\)C.弦\(AB\)的长度为\(\frac{9}{2}\)D.弦\(AB\)的中点到准线的距离为\(\frac{9}{4}\)9.关于抛物线\(x^2=4y\)和\(y^2=4x\)，以下说法正确的是（）A.它们的焦点都在坐标轴上B.它们的离心率相同C.它们的准线方程不同D.它们的对称轴相同10.过抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点\(F\)作直线\(l\)与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则（）A.\(y_1y_2=-p^2\)B.\(x_1x_2=\frac{p^2}{4}\)C.\(\frac{1}{\vertAF\vert}+\frac{1}{\vertBF\vert}=\frac{2}{p}\)D.\(\vertAB\vert=x_1+x_2+p\)三、判断题（每题2分，共10题）1.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)上一点到焦点的距离等于到准线的距离。（）2.抛物线\(x^2=2py(p\gt0)\)的焦点坐标是\((0,\frac{p}{2})\)。（）3.抛物线\(y=ax^2\)的焦点坐标为\((0,\frac{1}{4a})\)，准线方程为\(y=-\frac{1}{4a}\)，这里\(a\neq0\)。（）4.过抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)焦点的弦长最小值是\(2p\)。（）5.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)关于\(x\)轴对称。（）6.若抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)上一点\(P\)到焦点的距离是\(5\)，到准线的距离是\(3\)，这是不可能的。（）7.抛物线\(y^2=4x\)与直线\(y=x+1\)有两个不同的交点。（）8.抛物线\(x^2=-2y\)的准线方程是\(y=\frac{1}{2}\)。（）9.过抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)焦点\(F\)的直线交抛物线于\(A\)、\(B\)两点，则\(\vertAB\vert\geq2p\)。（）10.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)上横坐标为\(6\)的点到焦点的距离为\(10\)，则\(p=8\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求抛物线\(y^2=16x\)的焦点坐标和准线方程。-答案：对于抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)，此抛物线中\(2p=16\)，即\(p=8\)。焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)，即\((4,0)\)；准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)，即\(x=-4\)。2.已知抛物线\(x^2=-4y\)上一点\(P\)到焦点的距离是\(5\)，求点\(P\)的坐标。-答案：抛物线\(x^2=-4y\)，其焦点为\((0,-1)\)，准线方程为\(y=1\)。点\(P\)到焦点距离等于到准线距离，已知点\(P\)到焦点距离为\(5\)，则点\(P\)到准线\(y=1\)的距离为\(5\)，所以点\(P\)纵坐标为\(-4\)，代入抛物线方程得\(x^2=-4\times(-4)\)，即\(x=\pm4\)，所以\(P\)点坐标为\((4,-4)\)或\((-4,-4)\)。3.过抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F\)作倾斜角为\(45^{\circ}\)的直线\(l\)，求直线\(l\)被抛物线截得的弦长。-答案：抛物线\(y^2=4x\)焦点\(F(1,0)\)，直线\(l\)倾斜角为\(45^{\circ}\)，则斜率为\(1\)，直线\(l\)方程为\(y=x-1\)。联立\(\begin{cases}y^2=4x\\y=x-1\end{cases}\)，消去\(y\)得\((x-1)^2=4x\)，即\(x^2-6x+1=0\)。设两交点横坐标为\(x_1\)，\(x_2\)，由韦达定理\(x_1+x_2=6\)。弦长\(\vertAB\vert=x_1+x_2+p=6+2=8\)。4.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点为\(F\)，过\(F\)的直线交抛物线于\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)两点，证明\(y_1y_2=-p^2\)。-答案：抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，设直线\(AB\)方程为\(x=my+\frac{p}{2}\)，联立\(\begin{cases}y^2=2px\\x=my+\frac{p}{2}\end{cases}\)，消去\(x\)得\(y^2=2p(my+\frac{p}{2})\)，即\(y^2-2pmy-p^2=0\)。由韦达定理，\(y_1y_2=-p^2\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论直线\(y=kx+1\)与抛物线\(y^2=4x\)的交点情况。-答案：联立\(\begin{cases}y=kx+1\\y^2=4x\end{cases}\)，将\(y=kx+1\)代入\(y^2=4x\)得\((kx+1)^2=4x\)，即\(k^2x^2+(2k-4)x+1=0\)。当\(k=0\)时，\(-4x+1=0\)，有一个交点；当\(k\neq0\)，\(\Delta=(2k-4)^2-4k^2=16-16k\)，\(\Delta\gt0\)即\(k\lt1\)且\(k\neq0\)时有两个交点，\(\Delta=0\)即\(k=1\)时有一个交点，\(\Delta\lt0\)即\(k\gt1\)时无交点。2.抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦