新高考高中数学各章节题型 秘籍11 函数性质问题归类（6大题型）（解析版）

秘籍11函数性质归类概率预测☆☆☆☆☆题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆考向预测数学语言、中心对称图形函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图象的变化。【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数中心对称的数学语言：若满足，则关于中心对称三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（

）．A．1348 B．1347 C．1346 D．1345【答案】B【详解】在上满足，，关于直线和直线对称，，，，，所以的周期为6，又在闭区间上只有，则，，且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，则在闭区间上只有，同理可推得在也只有两个零点，因为，则在共有个零点，因为，且在的图象与的图象相同，则在上有个零点，则方程在闭区间上的根的个数为1347个.故选：B.（多选）2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．的单调递减区间是 B．有4个零点C．的图象关于点对称 D．曲线与轴不相切【答案】CD【详解】A选项：易知的定义域为，，令0，解得或，所以的单调递减区间为和，A错误；B选项：令，解得或，所以在，和上单调递增，所以当时，取得极大值，因为，且在上单调递减，所以在上没有零点，当时，取得极小值，因为，所以在上至多有两个零点，B错误；C选项：设，函数定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，所以的图象关于原点对称，将的图象向下平移2个单位长度得到的图象，所以的图象关于点对称，C正确；D选项：因为的极小值，极大值，所以曲线与轴不相切，D正确.故选：CD.3．（2023·湖北·统考二模）已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（

）A．0 B．3 C．4 D．1【答案】D【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，所以关于对称，关于对称，且，又，即，则关于对称，综上，，，则，所以，而，故，又，则关于对称，即，所以，则，所以.故选：D1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数【答案】B【详解】方法一：因为，所以，所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，即为偶函数.方法二：因为，，则，所以为偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数.故选：B2．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知，若为奇函数，则实数（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【详解】由为奇函数，定义域为R，得出过点，即，即，解得.则，，设，因为，所以是奇函数，即是奇函数.故选：C.3．（2023·江西·校联考二模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则______.【答案】616【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故；由函数为奇函数，则，整理可得，即函数关于对称，故；因为对于，均有，所以，因为关于直线对称，所以，因为关于点对称，所以，所以，又，解得，，所以.故答案为：616.【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适。2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点1．（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（

）A．4051 B．4049 C．2025 D．2023【答案】B【详解】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，，其图象关于直线对称，故可作出函数函数，得图象如图：由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，在每个周期内和的图象都有2个交点，则共有2024个交点，根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的，故这4048个交点的横坐标之和为，而也是这两函数图象的一个交点的横坐标，故与的图象所有交点的横坐标之和为，故选：B2．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.令，则关于的方程即可写成，此时关于的方程应该有两个不相等的实数根设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：①当，时，此时，则；②当，时，此时，则；综上可知，实数的取值范围是.故选：C.3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】画出的图象如下图：由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，当时，，此时，当时，，此时，当存在，，，使得时，此时，故选：C（多选）1．（2023·湖南岳阳·统考二模）设函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则满足条件的实数可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】函数和的图象，如图，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在上单调递增，所以，所以，解得；当时，函数在上单调递增，所以，由图可知，函数在上，有，得所以，解得，结合选项，实数a可以是和.故选：BD.2.（2023·天津和平·统考二模）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值范围为__________．【答案】【详解】作出函数的大致图象，如图所示，令，则可化为，则或，则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，所以的图象与直线的交点个数为3个，即此时，解得.故答案为：.3．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是__________.【答案】【详解】由题意，函数的大致图像如图所示，当时，由，得到或，故由图像可知，由，关于直线对称，可得，由，可得，那么构造新函数，则，，令，则，当时，，所由的图像与性质知，在区间上单调递减，又，所在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又因为，所以在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递增，又因为，，所以的取值范围为.故答案为：.【题型三】轴对称数学语言：函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.3.与关于直线对称。常见的偶函数：（多选）1．（2023·湖南·校联考二模）已知函数满足：①为偶函数；②，．是的导函数，则下列结论正确的是（

）A．关于对称 B．的一个周期为C．不关于对称 D．关于对称【答案】ABD【详解】A选项，由两边求导得，即关于对称，故A正确；B选项，由为偶函数，知.又，则，即的一个周期为，则的一个周期为，故B正确；C选项，注意到当时，.则，即此时关于，即对称，故C错误；D选项，由为偶函数，知关于对称，即，则，即关于对称，故D正确．故选：ABD．（多选）2．（2023·河北唐山·统考二模）已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（

）A．的图象关于对称B．为偶函数C．D．不等式的解集为【答案】BCD【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，由得，由得，故为偶函数，故B正确，由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：由性质结合图可知：当时，，由得，故，当且时，此时无解，当时，，解得，当且时，由得综上可得的解集为，故D正确，故选：BCD（多选）3．（2023·辽宁大连·统考一模）定义在上的函数，则（

）A．存在唯一实数，使函数图象关于直线对称B．存在实数，使函数为单调函数C．任意实数，函数都存在最小值D．任意实数，函数都存在两条过原点的切线【答案】ACD【详解】对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立所以且，所以，解得，且当时，，则，所以存在唯一实数，使函数图象关于直线对称，故A正确；对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B不正确；对于C，由于，又令，则恒成立，所以在上单调递增，且，故存在唯一的零点，使得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故对任意实数，函数都存在最小值，故C正确；对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，则，所以切线方程为，当切线过原点时，有整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确.故选：ACD.（多选）1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A． B．的图象关于直线对称C． D．仅有一个极值点【答案】BD【详解】因为的定义域为，所以.对于选项A：，即，故A错误；对于选项B：由A知，所以的图象关于直线对称，（结论：若，则的图象关于直线对称）故B正确；对于选项C：，当时，，所以在上单调递增，因为，所以，因为，所以，故C错误；对于选项D：因为的图象关于直线对称，且在上单调递增，所以在上单调递减，所以仅有一个极值点，故D正确.故选：BD.2．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以关于点对称，所以；又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.所以，，所以有，所以，所以的周期为4.当时，，所以，所以时，.当时，，所以.作出函数在上的图象如下图当时，由可得，，解得，所以；当时，由可得，，解得，所以.根据图象可得时，的解集为.又因为的周期为4，所以在实数集上的解集为.令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；令，可得区间为，故B项错误；令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；令，可得区间为，故D项正确.故选：D.3．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）关于函数，有如下四个命题：①若，则的图象关于点对称；②若的图象关于直线对称，则；③当时，函数的极值为；④当时，函数有两个零点．其中所有真命题的序号是________．【答案】①②③【详解】对于①，当时，，则，所以，当时，的图象关于点对称，①对；对于②，若的图象关于直线对称，则对任意的，，即，即，即，解得，②对；对于③，当时，，该函数的定义域为，所以，，令，可得；令，可得.所以，函数的减区间为，增区间为，所以，函数的极小值为，③对；对于④，当时，由，可得，此时函数只有一个零点，④错.故答案为：①②③.【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性基本规律关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C． D．若，则【答案】D【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；对于B，取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，，代入已知等式得，可得，结合得，，再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，，所以，所以，故D正确.故选：D.2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设分别为函数在其定义域上的导函数，已知，为奇函数，，且，则（

）A．-2 B．-1 C．2 D．3【答案】A【详解】由，所以(m为常数)，则，又，所以，又，令，则，故，则，由为奇函数，则，故，综上，，则，即，所以，故的周期为4，由，则，则，而，由，则综上，，所以.故选：A3．（2023·河南开封·统考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为函数的定义域为，为奇函数，所以，又因为为偶函数，所以的对称轴为，则为周期函数，周期为.则有，设，根据对称性，且，所以，所以，即，因为，所以，即.故选：.1．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，所以，因为，所以.故选：C.（多选）2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是偶函数C．关于中心对称 D．【答案】BC【详解】令，则或，故A错误，若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，令，则，所以关于中心对称，故C正确，由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，令，则，故，进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误.故选：BC（多选）3．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知函数，的定义域均为R，且，．若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】由题意知函数，的定义域均为R，∵的图象关于直线x＝2对称，则，∵，∴，∴，故为偶函数，由，得，代入，得，令，则，∴，则，故B正确，C错误；因为，令，则，即，A正确；由，故，故由得，∴，故．所以是以4为周期的周期函数，由，，令，则，得，则，又，令得，得，又，故，D正确．故选：ABD．【题型五】画图：类周期函数基本规律“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选：C.2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，解得，所以要使对任意，都有，则，，故选：B．3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题设可知，当时，，故，同理可得：在区间上，，所以当时，.作函数的图象，如图所示.在上，由，得.由图象可知当时，.故选：.（多选）1．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（

）A．是偶函数 B．C． D．【答案】BC【详解】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；函数定义域为，满足，当时，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，，，当时，，，当时，，，因此当时，函数，在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，当时，函数的图象有唯一公共点，因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；显然，所以，C正确；，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，D错误.2．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，故，而，所以且，令，则，故，而，所以且，结合已知：且时，而，对且，，即随增大依次变小，要使对任意都有，令，则且，则上，且上，当时，令，则，解得或，综上，要使对任意都有，只需.故选：C3.设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．以上正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】解：①∵“似周期函数”的“似周期”为，，，故它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，即恒成立，故成立，但无解，故②错误；③若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，则，即恒成立，故恒成立，即恒成立，故，故或，故③正确．所以以上正确结论的个数是2.故选：C.【题型六】恒成立和存在型问题基本规律常见不等式恒成立转最值问题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；1．（2023·广东梅州·统考二模）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，得到，令，所以，则为奇函数，且，又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减，又，所以，即，所以，即.故选：A.（多选）2．（2023·江苏·统考二模）已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由函数的图象关于点对称且在区间上单调递增可得，函数的图象关于对称，函数为上单调递增，由可得，，也即，则有恒成立，即因为，所以，当时，得到恒成立；当时，则有，令，则，因为函数在上单调递增，且，所以，则，所以BC适合题意，AD不合题意.故选：BC.（多选）3．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（

）A．为奇函数 B． C． D．【答案】BCD【详解】因为为奇函数，所以，故又，所以，故，所以，为偶函数，A错误；为奇函数，所以，，所以，B正确；，又的图象关于点对称，所以，所以，C正确；又，所以是以4为周期的函数，，D正确．故选：BCD．1．（2023·湖北·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,【答案】【详解】令，则，故为R上的偶函数，当时，．所以在单调递减，在单调递增．等价于，即在上恒成立．所以，平方后化简得到．由一次函数性质可得，解得，即，故a的取值范围是．故答案为：.2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，在上单调递减，且对任意的，都有，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】或【详解】令，有，得，令，得，则，令，，有，得，又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，因为在上单调递减，所以在上单调递增.不等式可化为，则有，因为函数在上单调递增，所以，又，所以，即，设，则，因为，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以或.故答案为：或.3．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数.(1)若在上周期为，求的值；(2)当时，判断函数在上零点的个数：(3)已知在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)一个零点(3)【详解】（1）由题意，在上，所以，即在上恒成立，又，故.（2）当时，则，当时，所以，即在上单调递增.又，所以在上有且仅有一个零点；当时，所以在上无零点.综上，在上有且仅有一个零点.（3）由，即，整理得，令，则，当时，对任意有，又，所以，此时在上单调递增，故，符合题意.当时，令，则，所以，在上恒成立，即在上单调递增.又.当，即时，在上有，此时在上单调递增，，符合题意.当，即时，若，即，由零点存在定理，存在使，故上，所以在上递减，此时，不合题意.若，即，此时对恒有且不恒为0.即在上单调递减，所以，不合题意.综上，的取值范围是.高考模拟练习（多选）1．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．，函数是奇函数B．，使得过原点至少可以作的一条切线C．，方程一定有实根D．，使得方程有实根【答案】AD【详解】函数，定义域，且，函数是奇函数，A选项正确；设直线，联立方程：，得，，直线不可能是的一条切线，B选项错误；若，，则，得，即，由的有界性，显然不一定有解，C选项错误；当，，显然存在，，使方程有解，D选项正确.故选：AD（多选）2．（2023·河北·统考模拟预测）函数及导函数的定义域均为R，则下列选项错误的是（

）A．若，则的周期为2B．若，则为奇函数C．若，则为偶函数D．若，则为偶函数【答案】ABC【详解】对于A,由可得是周期函数且周期为2，无法确定的周期性，例如为周期2的函数，但是恒成立，单调递增，不具有周期性，故A错误，对于B,由可得关于对称，可取，则，不是奇函数，故B错误，对于C,由可知关于点对称，取，则，故为非奇非偶函数，故C错误，对于D,由得关于点对称，所以，则，则，由于，所以，令，则，所以为偶函数，故D正确，故选:ABC（多选）3．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（

）A．存在旋转函数B．旋转函数一定是旋转函数C．若为旋转函数，则D．若为旋转函数，则【答案】ACD【详解】对A，如满足条件，故A正确；对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得.当时，最多1个解，满足题意；当时，的判别式，对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确；对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数.又，故，即恒成立.即图象在上方，故，即.当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确.故选：ACD（多选）4．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（

）A．函数的图象关于中心对称B．函数的极大值有可能小于零C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率D．若三点共线，则.【答案】AD【详解】设因为所以为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点中心对称，A正确；令，解得，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，由单调性可知，，故B错误；因为，所以，又，所以因为，所以，即，C错误；同上，可得，，当三点共线时，则有整理得因为，所以，即又，所以，整理得因为，所以，即，所以，D正确.故选：AD（多选）5．（2023·重庆·二模）设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则（

）A．为偶函数B．在上单调递减C．在区间上有4046个零点D．【答案】AB【详解】因为的图象关于直线对称，所以将的图象向右平移个单位得的图象关于轴对称，再将的横坐标扩大为原来的2倍得的图象关于轴对称，即为偶函数，A正确；由题意可得当时令，则在恒成立，所以单调递减，又，所以当时，单调递增，当时，，单调递减，因为是奇函数，所以在上单调递减，B正确；由A可得关于对称，结合是奇函数可得，所以，即是以为周期的周期函数，因为，结合单调性和关于对称可得在区间上有2个零点，又因为是定义在上的奇函数，，所以在区间上有6个零点，所以在区间上有3035个零点，C错误；因为，，，，所以，D错误；故选：AB6．（2023·浙江·统考二模）已知函数，，，，若，，则（

）．A． B．C． D．【答