2025年中考数学三轮复习备考几何新定义问题重点题型预测练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学三轮复习备考几何新定义问题重点题型预测练1．定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”．(1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由．(2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式．(3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1）点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“坐标矩形”．图为点P，Q的“坐标矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），(1)若点B的坐标为（3，-1），求点A，B的“坐标矩形”的面积；(2)点C在y轴上，若点A，C的“坐标矩形”为正方形，求直线AC的表达式；(3)在直线y=2x+7的图像上，是否存在点D，使得点A、D的“坐标矩形”为正方形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．定义：我们把三边之比为的三角形叫做奇妙三角形．(1)初步运用：如图是的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；所画三角形中最大内角度数为______°．(2)再思探究：如图③，点A为坐标原点，点C坐标，点D坐标，在坐标平面上取一点，使得AB平分，直接写出m的值并说明理由．4．如图，点P为∠EOF的平分线OD上一点，以点P为顶点作∠APB，两边PA、PB分别交E于点A，交OF于点B．若∠APB绕点P旋转时始终满足，称∠APB为∠EOF的智慧角．（1）当时，如图1，若，求证：∠APB为∠EOF的智慧角．（2）当时，∠APB为∠EOF的智慧角．求∠APB（用含a的式子表示）．（3）如图3，点C是双曲线上一个动点，过点C作直线l分别交x轴和y轴于点A，B，且满足．请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．5．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．(1)如图，在中，为角平分线，，，求证：为的“优美分割线”；(2)请构造一个三角形和它的“优美分割线”，标出相关角的度数；(3)在中，，，为的“优美分割线”，且是等腰三角形，求线段的长．6．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．7．对于平面直角坐标系中的定点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得点与点关于直线对称，则称点是点关于图形的定向对称点．(1)如图，，，①点关于点的定向对称点的坐标是___________．②在点，，中，___________是点关于线段的定向对称点．(2)直线：分别与轴，轴交于点，，⊙是以点为圆心，为半径的圆．当时，若⊙上存在点，使得它关于线段的定向对称点在线段上，求的取值范围．8．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点C．过点A作线段垂直y轴交于点B，过点C作线段垂直抛物线的对称轴交于点D，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．(1)请根据定义求出抛物线的“伴随矩形”的面积；(2)已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出m的取值范围；(3)若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形”为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的t值．9．定义：在平面直角坐标系中，若、的坐标分别为、，则称为若、的“绝对距离”，表示为．【概念理解】（1）一次函数图像与轴、轴分别交于、点．①为_______；②点为一次函数图像在第一象限内的一点，，求的坐标；③一次函数的图像与轴、分别交于、点，为线段上的任意一点，试说明：；【问题解决】（2）点、为二次函数图像上的点，且在的右边，当时，．若，求的最大值；（3）已知的坐标为，点为反比例函数图像上一点，且在的右边，，试说明满足条件的点有且只有一个．10．在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”．(1)如图1，已知点的坐标为，①则点关于点的“相关点”坐标为_______；②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”．(2)如图2，若点坐标为，点坐标为，①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______；②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）．11．新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，，(1)【操作发现】如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由(2)【探索证明】如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由(3)【拓展应用】①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数．②如图4，将图3中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数．12．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”．(1)求直线上的“倍点”的坐标；(2)已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围；(3)如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值．13．对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．(1)已知．①在点中，线段的“等幂点”是____________；②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．14．定义：如图1，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，若绕点P旋转时始终满足，则称是的“梦之角”．(1)如图1，已知，点P为平分线上一点，的两边分别与射线交于M，N两点，且．求证：是的“梦之角”；(2)如图2，已知，，若是的“梦之角”，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积；(3)如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足，的“梦之角”为，请直接写出的长及相应点P的坐标．15．对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点（点可以重合），在图形上存在两点（点可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．(1)如图1，点，点在线段上运动（点可以与点重合），连接．①线段的最小值为______，最大值为______；线段的取值范围是______；②在点，点中，点______与线段满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围；(3)的半径为，点是上的两个点，分别以为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案1．(1)正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由见解析(2)y=x或y=-x+8；(3)4≤m+n≤7【分析】（1）根据“标准函数”的定义，找出当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．由此即可得出函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”；（2）分k>0和k<0两种情况考虑，根据“标准函数”的定义，即可得出关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得出函数解析式；（3）根据“标准函数”的定义，求出一次函数的解析式，根据矩形的性质结合AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），即可得出点D的坐标，分别代入B、D点的坐标，即可得出直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围，由此即可得出结论．【详解】（1）解：正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由如下：当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．即当1≤x≤2022时，有1≤y≤2022，∴函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”；（2）解：当k>0时，y随x的增大而增大，∴当x=2时，y=2，当x=6时，y=6，即，解得：，∴此时函数的解析式为y=x；当k<0时，y随x的增大而减小，∴当x=2时，y=6，当x=6时，y=2，即，解得：，∴此时函数的解析式为y=-x+8．综上所述：若一次函数是在[2，6]范围内的“标准函数”，则该函数的解析式为y=x或y=-x+8；（3）解：∵一次函数是在[m，n]范围的“标准函数”，∴y随x的增大而减小，∴当x=m时，y=n，当x=n时，y=m，∴，解得：a=-1，∴h=m+n，∴一次函数的解析式为y=-x+（m+n）．∵矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，∴AD∥BC，CD=AB=2，∵点B的坐标为（2，2），∴点C（3，2），∴D点的坐标为（3，4），当点B在该一次函数图象上时，有2=-2+（m+n），解得：m+n=4；当点D在该一次函数图象上时，有4=-3+（m+n），解得：m+n=7．∴当直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围为4≤m+n≤7．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、解二元一次方程组、矩形的性质以及一次函数的图象，解题的关键是理解“标准函数”的定义，一次函数的图象和性质，矩形的性质．2．(1)2(2)或(3)存在，点D的坐标为或【分析】（1）由坐标矩形的定义可知：要求A，B的坐标矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；（2）由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以直线AC与x轴的夹角必为45°，根据分析得出C点的坐标，再设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法解方程组即可得到求出答案；（3）由定义可知，AD必为坐标矩形的对角线，根据该坐标矩形为正方形，即直线AD与x轴的夹角为45°，因此D点是直线或与直线y=2x+7的交点，列出方程组求解即可得到点D的坐标．【详解】（1）解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，-1），点A，B的“坐标矩形”示意图如图所示，∴．（2）解：由题意可知点C的坐标为（0，1）或（0，－1），设直线AC的表达式为，将A、C分别代入AC的表达式得到或解得：或，则直线AC的表达式为或．（3）解：存在；∵点A、D的“坐标矩形”为正方形由（2）可知点D一定在直线或的图像上．又∵点D在直线y=2x+7的图像上，∴可列方程组或，解得或，∴点D的坐标为或．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，新定义的理解和应用，矩形的面积公式，正方形的性质，熟练掌握相关性质并正确理解题意列出方程进行求解是解题的关键．3．(1)见解析，(2)，理由见解析【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角；（2），利用网格结合勾股定理求出和各边的长．证明，直接利用相似三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）解：解：（1）如图所示：由网格可得：，，，，的三边比为，，，，，的三边比为，，，．故答案为：135；（2）解：，理由：连接、，由网格可得：，，，，的三边比为，由网格可得：，，，，的三边比为，，，平分．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确借助网格分析．4．（1）见解析；（2）；（3）点P的坐标为：，或【分析】（1）结合题意，根据角平分线的性质，推导得；根据相似三角形的性质，通过证明，即可得到答案；（2）结合题意，根据相似三角形的性质，通过证明△OPB∽△OAP，得∠OBP=∠OPA，再通过角度和差计算，即可得到答案；（3）分点A、B分别在轴和轴正半轴上，和点A在轴正半轴、点B在轴负半轴上两种情况分析；当点A、B分别在轴和轴正半轴上时，根据反比例函数的性质，设点，过点C作CH⊥OA于H，根据相似三角形性质，通过证明，得，从而得，结合题意计算，即可得到答案；当点A在轴正半轴、点B在轴负半轴上时，根据全等三角形的性质，通过证明，推导得，结合智慧角的性质计算，即可完成求解．【详解】（1）∵，OD平分∠EOF的，∴．∴．∵，∴．∴∴．∴．∴，∴∠APB为∠EOF的智慧角．（2）∵∠APB为∠EOF的智慧角，∴，∠BOP=∠AOP．∴，∠BOP=∠AOP．∴△OPB∽△OAP．∴∠OBP=∠OPA∴，即；（3）当点A、B分别在轴和轴正半轴上时，如图3：设点，则，过点C作CH⊥OA于H．∵BC=2CA，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴，∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：；当点A在轴正半轴、点B在轴负半轴上时，如图4：∵BC=2CA，∴AB=CA，在和中，，∴，∴，，∴，∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴，∵，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为：；∴点P的坐标为：，或．【点睛】本题考查了角平分线、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质，从而完成求解．5．(1)证明见解析(2)画图见解析；(3)或【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解再证明为等腰三角形，与从而可得结论；（2）根据新定义，直接构建三个内角分别为的三角形即可；（3）是等腰三角形，则分情况讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形，再求解即可．【详解】（1）解：中，为角平分线，，，为等腰三角形，为的“优美分割线”．（2）解：如图，构建的三角形和它的“优美分割线”，为它的“优美分割线”．由图可得：为等腰三角形，所以作图符合题意．（3）解：是等腰三角形，则分情况讨论：①当时，则如图，，为的“优美分割线”，，②当时，,则为的“优美分割线”，过作于则所以设解得：经检验符合题意；③当时，不符合题意，舍去，综上：的长为：或【点睛】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，理解新定义，熟练的运用以上知识解题是解本题的关键．6．(1)是；(2)①见解析，BE的长是8；②△BCM周长的最小值为210【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；（2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可；②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解．【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，设BE＝x，则AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的长是8；②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，在Rt△ABE中，AE6，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴，即，∴GH，CH，∴BH＝BC+CH＝10，∴BG2，∴△BCM周长的最小值为210．【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明三角形全等，第（2）②题关键确定M的位置．7．(1)①；②(2)满足条件的的取值范围是或．【分析】（1）①求出点关于直线的对称点即可；②由题意，满足条件的点在以为圆心2为半径的圆上（图中弧），由此判断即可；（2）分，，求出两种特殊位置的值即可；如图所示，当时，作关于轴的对称图形⊙，当直线与⊙在第三象限相切时，设切点为，连接；如图所示，当时，以为圆心，4为半径作⊙，当直线与⊙在第四象限点相切于点时，连接，分别求出的值即可解决问题．【详解】（1）①如图1中，∵，，∴点关于直线的对称点，故答案为：；②如图2中，由题意得：，满足条件的点在以为圆心2为半径的圆上（图中弧），∴点是点关于线段的定向对称点，故答案为：（2）如图3，当时，作关于轴的对称图形⊙，当直线与⊙在第三象限相切时，设切点为，连接，由题意得：，∴，∵，，∴，∴，∴，∴直线解析式为：，同理，直线与⊙在第二象限相切时，直线解析式为：，由图可知：满足条件的的取值范围是；当时，以为圆心，4为半径作⊙，当直线与⊙在第四象限点相切于点时，连接，∴，∴直线解析式为：，当直线与⊙相切时，此时直线解析式为：，由图可知：满足条件的的取值范围是；综上所述：满足条件的的取值范围是或．【点睛】考查了定向对称点的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题．8．(1)2(2)(3)t的值为9或【分析】（1）求出，即可得矩形的边长分别为1和2，再求面积即可；（2）先求出“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，直线经过B点时，直线经过D点时，则时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过A点时，，则时，矩形ABCD的四边与双曲线无交点，故，满足题意；（3）抛物线的“伴随矩形”的顶点分别是，，，，由题意可得，，求出，再由，进一步确定，根据韦达定理得，，则，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍）或（舍）；综上所述：t的值为9或【详解】（1）解：∵，∴，当时，，∴，∴伴随矩形”的面积；（2）∵，∴“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，直线经过B点时，，解得，直线经过D点时，，解得，∴时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过A点时，，∴时，矩形的四边与双曲线无交点，∴时，满足题意；（3）∵，∴，∴抛物线的“伴随矩形”的顶点分别是，，，，∵“伴随矩形”为正方形，∴，∴，∵，∴，∵抛物线开口向上，∴，∴，∵方程的两个根为x1，x2，∴，∴，∴，∴∴，，∴，∵的最小值为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍）或（舍）；综上所述：t的值为9或【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，弄清“伴随矩形”的定义是解题的关键．9．（1）①9；②；③见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）①由得，，即得；②设，由N在第一象限得，根据得：，即可解得，；③由中，得，由得，设，，即得，，从而证明；（2）将代入得，即知二次函数为，当时，，可解得或，根据Q在P的右边，可得，又，有，即，，二次函数为，则，因，所以，即得，故的最大值为；（3）设点的坐标为，依题意可知：，得出，分类求出m的值即可得出答案．【详解】解：（1）①在中，令得，令得，，，；②设，在第一象限，，解得，由得：，，解得，；③证明：如图：

在中，令得，，由得，，设，为线段上的点，，∴，，；（2）将代入得：，，二次函数为，当时，，解得或，在P的右边，且，，，，即，，二次函数为，，，，即，，，的最大值为；（3）设点的坐标为，依题意可知：，所以，若，即，，所以（舍去）或，若，即，，所以（舍去）或（舍去），所以，满足条件的点有且只有一个，是．【点睛】本题考查函数综合应用，涉及新定义、去绝对值、二次函数性质等知识，解题的关键是读懂“绝对距离”的定义，根据已知确定字母范围去绝对值．10．(1)①或；②(2)①；②或【分析】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质等知识，正确理解“相关点”的定义是解题关键．（1）①根据“相关点”的定义画出图形（见解析），过点作轴于点，过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，求出点的坐标，由此即可得；②参考（1）的思路，过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出的长，可得点的坐标，同理可得点的坐标，由此即可得；（2）①当时，如图（见解析），，且，则点即为所求，过点轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得点的坐标，利用中点公式可得点的坐标；当时，同样的方法可得点的坐标，然后可得点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足关系，据此分析点即可得；②由（2）①的方法即可得出答案．【详解】（1）解：①如图，，且，则点即为所求．过点作轴于点，过点作轴于点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴；同理可得：；∴点关于点的“相关点”坐标为或，故答案为：或．②当所求的点位于的上方时，如图，，且，则点即为所求．过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，联立，解得，∴，∴；当所求的点位于的下方时，同理可得：；故答案为：．（2）解：①当时，如图，，且，则点即为所求．过点轴于点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，设点的坐标为，∴，解得，∴；当时，如图，，且，则点即为所求．同理可得：，；综上，点关于点的“相关点”的坐标为或．∴点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足或，点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”，点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”，点的横、纵坐标满足，，不能成为点关于点的“相关点”，故答案为：．②由（2）①可知，点关于点的“相关点”的坐标为或，故答案为：或．11．(1)同意，理由见解析(2)同意，理由见解析(3)①；②图见解析，【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据即可得；（2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，然后根据平行公理推论和平行线的性质可得，从而可得，最后根据可得，由此即可得；（3）①设，先求出，，再过点作，根据平行线的性质可得，，然后根据建立方程，解方程即可得；②根据题意画出图形，过点作，设，先求出，，，则，再根据和是“和谐角”建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：同意，理由如下：如图，过点作，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的“和谐角”．（2）解：同意，理由如下：如图，过点作，∴，∵是的“和谐角”，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，由（1）已得：，∴，∴和是互补的．（3）解：①设，∵，∴，∵是的“和谐角”，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，如图，过点作，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，解得，∴，故答案为：．②由题意，画出图形如下：过点作，设，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵和是“和谐角”，∴，即，解得或（不符合题意，舍去），∴．12．(1)直线上的“倍点”的坐标为；(2)；(3)m的值为或．【分析】（1）设直线上的“倍点”的坐标为，根据“t倍点”的定义得，，联立得，据此求解即可；（2）根据题意，是方程即的两个根，由根与系数的关系得，，求得，令，根据，，求得，再根据二次函数的性质即可求解；（3）先求得翻折图形的解析式为，联立，求得，，再分三种情况讨论，利用相似三角形的性质列式求解即可．【详解】（1）解：设直线上的“倍点”的坐标为，根据“t倍点”的定义得，，又点在直线上，∴，解得，∴，∴直线上的“倍点”的坐标为；（2）解：∵点，是抛物线上的两个“1倍点”，∴，，即，是方程的两个根，即，由根与系数的关系得，，∴，∵，∴，∴，令，∴，∵，，∴，，∴，∴，对于，∵开口向上，∴当时，；当时，；则；（3）解：使“倍点”的坐标为，则，联立得，解得或，∴直线与抛物线的交点坐标为，，∵，∴顶点为，则就是抛物线的顶点，设点关于的对称点为，∴，∴，①当时，最多有两个实数根，∴图象最多有两个“倍点”，不可能存在三个倍点”，②当时，∵，∴，∵，∴，，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，∴，∴，∵，∴，即，解得，经检验，是原方程的解，∵，∴（舍去），；③当时，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，∴，∴，∵，∴，即，解得，经检验，是原方程的解，∵，∴（舍去），；综上，m的值为或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．13．(1)①，；②或(2)或【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA2进行比较即可确定线段的“等幂点”；②根据定义可得，然后求出边上的高为h，再结合△OAB为等腰三角形即可求出点B的坐标；（2）设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，求出N(0，-3),H(3，0)，可证△ONH为等腰直角三角形，点D运动分两种情况，分别求出对应的取值范围即可.【详解】（1）解：①，，=，P1是线段OA的“等幂点”．=，P2不是线段OA的“等幂点”．=，P3不是线段OA的“等幂点”．=，P4是线段OA的“等幂点”．∴是线段的“等幂点”的是，故答案为：；②如图，∵是线段的“等幂三角形”，∴∵点，设中边上的高为h，，∴，∴点B在直线或上，又∵是等腰三角形，∴点B在半径为2的上，或在半径为2的上，或线段的垂直平分线上，∴综上，点B的坐标为或；（2）解：设半圆与x轴交于G，H两点，过T作CH的平行线与半圆交于R，作CH的垂线交半圆于Q，直线y=x-3与y轴交于N，设D（x，x-3），过D作y轴平行线，与过C作x轴平行线交于F，当x=0时，y=-3,N(0，-3),当y=0时，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH为等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，点D运动分两种情况，第一种情况点D在射线CH，去掉线段CH部分运动，∵TC⊥NH，∠OHN=45°，∴△TCH为等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因为△ECD为锐角三角形，点E在上运动，点E到CD的距离h的范围是，CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，∵线段的“等幂三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(x-2)，∴，解得，点D在H右侧，x>3，∴；第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在上运动，又因为△ECD为锐角三角形，GU=GH×cos45°=，∴，∵线段的“等幂三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(2-x)，则，解得，D的横坐标的取值范围为或．【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，线段垂直平分线，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．14．(1)见解析(2)；(3)或；点P的坐标为：或【分析】（1）由角平分线求出，再证出，证