甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考 数学试题（含解析）

甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B．C． D．3．已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．4．已知向量，且与的夹角为，则实数的值为（

）A． B． C． D．5．若，则（

）A． B．C． D．6．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（

）A．12 B．8 C．6 D．7二、多选题9．已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（

）A．B．增加两个样本点后的平均数为1.2C．D．在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.210．如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（

）A．长半轴长为 B．短半轴长为C．焦距为4 D．离心率为11．已知函数，且，则下列结论正确的有（

）A．不一定有极值B．当时，C．当时，的极小值为0D．当时，在区间上的最小值为三、填空题12．若函数的最小正周期是，则.13．已知数列满足，若，则.14．已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的体积为，球的表面积为.四、解答题15．在如图所示的多面体中，平面，且是的中点.（1）求证：平面平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.16．已知的内角的对边分别为，且.（1）求的值.（2）已知.（i）求的值；（ii）求的面积.17．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.18．已知函数，且曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值.（2）当时，证明：当时，.（3）当时，若存在，使得成立，证明：.19．若数列满足，则称数列为项数列.集合是由所有的项数列构成的，现从集合中任意取出两个数列，记随机变量.（1）求集合中元素的个数；（2）求概率的值；（3）若的期望，求的最小值.

参考答案1．【答案】C【详解】.故选C.2．【答案】A【详解】.故选A.3．【答案】C【详解】因为集合，集合，所以，则，故A，B，D项错误，C项正确.故选C.4．【答案】D【详解】由，解得或（因，故舍去）.故选D.5．【答案】D【详解】，等号成立，.故选D.6．【答案】B【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，故异面直线和夹角的余弦值为.故选B.7．【答案】C【详解】记事件为“甲在第一科室实习”，事件为“甲与乙不在同一科室实习”，样本点的总数为，，事件同时发生的情况种数为，∴，..故选C.8．【答案】D【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为，因为四边形为梯形，且，设，则，所以，所以，作轴于点，则，因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，所以四边形的面积为.故选D.9．【答案】ABD【详解】对于A，由过点，得，解得，A正确；对于B，增加两个样本点后的平均数为，B正确；对于C，增加两个样本点后的平均数为，则，解得，C错误；对于D，新的经验回归方程为，当时，，D正确.故选ABD10．【答案】AD【详解】，，解得.该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，椭圆的焦距为，椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误.故选AD.11．【答案】ACD【详解】当时，，函数在上单调递减，函数无极值，故A项正确；当时，，且，则故B项错误；当时，，且，当或时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值故C项正确；当时，同上分析知在上为减函数，在上为增函数，当时，在区间上有最小值，故D项正确.故选ACD.12．【答案】3【详解】因为函数的最小正周期是，所以，则.13．【答案】【详解】，，将这个式子的左右两边分别相加可得，，.14．【答案】【详解】如图，在四棱锥中，点为底面正方形的中心，则底面，令为的中点，连接，记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，，侧面与底面所成的角为，球的体积为.设，由于，即，，两式相减可得，即，，球的表面积为.15．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）是的中点，.平面，平面平面，平面平面，平面平面平面平面.（2）以为原点，分别以所在直线为轴，过点且竖直向上的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则，则，设平面的法向量为，则取，解得.设平面的法向量为，则取，解得.记平面与平面夹角为，，平面与平面夹角的余弦值为.16．【答案】（1）（2）（i）2；（ii）【详解】（1），，，，..（2）（i）∴由正弦定理得，由（1）知，∴由余弦定理得，解得.（ii）的面积为.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）渐近线方程为.又，双曲线的方程为.（2）直线与双曲线交于不同的两点，由，得，，且，，且.设，则，，线段的中点坐标为，线段的垂直平分线的方程为，即，又在由点与构成的三角形中，，点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，，又，且，解得，或，实数的取值范围是.18．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【详解】（1）.曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，在上恒成立，在上单调递增，当时，.（3）当时，，当时，存在成立，，得.由（2）可知，当时，单调递增，，即，，设，则，当时，，则，，，.19．【答案】（1）个元素（2）（3）32【详解】（1）根据数列中1的个数可得集合中元素的个数为集合中共有个元素.（2）数列为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，不能取的