衔接点02 公式法因式分解的拓展-2025年【衔接教材•暑假作业】初高中衔接数学（新人教版）含答案

衔接点02公式法因式分解的拓展-2025年【衔接教材•暑假作业】初高中衔接数学（新人教版）衔接点02公式法因式分解的拓展【基础内容与方法】因式分解的主要公式：平方差公式；完全平方和公式；完全平方差公式；补充：立方和公式；立方差公式；三元三次相关等式．类型一：平方差公式因式分解1．因式分解（1）8x2y2﹣18；（2）4a2﹣16；（3）（x2﹣1）2+8（1﹣x2）．类型二：完全平方公式因式分解2．分解因式：（1）（y﹣1）2﹣10（y﹣1）+25；（2）（x+2）（x+4）+1；（3）x4﹣18x2y2+81y4；（4）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9；（5）2a3b﹣4a2b2+2ab3；（6）（m2﹣4m）2+8（m2﹣4m）+16．类型三：立方和与立方差公式因式分解3．分解因式：（1）1+27x3；（2）a3﹣8b3；（3）m6﹣n6；（4）x6﹣729y6．4．分解因式：（1）（b﹣c）3+（c﹣a）3+（a﹣b）3；（2）（x+y+z）3﹣x3﹣y3﹣z3．类型四：与分解因式相关的计算5．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝，求a4+b4+c4的值．6．已知：a＝2008x+2007，b＝2008x+2008，c＝2008x+2009，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．衔接点02公式法因式分解的拓展【基础内容与方法】因式分解的主要公式：平方差公式；完全平方和公式；完全平方差公式；补充：立方和公式；立方差公式；三元三次相关等式．类型一：平方差公式因式分解1．因式分解（1）8x2y2﹣18；（2）4a2﹣16；（3）（x2﹣1）2+8（1﹣x2）．【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解；（2）原式提取公因式4，再利用平方差公式分解即可；（3）先提取公因式（x2﹣1），再利用平方差公式因式分解．【解答】解：（1）原式＝2（4x2y2﹣9）＝2（2xy+3）（2xy﹣3）；（2）原式＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2）；（3）原式＝（x2﹣1）2﹣8（x2﹣1）＝（x2﹣1）（x2﹣9）＝（x+1）（x﹣1）（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．类型二：完全平方公式因式分解2．分解因式：（1）（y﹣1）2﹣10（y﹣1）+25；（2）（x+2）（x+4）+1；（3）x4﹣18x2y2+81y4；（4）（y2﹣1）2﹣6（y2﹣1）+9；（5）2a3b﹣4a2b2+2ab3；（6）（m2﹣4m）2+8（m2﹣4m）+16．【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后利用完全平方公式分解即可；（3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解；（4）利用完全平方公式进行分解，再次利用平方差进行二次分解即可；（5）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（6）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝（y﹣1﹣5）2＝（y﹣6）2；（2）原式＝x2+6x+8+1＝（x+3）2；（3）原式＝（x2﹣9y2）2＝（x﹣3y）2（x+3y）2；（4）原式＝（y2﹣1﹣3）2＝（y2﹣4）2＝（y+2）2（y﹣2）2；（5）原式＝2ab（a2﹣2ab+b2）＝2ab（a﹣b）2；（6）原式＝（m2﹣4m+4）2＝（m﹣2）4．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．类型三：立方和与立方差公式因式分解3．分解因式：（1）1+27x3；（2）a3﹣8b3；（3）m6﹣n6；（4）x6﹣729y6．【分析】（1）根据立方和可以分解因式；（2）根据立方差可以分解因式；（3）根据平方差公式和立方和、立方差公式可以分解因式；（4）根据平方差公式和立方和、立方差公式可以分解因式；【解答】解：（1）1+27x3＝（1+3x）（1﹣3x+9x2）；（2）a3﹣8b3＝（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）；（3）m6﹣n6＝（m3﹣n3）（m3+n3）＝（m﹣n）（m+n）（m2+mn+n2）（m2﹣mn+n2）；（4）x6﹣729y6＝（x3+27y3）（x3﹣27y3）＝（x+3y）（x﹣3y）（x2﹣3xy+9y2）（x2+3xy+9y2）；【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是明确因式分解的方法．4．分解因式：（1）（b﹣c）3+（c﹣a）3+（a﹣b）3；（2）（x+y+z）3﹣x3﹣y3﹣z3．【分析】（1）根据立方和、立方差公式可以分解因式；（2）根据立方和、立方差公式可以分解因式．【解答】解：（1）（b﹣c）3+（c﹣a）3+（a﹣b）3＝[（b﹣c）+（c﹣a）][（b﹣c）2﹣（b﹣c）（c﹣a）+（c﹣a）2]+（a﹣b）3＝（b﹣a）（b2﹣2bc+c2﹣bc+ab+c2﹣ac+c2﹣2ac+a2）﹣（b﹣a）3＝（b﹣a）[（a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac）﹣（b2﹣2ab+a2）]＝（b﹣a）[a2+b2+3c2﹣3bc+ab﹣3ac﹣b2+2ab﹣a2]＝（b﹣a）（3c2+3ab﹣3bc﹣3ac）＝3（b﹣a）（c2﹣bc﹣ac+ab）＝3（b﹣a）[c（c﹣b）﹣a（c﹣b）]＝3（b﹣a）（c﹣b）（c﹣a）；（2）（x+y+z）3﹣x3﹣y3﹣z3＝[（x+y+z）﹣x][（x+y+z）2+x（x+y+z）+x2]﹣（y+z）（y2﹣yz+z2）＝（y+z）[x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz+x2+xy+xz+x2]﹣（y+z）（y2﹣yz+z2）＝（y+z）[x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz+x2+xy+xz+x2﹣y2+yz﹣z2]＝（y+z）（3x2+3xy+3yz+3xz）＝3（y+z）[x（x+y）+z（x+y）]＝3（y+z）（x+z）（x+y）．【点评】本题考查因式分解，解答本题的关键是明确因式分解的方法．类型四：与分解因式相关的计算5．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝，求a4+b4+c4的值．【分析】先对a+b+c＝0两边平方，从而得出2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，再对2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，两边平方，从而得出a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025和（a2+b2+c2）2＝0.01，即可得出a4+b4+c4．【解答】解：∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，∵a2+b2+c2＝＝0.1，∴2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，∵（2ab+2ac+2bc）2＝4（a2b2+a2c2+b2c2+2a2bc+2ab2c+2abc2）＝0.01，∵2a2bc+2ab2c+2abc2＝2abc（a+b+c）＝0，∴a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025①（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+a2c2+b2c2）＝0.01②由①②得出，a4+b4+c4＝0.005．故答案为：0.005．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，是中档题，用一定的难度，要准确把握公式的反复使用．6．已知：a＝2008x+2007，b＝2008x+2008，c＝2008x+2009，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．【分析】由已知求出a﹣b，b﹣c，a﹣c的值，原式变形后，利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵a＝2008