湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳县第一中学高一下学期5月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A(1,2)，B(−1,0)，则AB=(

)A.(0,2) B.(−2,2) C.(−2,−2) 2.化简：AB−DC−BC+A.2AD B.AD C.0→ 3.已知平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，|a−c|=|bA.582 B.622 C.4.计算：sin30°cos15A.12 B.−12 C.5.已知角A、B是▵ABC的内角，则“A<B”是“sinA<sinB”的A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要6.已知共面向量a,b,c满足a=4,b+c=2a且b=b−cA.83 B.132 C.8 7.若非零向量a，b满足a=2b，且a+b⊥aA.π4 B.π2 C.3π8.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中，AB=8，O是该正五角星的中心，则OA⋅AEA.−32 B.32 C.−64 D.64二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数y=f(x)，满足∀x,y∈R，有f(x+y)=f(x−y)+2f(y)cosxA.4π是f(x)的一个周期 B.f(x)是奇函数

C.f(x)是偶函数 D.10.某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表：月份t123456销量y(万辆)11.712.413.813.214.615.3根据上表的数据，下列说法正确的是(

)A.销量的极差为3.6 B.销量的平均数为13.5

C.销量的第40百分位数为13.8 D.销量的中位数为13.211.已知▵ABC且BA⋅BC=BA2，点P为线段BCA.∠B=π3

B.若P为线段BC的中点，则PA⋅PB=4

C.12.如图，在平面直角坐标系xAy中，AB=(4,0),AD=(1,4),DC=(2,−A.BD=4 B.四边形ABCD的面积为212

C.▵ABC外接圆的周长为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.三棱锥P−ABC中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足OA+OB+OC=0，A点在侧面PBC上的射影H是▵PBC14.已知sin(α−β)cosα−cos(α−β)sinα=315.已知海岛B在海岛A的北偏东75°的方向上，且两岛的直线距离为30 n mile.一艘海盗船以30 n mile/ℎ的速度沿着北偏东15°方向从海岛B出发，同时海警船以303nmile/ℎ的速度从海岛A进行追赶，经过t小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东

16.若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记OA=a，OB=b，OC=c，OD=−d，满足a=b=2四、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)已知向量a=(−1,0)，b=(m,1)，且a与(1)求a+2(2)若ka+b与a+218.(本小题10分)已知复数z和它的共轭复数z满足3z+z(1)求z;(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，求复数q+pi19.(本小题12分)已知两个函数y=f(x)，x∈D1，y=F(x)，x∈D2若对任意的x1∈D(1)判断函数G(x)=cosx，x∈0,π(2)若函数H(x)=log2x，x∈[m,n]是ℎ(x)=(3)已知函数Q(x)=log2kxx2+4+14，x∈[0,m]，q(x)=sinπx−π320.(本小题10分在▵ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，(1)求A；(2)若b=2，a=23，求▵21.(本小题12分)如图，在正四棱锥P−ABCD中，所有棱长均为a，点R是棱PC的中点，点Q是底面ABCD内任意一点，点Q到侧面PAB,PBC,PCD,PDA的距离分别为d1(1)证明：平面PBC⊥平面BRD(2)求d1(3)记PQ与侧面PAB,PBC,PCD,PDA所成的角分别为α,β,γ,δ，证明：cos2α+22.(本小题12分)定义：若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx，则称f(x)为OM(1)若向量OM为函数f(x)=2sinx+(2)若函数f(x)为向量OM=3,−1的“线性函数”，在▵ABC中，(3)若函数f(x)为向量OM=3,1的“线性函数”，且当x∈0,11π6参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.A

9.ABD

10.AB

11.AC

12.BCD

13.36

14.−415.45°

16.317.解：(1)由已知向量a=(−1,0)，b=(m,1)，且a与则a⋅b=−所以b=(0,1)则a+2所以a+2(2)由(1)可得ka所以ka解得k=−18.解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，

则z=a−bi，

则3z+z=3(a+bi)+(a−bi)=4a+2bi=4+4i，

所以4a=42b=4，解得a=1，b=2，

故z=1+2i；

(2)∵z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，

∴z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的另一个根，

∴19.解：(1)G(x)=cosx，x∈0,π取x1=0∈0,π，因为g(0)=0所以G(x)=cosx，x∈0,π(2)由题意，对任意x1∈D1，存在唯一即Hx2=1ℎ因为ℎ(x)=2x，x∈[−2,−而H(x)=log2x在x从而log2m≤2log2n≥4(3)当Q(x)是q(x)的“友好函数”时，由题意，对任意的x1∈D1，存在唯一的即Qx2=1q当q(x)是Q(x)的“友好函数”时，由题意，对任意的x2∈D2，存在唯一的即1qx1=Qx所以Q(x)的值域与1q(x)值域相同(且值域中的数值一一对应)当Q(x)是q(x)的“友好函数”时，因为q−若存在x1∈−16,t使得所以当x∈−16,t因为1q(x)在x∈−①当k=0时，Q(x)=−②当k<0时，Q(x)=log因为kxx2+4③当k>0时，Q(x)=若0<m≤2，则y=x+4从而Q(x)在(0,m]上单调递增，故Q(x)从而x∈[0,m]时，因为Q(x)的值域与1q(x)值域相同，所以即t=16k=m4+1所以当m=2时，m−k的最大值为1．若m>2，则y=x+4x在此时Q(x)值域与1q(x)综上：t=16，m−k的最大值为20.解：(1)在▵ABC中，由正弦定理可得3又sinC=所以3即3cosAsinB所以3cosA又A∈0,π(2)在▵ABC中，由余弦定理可知cos即−12=解得c=2或c=−4(舍则▵ABC的面积S=21.解：(1)因为在正四棱锥P−ABCD中，所有棱长均为a，点R是棱PC的中点，所以PC⊥DR，又DR∩BR=R，DR,BR⊂平面BRD，所以PC又PC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面(2)设AC∩BD=O，连接PO，则PO⊥设点P到平面ABCD的距离为ℎ，因为在正四棱锥P−ABCD中，所有棱长均为a，所以四个侧面的正三角形的面积均为12a2又ℎ=依题意可得VP−ABCD所以13即a2×(3)设平面PAB与PCD的交线为l，P∈l，过点Q作平面P′MN使得PP(即过点Q作MN//BC交AB于点M、交DC于点N，再在平面PAB内作MP则AB⊥MN，又MN∩MP′=M，MN,M又AB//CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以又平面PAB与PCD的交线为PP′，AB⊂平面PAB所以PP′⊥设QH=m，P′M=a2所以P′M⋅所以d1=所以d1设OH=n，同上方法可得d2所以d1而PQ所以d1又PQ与侧面PAB,PBC,PCD,PDA所成的角分别为α,β,γ,δ，则sinα=d1PQ，sinβ=而sin2所以cos222.解：(1)因为f(x)=2sinx+π则OM=3(2)依题意，f(x)=由f(A)=3sin因0<A<π，则−π6因B+C=π−A，则又cosBcosC由正弦定理，BCsinA=代入①，可得AC⋅又由余弦定理，BC可得AC于是(AB+AC)2解得AB+AC=(3)f(x)=当x∈0,11由f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0，得∴f(x)