初中数学九年级下册统编教案 7.6用锐角三角函数解决问题（第1课时）

泗阳县初中数学学科教案（九上）课题7.6用锐角三角函数解决问题（1）课型新授本节第1课时主备授课时间本章第9课时教学目标（四维）知识技能理解坡度i，学会用锐角三角函数的有关知识解决实际问题.数学试探经历探索实际问题的求解过程，进一步体会锐角三角函数在解决实际问题中的作用．问题解决能把实际问题转化为数学问题，能借助参考数据进行有关锐角三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．情感态度通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题.渗透“数学建模”的思想．重难点重点利用坡度i与坡角α之间的关系为i=tanα解决实际问题．难点理解坡角、坡比等概念，选择适当的三角函数解决问题．教学过程设计师生双边活动二次备课及学法指导情境创设锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在道路、水利等工程设计与建设中，我们可以根据其中的数量关系和位置关系找出（或构造出）一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题.我们前面曾经遇到这样的问题：“哪个坡更陡？”设计意图：学生回答是利用台阶的垂直高度和水平宽度的比描述台阶的倾斜程度，即台阶与地面所成角的正切.通过复习旧知，引入新知.二、探究学习1.坡度、坡角的概念：斜坡上任意一点的铅垂高度与水平距离的比值叫“坡度”（坡度i==h:l）；斜坡与水平线的夹角称为“坡角”.2.坡度与坡角的关系：从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i=tana.3.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.设计意图：目的是利用学生生活中熟悉的实际问题，引出本节课的坡角、坡度概念.同时也说明了生活中处处有数学，生活与数学密不可分.3.概念巩固：如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC.（1）斜坡AB＝10m，大坝高为8m，斜坡AB的坡度iAB＝___.（2）如果坡度iAB＝1∶，则坡角∠B＝___.（3）如果坡度iAB＝1∶2，AB＝8m，则大坝高度为___.三、精选例题问题1如图，水坝的横截面如图所示，AB∥CD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i=1∶1，坝顶宽DC＝2.5米，坝高4.5米．求：（1）背水坡AD的坡角β；（2）坝底宽AB的长．设计意图：把实际问题抽象为几何问题，画出几何图形，明确已知量和未知量，通过添加适当辅助线，构造直角三角形，解决实际问题.拓展与延伸1：在上题中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定加高堤坝，要求堤坝加高0.5m，已知堤坝的总长度为5km，（保持迎水坡与背水坡的坡度不变），需要多少方土？(结果保留根号).拓展与延伸2:在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，方案要求坝顶CD不变，背水坡AD的坡度改为1∶1.2，求加固后横截面增加的面积是多少?拓展与延伸3：在上题中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5m，背水坡AD的坡度改为1∶1.4.已知堤坝的总长度为5km，求该项工程所需的土方（精确到0.1米³).四、效果评价1.斜坡的坡度是1︰，则坡角=°.2.斜坡的坡角=45°，则坡度是.3.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）.A5mB2mC4mDm在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m，测得斜坡坡度为1:3，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为____________.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=,坡长AB=,为加强水坝强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=,求AF的长.五、小结交流1.坡度、坡角：斜坡上任意一点的铅垂高度与水平距离的比值叫“坡度”（坡度i==h:l）；斜坡与水平线的夹角称为“坡角”.2.坡度与坡角的关系：i=tanα.3.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.设计意图：本环节目的是在通过学生谈谈收获与疑惑的过程中，教师获得反馈，从而及时补充与指导，归纳与总结.六、分层作业A层次：课本P114练习ex1，2；P117习题ex1,2.B层次：如图为某市的防洪堤坝的截面，堤坝底部为30米，堤坝顶部为10米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1，现将堤坝高度增加5米，坝顶宽度保持不变，背水坡BC的坡度改为1：1.2.求堤坝截面增加的面积为多少平方米？学生回答.结合图形理解坡度、坡角的概念.学生独立思考，然后小组讨论交流．教师引导学生如何作辅助线，把梯形问题转化为直角三角形和矩形等基本图形去解决问题.学生先独立完成，然后小组讨论，解决在练习过程中存在的问题，最后小组展示，讲解．学生总结本节课的内容，其他学生补充.在学生完成小结后