湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，.故选：A2.已知是虚数单位，复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得.故选：D.3.已知M，N是圆O上的两点，若，则（）A.3 B. C.9 D.【答案】B【解析】设为的中点，连接，如图，则OC⊥MN，所以.故选：B4.已知函数fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，则（A. B.C. D.的最小正周期为【答案】C【解析】由图象可知，，故A错误；由图象知，，所以，，故BD错误；因为图象过点，且在减区间上，所以，即，，解得，又，所以，即，又图象过点0,1，所以，即，所以，所以，故C正确.故选：C5.已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点Fc,0到渐近线的距离，所以，，e=ca=故选：A6.在的展开式中，的系数是（）A. B.5 C. D.10【答案】A【解析】由多选式乘法知，只需求出x+y6展开式中x2y由组合知识可知，x2y4的系数为，x3故在展开式中，的系数是.故选：A7.从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.从而，，故.故选：D8.设函数的定义域为,且满足,,,，都有，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，再令得：，所以，即函数是以为周期的函数，所以，，由可得关于对称，又因为，单调递增，所以当，单调递减，因为，所以，即.故选：C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5B.当PA>0时，当且仅当事件A与BC.若随机变量X服从正态分布，若，则D.已知一系列样本点xi,yi（，2，3，…，n）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则【答案】BC【解析】对A，数据由小到大排列为，其中位数为，故A错误；对B，当时，，即，所以事件A与B相互独立，故B正确；对C，随机变量X服从正态分布，且，所以，由正态分布的对称性知，，故C正确；对D，由可知，与的残差分别为，，所以由可得，故D错误.故选：BC10.已知抛物线C:y2=4x，直线过的焦点，且与交于两点，则（）A.的准线方程为B.线段的长度的最小值为4C.存在唯一直线，使得为线段的中点D.以线段为直径的圆与的准线相切【答案】BCD【解析】对于A，抛物线C:y2=4x的准线方程为，故对于B，F1,0由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，，联立，消得y2-4my-4=0，，则，所以，所以，时取等号，所以线段的长度的最小值为4，故B正确；对于C，由B选项得线段的中点坐标为，若点为线段的中点，则，解得，所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确；对于D，由C选项知线段的中点坐标为，则中点到准线的距离为，所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确.故选：BCD.11.已知圆柱的高为，线段AB与CD分别为圆与圆的直径，则（）A.若为圆上的动点，，则直线O2P与所成角为定值B.若为等边三角形，则四面体的体积为C.若，且，则D.若，且与BD所成的角为，则四面体外接球的表面积为或【答案】ACD【解析】对于A，如图①所示，当时，则,又因为，所以为直角三角形，且（圆半径），故O2P与所成角即为O2P即为定值，故A正确；对于B，如图②所示，当为等边三角形时，即，因为为中点，所以,，又因为，且平面,平面,所以平面.又因为，即，故，所以,故B错误；对于C，如图③所示，分别以为轴，过垂直于为轴，为轴建立空间直角坐标系，因为,即，由B选项可知，则，所以,所以，所以，故C正确；对于D，如图③所示，分别以为轴，过垂直于为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，所以,因为与所成角位，所以，解得r=2或r=3设四面体外接圆半径为，当r=2时，则，故外接球表面积为；当r=32时，则，故外接球表面积为；故D正确故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，若，则____________.【答案】【解析】因为，所以，解得，故，所以.故答案为：.13.3月19日，在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：项目常德高腔常德丝弦桃源刺绣安乡木雕澧水船工号子志愿者人数3060504020若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为____________.【答案】【解析】由题意得样本中澧水船工号子的人数为，所以可取，并且服从超几何分布，，，，所以.故答案为：14.已知函数，且时，，则的取值范围为____________.【答案】【解析】作出函数的图象，如图所示，因为时，，由图可知，，则，即，所以，所以，由函数关于对称，可得，所以，因为，所以，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角的对边分别为，且．（1）求角的大小：（2）若，的面积为，求的周长.解：（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，又，所以；（2）由，得，由余弦定理得，又因为，所以，所以，所以，所以的周长为.16.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程.解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，方程为，此时，当直线的斜率存在时，设方程为，联立，消得，恒成立，故k∈R，则，所以，令，则，所以，当，即时，AB取得最大值，此时，综上所述，当AB最大时，求直线的方程为.17.如图，四棱锥中，平面，，，．（1）证明：PA⊥BD；（2）求平面与平面PAC夹角的余弦值.解：（1）因为，所以，所以，所以，因为平面，平面，所以，又平面PAC，所以平面PAC，又平面PAC，所以PA⊥BD；（2）设AC∩BD=O，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，由（1）得，，，故，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，因为平面PAC，所以即为平面PAC的一个法向量，故，即平面与平面PAC夹角的余弦值为.18.已知正项数列的前n项和为，且.（1）求，的值及数列的通项公式；（2）求数列的最大项；（3）若数列满足，求数列的前30项和（，）.解：（1）因为，所以当时，解得，当时，由，解得，当时，，则，化简得，而an>0，所以，所以数列为等差数列，所以an=n（2）由（1）知，an=n，则所以，因为，当或时，取最大值，所以数列的最大项为第项或第项，其值为.（3）由题可知，当时，，所以，当时，，所以，，相减得，，所以，所以19.已知函数，（）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意恒成立，求整数a的最小值.解：（1）当时，，所以，所以切线方程为，即.（2）因为，所以，设，则，又因为，所以