吉林省2025届高三下学期东北三省高考模拟数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省2025届高三下学期东北三省高考模拟数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得：，，，故选：A．2.设复数满足，则在复平面上表示的图形是（）A.直线 B.直线 C.圆 D.抛物线【答案】B【解析】设复数在复平面中对应的点为，设，，则的几何意义为，即点的轨迹为的中垂线，方程为.故选：B3.记为数列的前项和．下列说法正确的是（）A.数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有B.数列成等比数列充分不必要条件是对于任意的正整数，都有C.已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数D.已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是【答案】A【解析】是等差数列，A选项正确；若对都成立，满足，但不是等比数列，充分性不成立，B选项错误；若是等差数列，则，，因为是等差数列，所以，得必要性成立，C选项错误；若，则，当时，，当时，，不适合上式，不是等比数列，充分性不成立，D选项错误，故选：A．4.满足条件，且的一组为（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】设，，，，，，结合选项，ABC不符合，D符合，故选：D．5.函数最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，故选：C．6.甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设为甲获胜的概率，，，.故选：C．7.函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由的零点，转化为的零点，因为均为减函数，在上单调递减且，又，，若存在，使得，只需，则即可，存在值，在上有且只有一个零点，即有且只有一个零点.故选：B8.设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，分别为该四棱锥外接球、内切球半径，由题可知球心在高上，，，过球心做面垂线，垂足为，则点在的中线上（为中点），且，则，，在中，边上的高为，所以，，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，若，则可能为（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】，以为临边的平行四边形对角线相等，，，，，时，，故选：ACD．10.设随机变量，且，则（）A. B.C.的方差为 D.若增大，则增大【答案】BC【解析】由结合正态曲线的对称性，可得，则，故 A错误；，故B正确；由题意可知，，则，故C正确；越大，数据越分散，越小，故D错误.故选：BC．11.已知集合，现随机选取集合中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中最小数为．（）A.的最小取值为1，最大取值为19B.集合中以为最小数的3元子集共有个C.取到“集合中以为最小数的3元子集”的概率为D.【答案】BCD【解析】的最小取值为，最大取值为，故A错误；以为最小元的子集只需在中选出2个数与共同组成一个集合，所以有个，故B选项正确；集合共有个元子集，由B选项可知概率为，故C正确；随机选取集合中4个元素组成子集共有种，由于，，其中为集合中的最大数，是集合中的最小数，则从中任取个元素有种，从中任取个元素有种，再取，则从集合中任取个元素共有种，则，则，故D正确.故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，若，则_____．【答案】【解析】设，，，当时，，，无解，不符合题意；当时，，；当时，，，无解，不符合题意；当时，，．故答案为：13.展开式中的系数为_____．【答案】136【解析】展开式中的系数．故答案为：136.14.平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为_____．【答案】【解析】设整点，则，，，，，是5的倍数，，，．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，已知角，边，且．（1）证明：；（2）若点在上，且为角平分线，求的长度．（1）证明：由余弦定理可知，，即，又，所以，解得．（2）解：由及，可以解得，再与联立解得：或，利用三角形的面积相等公式，即，不妨用代入可得：．16.在四棱锥中，底面为边长为的菱形，，底面，且，点为中点，点为上靠近点的一个三等分点，点在线段上的动点．（1）若平面，求出点的位置；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．解：（1）假设为上靠近的三等分点，分别为、的三等分点，，，，又平面，平面，平面，所以为上靠近的三等分点．（2）平面内，过点作垂线，底面，，，，平面，平面，以为原点，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，，，且，，设平面的一个法向量，则，，，设直线与平面所成角为，则，当时，，．即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.17.某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子：四个面，分别标有数字1，1，3，4；骰子：四个面，分别标有数字2，4，5，6；骰子：六个面，分别标有数字1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面数比例随机选择一个骰子（即选择概率等于其面数占总面数的比例），然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值．请解答以下问题：（1）若玩家选择骰子，求两次投掷的最大值为4的概率；（2）求两次投掷的最大值为4的概率；（3）设奖金为最大值的平方（单位：元），若玩家获得的奖金超过16元，求玩家选择骰子的概率．解：（1）骰子的面为1，1，3，4，每个面出现的概率为，两次投掷共有16种可能的结果组合，最大值是4的情况包括至少有一次掷出4，两次都不出现4的概率为，因此至少有一次出现4的概率为．（2）玩家选择骰子的概率分别为（骰子）、（骰子）和（骰子）；计算各骰子最大值为4的概率：骰子：概率为；骰子：两次投掷共有个结果，两次投掷的最大值为4的情况是两次结果都不超过4且至少有一次为4，共有3种情况（（2，4），（4，2），（4，4）），故概率为；骰子：没有数字4，因此概率为0．总概率为：．（3）奖金超过16元意味着最大值超过4，计算各骰子最大值超过4的概率：骰子：不可能超过4，概率为0；骰子：至少有一次掷出5或6共有种，故概率为；骰子：共有个结果，至少有一次掷出超过4，共有，故概率为．设最大值超过4为事件，选择骰子为事件，计算全概率：，则．18.已知函数，其中为常数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围．解：（1）当时，，，，此时，因此曲线在点处的切线方程为．（2）函数的定义域为，，当，即时，，令，解得，令得，令得，此时函数在上单调递增，在上单调递减；当时，中，，当，即时，方程在上仅有一个正根，令得，令得，此时函数在上单调递增，在上单调递减；当，即时，方程在上有两个不等正根，分别为，，，故，令得，令得，此时函数在和上单调递增，在上单调递减．综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；（3）由（2）可知，若函数在区间内存在两个不同的极值点，则，函数的对称轴为，且，故，且，解得．19.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和．（1）求证：；（2）设点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，求的最小值，并求此时与的值；（3）在（2）的条件下，设点为椭圆上任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线（点不在两条渐近线上），垂足分别为和，试问△面积是否有最大值，如果有最大值，求出此时的值，如果没有最大