2025年全国普通高校招生全国统一考试(天津卷)数学试题-教师用卷

2025年全国普通高校招生全国统一考试(天津卷)数学试题❖【网络版】一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U=1,2,3A.1,2,3,4 B.2【答案】D

【解析】【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.【解答】解：由A=1,集合U=故∁故选：D2.设x∈R，则“x=0”是“sin2xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.【解答】解：由x=0⇒sin2又当x=π时，sin2故“x=0”不是“综上可知，“x=0”是“sin故选：A3.已知函数y=fx的图象如下，则fx的解析式可能为A.f(x)=x1−|x【答案】D

【解析】【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由x∈0【解答】解：由图可知函数为偶函数，而函数fx=x1−又当x∈0,1时由图可知当x∈0,1时，fx<故选：D4.若m为直线，α,β为两个平面，则下列结论中正确的是(

)A.若m//α,n⊂α，则C.若m//α,m⊥β，则【答案】C

【解析】【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.【解答】解：对于A，若m//α,n对于B，若m⊥α,m⊥对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，现m//a,m对于D，m⊂α,α⊥β，则m与故选：C5.下列说法中错误的是(

)A.若X∼NB.若X∼N1,C.r越接近1，相关性越强D.r越接近0，相关性越弱【答案】B

【解析】【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.【解答】解：对于A，根据正态分布对称性可知，PX≤μ对于B，根据正态分布对称性可知，PX<1对于C和D，相关系数r越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.故选：B6.Sn=−n2+8n，则数列aA.112 B.48 C.80 D.64【答案】C

【解析】【分析】先由题设结合an=Sn−S【解答】解：因为Sn所以当n=1时，当n≥2时，经检验，a1所以an=−2n设数列an的前n项和为T则数列an的前4项和为数列an的前12T=故选：C7.函数f(x)=0.A.(0,0.3) B.(0.3,【答案】B

【解析】【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.【解答】解：由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3x在R所以fx显然f0所以根据零点存在性定理可知fx的零点位于故选：B8.f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,A.−32 B.−12 【答案】A

【解析】【分析】利用正弦函数的对称性得出ω=4n+2，根据单调性得出0<【解答】解：设fx的最小正周期为T，根据题意有π12ω由正弦函数的对称性可知π3即π4又fx在−5π∴ω=2∵φ∈−π,π，当x∈0,由正弦函数的单调性可知f故选：A9.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,bA.2 B.5 C.2+1【答案】A

【解析】【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出PF1=3【解答】解：根据题意可设F2p2,0，双曲线的半焦距为c过F1作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线A则PA由双曲线的定义及已知条件可知PF1−由勾股定理可知AF易知y02=整理得2c2−3故选：

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知i是虚数单位，则3+ii=【答案】10【解析】【分析】先由复数除法运算化简3+i【解答】解：先由题得3+i故答案为：11.在x−16的展开式中，x3项的系数为【答案】−20【解析】【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.【解答】解：x−16当r=3时，即x−16展开式中故答案为：−12.l1:x−y+6=0，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1【答案】2

【解析】【分析】先根据两点间距离公式得出|AB|=6【解答】解：因为直线l1:x−y+6=0与x轴交于A圆(x+1)2+y−3故CD=2故答案为

：213.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，4圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为

；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(x【答案】0.6

；

；

；

；

3.2

【解析】【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.【解答】解：设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C，则PA若至少跑11圈为运动量达标为事件D，PD所以X∼B4故答案为：0.6；3.214.△ABC中，D为AB边中点，CE=13CD,AB=a,AC=b【答案】16a+【解析】【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.【解答】解：如图，因为CE=13因为D为线段AB的中点，所以AE又因为AE=5AE⋅所以a2所以A=故答案为：16a15.若a,b∈R，对∀x∈[−【答案】−4【解析】【分析】先设t=2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x=−1【解答】解：设t=2a原不等式可化为对任意的−2≤x不妨代入x=−12，得当t=−4即−2观察可知，当a=0时，−2x+此时，a=0,b=故t=2故答案为：−三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为(1)求(2)求(3)求sin【答案】解：(1)已知asin得asinB=得tanA=故A=(由(1)知cosA=1由余弦定理a2则7=解得b=1(故c=(由正弦定理asinA=得sinB=bsinA故cosB=5且cos2故sin

【解析】(1(2)由余弦定理，结合(1)结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得(3)利用正弦定理先求B，再由二倍角公式分别求sin17.(本小题15分)正方体ABCD−A1B1C1(1)求证：GF(2)求平面FBE与平面(3)求三棱锥D【答案】解：(法一、在

正方形BC由条件易知tan∠C1则∠B故∠BFG在正方体中，易知D1C1⊥平面所以EF⊥平面又FG⊂平面BC∵EF∩BF=F,E法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，则B4所以EF设m=a,则m⋅EF=4b=易知FG=−m，则FG也是平面BEF(同上法二建立的空间直角坐标系，所以EG由(1)知FG设平面BEG的一个法向量为n=x,令x=6，则z=设平面BEF与平面BEG的夹角为α，则cosα(由(1)知EF⊥平面BCC1易知S△又DE=2,0,4由棱锥的体积公式知：V

【解析】(1)法一、利用正方形的性质先证明FG⊥B(2(3)18.(本小题15分)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，右顶点为(1(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：【答案】解：(依题意，设椭圆x2a2则左焦点F(−c,0)，右顶点因为P为x=a上一点，设又直线PF的斜率为13，则m−0所以m2c+c=13因为△PFA的面积为32，所以S△PF则a=2c所以椭圆的方程为x.(由(1)可知P(2,易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=kx+m联立y=kx+m因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ=即4k2−m2+3所以直线PB的方程为y=联立y=−12x以下分别用四种方法证明结论：法一：则FB所以cos∠cos∠则cos∠BF所以∠BFP=法二：所以kFB=32由两直线夹角公式，得tan∠BF则tan∠BF所以∠BFP=法三：则tan∠PF故tan2又∠B所以∠BFP=法四：则kF所以直线FB的方程为y=34则点P到直线FB的距离为d=又点P到直线FA的距离也为1，所以PF平分∠

【解析】

(1)根据题意，利用椭圆的离心率得到a=2c，再由直线PF(2)联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得k，进而得到直线PB的方程与点B19.(本小题15分)已知数列an是等差数列，bn(1)求an(2)∀n∈(i)求证：对任意实数t(ii)求【答案】解：(设数列an的公差为d，数列bn公比为则由题得2+所以an((i)证明：由(1)p当pn设Sn所以2S所以−S所以Sn=8此时an所以对∀t∈(ii)法一：由(i)由题意可得Tn当p1,p2,..当p1,p2,此时该系列的元素有Sn−a则这n个元素的和为Cn当p1,p2,..此时该系列的元素为Sn−a则这n个元素的和为Cn当p1,p2,...,pn则这n个元素的和为Cn…当p1,p2,...,pn−1则这n个元素的和为Cn当p1,p2,..综上所述，TnS=2法二：由(i)得Sn由题意可得Tn所以Tn的所有的元素的和中各项aib所以Tn中的所有元素之和为

【解析】(1)设数列an的公差为d，数列bn公比为qq(2)(i)由题意结合((ii)法一：根据p1,p2,...,pn−法二：根据Tn元素的特征得到Tn中的所有元素的和中各项aib20.(本小题15分)已知函数f(1)a=1(2)f(x)(i)求(ii)【答案】解：(当a=1时，f(则f′(x)=则切点(1,1故函数f(x)在点(((i)令f(得a=设g(则g′由g′(x)=0解得x=当0<x<1时，g′当1<x<e2时，g当x>e2时，g′(且当x→0时，g(x)→