2025年高中数学北师大版选择性必修第一册课时作业(三十一)

课时作业(三十一)空间中直线、平面的垂直[练基础]1．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于()A．－2B．2C．6D．103．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为()A．(1,0，－2)B．(1,0,2)C．(－1,0,2)D．(2,0，－1)5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则()A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面6．[多选题]下列命题中正确的是()A．直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝(2,1，－eq\f(1,2))，则l与m垂直B．直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥αC．平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥βD．平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝17．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)，若α⊥β，则y＋z的值是()A．－3B．6C．－6D．－128．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq\r(13)，，SB＝eq\r(29)，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)9．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，则点P的坐标为________．10.如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.[提能力]11．[多选题]已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．下列结论中正确的是()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC.eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D.eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))12．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF:FD的比为()A．1:2B．1:1C．3:1D．2:113．在直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．14．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝eq\r(21)，则n的坐标为________．15．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝b，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，C1F＝eq\f(1,3)CC1.设λ＝eq\f(b,a)，当平面AEF⊥平面A1EF时，求λ的值．[培优生]16．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱D