江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，∴，又，∴故选：A．2.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（）A.10 B. C. D.2【答案】D【解析】设与的夹角为，则，所以在上的投影向量为，所以在上的投影向量的长度为，故选:D.3.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得，,所以.故选：D.4.已知正四面体的棱长为1，点O为底面的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正四面体的棱长为1，则正四面体的高为，由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为，则，所以，所以.故选：B5.已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，因为，所以恒成立，所以在单调递增，又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，所以，所以由可得，解得，故选:D.6.在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，即，在中，作边上高，垂足为，则，故选:A.7.已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，设，，则，又，两式做差可得即，所以.故选；B8.已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，当时，，解得，当时，，则，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，则，又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则，则，所以，又，则，又，所以，当n为奇数时，，而，则，解得；当n为偶数时，，而，则；综上所述，实数的取值范围为.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（）A.B.C.70分以下的人数约为6人D.本次考试的平均分约为93.6【答案】AD【解析】对于A，，A正确；对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，所以，B错误；对于C，70分以下的人数为人，C错误；对于D，平均成绩，D正确，故选:AD.10.已知正数a，b满足，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AC【解析】对于A，，当且仅当时成立，A正确；对于B，，即，可得，所以，当且仅当时成立，B错误；对于C，，当且仅当时成立，C正确；对于D，由，当且仅当，即，等号成立，所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象B.若，则当时，的取值范围为C.若在区间上恰有3个极大值点，则D.若在区间上单调递减，则【答案】BC【解析】由题可得对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；对于B，，，则，，所以，B正确；对C，由可得，由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；对于D，，则，因为单调递减，所以，，且即，解得，，且，当时，，当时，，D错误.故选：BC.12.正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则（）A.与垂直B.与一定是异面直线C.存在点E，F，使得三棱锥的体积为D.当E，F分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为【答案】ACD【解析】如图建立空间直角坐标系，设，则，A：由题可得，所以,所以，即，故A正确；B：当E，F为中点时，，所以，B，D，F，E四点共面，此时与不是异面直线，故B错误；C：由，可得，则，由于，故C正确；D：直线与分别交于，连接分别交，于点M，N，则五边形为平面截正方体所得的截面，因为E，F分别是，的中点，所以易得，故可得，因为，所以，可得，同理可得，所以五边形的周长为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.的展开式中的系数为________.【答案】【解析】因为的展开式中的项为，所以的展开式中的系数为，故答案为：.14.在中，已知，，与交于点O.若，则________.【答案】【解析】因为，，所以，，又，所以，，又与交于点O，所以，所以，即，故答案为：.15.已知圆，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则________【答案】【解析】易知圆心，半径，取中点D，则，因为，所以，所以，则，又，所以即，故.故答案为:.16.已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________【答案】2【解析】因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以.故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前n项和.解：（1）设数列的公比为，则，，解得，所以，即的通项公式为；（2）方法一：由题可知，则，，所以，.方法二：，所以18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）若，求的值；（2）若，，求的面积.解：（1）若，则，因为，，所以，所以，解得或，因为，所以；（2）若，由，可得，整理可得，即，因为，所以，，所以，所以是以C为顶角的等腰三角形，，所以的面积为.19.在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.（1）证明：因为侧面为菱形，，，所以为边长为的等边三角形，作交于点，则点为的中点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，，平面，所以平面；（2）解：由（1）知，平面，，取做的中点，连接，则，所以平面，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.20.某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.（1）若，，试估算该小区化验的总次数；（2）若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求每位居民化验费用的数学期望.（注：当时，）解：（1）设每位居民需化验的次数为X，若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，所以，，，所以2000名居民总化验次数约次；（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，所以，，所以，每位居民的化验费用的数学期望为：.21.已知直线与抛物线交于两点，，与抛物线交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.（1）若直线过点，且，求直线的方程；（2）①证明：；②设，的面积分别为，，（O为坐标原点），若，求.解：（1）设，，，，其中，，设，联立，整理得，则，，，解得，则.（2）设，①联立，整理得，则，，联立，整理得，则，，则，即证.②，则，，其中，，解得，则，，，则.22.已知定义在上的两个函数，.（1）求函数的最小值；（2）设直线与曲线，分别交