专题42角【十大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题4.2角【十大题型】

【北师大版】

【逑型I角的概念及角的度星】.................................................................2

【题型2角的单位及其换算】....................................................................2

【题型3角的计数问题】........................................................................3

【题型4钟面上角的特征】......................................................................4

【题型5方向角】..............................................................................5

【题型6与角平分线相关的角的运算】............................................................7

【题型7与角n等分线相关的隹的运算】.........................................................8

【题型8在三角板中的角的运算】..............................................................11

【题型9多边形及其对角线】....................................................................13

【题型10圆及扇形面积1.......................................................................................................13

”短声*三

【知识点1角的概念】

定义一：有公共端点的两条射线组成的围形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.

【知识点2角的表•示方法】

表示方法图例记法适用范围

用三个大写字母NAOB任何情况下都适应.表示端点的字

0___A

表示或NBOA母必须写在中间.

B

用一个大写字母

AZA以这个点为顶点的角只有一个.

表示

用数字表示Z1任何情况下都适用.但必须在靠近

顶点处加上弧线表示角的范围，

用希腊字母表示Za并注上数字或希腊字母.

【题型1角的概念及角的度量】

［例I］（2022•甘肃兰州•七年级期末）下列说法中正确的是（）

A.由两条射线组成的图形叫做角

B.角的大小与角的两边长度有关

C.角的两边是两条射线

D.用放大镜看一个角，角的度数变大了

【变式（2022•山东淄博•期中）乙4cB的两边分别是（）

A.射线AC、BCB.射线CA,CBC.线段AC,BCD.直线C4,CB

【变式1-2］（2022•全国•七年级专题练习）如图，用量角器度量MO&可以读出财08的度数为

【变式1-3］（2022•全国•七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（）

A.“0B也可用，。来表示

B.4与N80C是同一个角

C.图中共有三个角：^AOB,Z.A0C,乙B0C

D.与N/OB是同一个角

【题型2角的单位及其换算】

【例2】（2022•山东烟台・期中）若Nl=25°15',42=25。13'30〃，々3=25.35。，则（）

A.z.3>z.1>z.2B.z.2>zl>z.3C.z.1>z.3>z.2D.z.1>Z.2>43

【变式2-1］（2022•全国•七年级单元测试）下面等式成立的是：）

A.83.5°=R3°50/R.90°-E7°2"27"=?2匕7'33

C.15°48'36〃+37'27'59“=52°16’35'D.41.25°=41°15

【变式2・2】（2022•江苏・江阴市敌山湾实验学校七年级阶段练习）计算:

(1)45°10,-21035/20//；

(2)48。39'+67。31‘-21017,；

(3)42°16'+18°23'x2.

【变式2-3]（2022•天津南开•七生级期末）如图1是一个:的圆（团AOB=90。），芳芳第一次在图1中画了一

4

条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次由加了四条线，将图1等分

成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n（n>l）次可将图1等分成

份，当"5时，图1中的每份的角度是（用度，分，秒表示）

【例3】（2022•福建龙岩•七年级期末）在锐角0AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条

不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角.照此规律，画19条不同的

射线，可以画出锐角的个数为（）

【变式3-1]（2022•山东•泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，41。8=90。，则图中锐角有（）

【题型5方向角】

【例5】（2022・山东烟台・期末）如图，某海域中有A,B两个小岛，其中4在A的北偏东40。方向，那么小

岛A相对于小岛8的方向是（）

A.南偏东40。B.北偏东50。C.南偏西40°D.北偏西50。

【变式5-1］（2022•全国•七年级课时练习）如图，甲从A点出发向北偏东70。方向走到点B,乙从点A出发

向南偏西15。方向走到点C,则回BAC的度数是（）

C.125°D.160°

【变式5-2］（2022•全国•八年级课时练习）如图，渔船A的方向可以由距小岛20km和在小岛的西南方向

这两个数据来确定.问：

⑴渔船B相对小岛的位置应怎样表述？

（2）小岛的北偏东30。方向，距禽小岛30km处是哪艘渔船？

【变式5-3］（2022•重庆黎江•七年级期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分

为“蓝军"、”红军〃两方.蓝军的指挥所在A地，红军的指挥所地8地，A地在8地的正西边（如图）.部队

司令部在C地.。在A的北偏东60。方向上、在3的北偏东30。方向上.

⑴的c=。；

(2)演习前，司令部要蓝军、红军派人到。地汇报各自的准备情况.红军一辆吉普车从B地出发、蓝军一部越

野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地.已知吉普车行驶了18分钟.4到C的距离是

B到C的距离的1.7倍.越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米.求越野车、吉普车的速度及8地到C

地的距离(速度单位用：千米/时).

【知识点5角的比较与运算】

角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，

方法1;度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.

方法2:叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.

如比较NAOB和NA94T的大小：如下图，由困(1)可得NAOBVNA91T;由图(2)可得NAOB=N

A%rB，；由图(3)可得NAOB>NA9，iy.

【知识点6角的和、差关系】

如田所示，NAOB是N1与N2的和，记作：NAOB=N1+N2;N1是NAOB与N2的差，记作：Nl=

ZAOB-Z2.

【知识点7角平分线】

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，0C是NAOB

的角平分线，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

【题型6与角平分线相关的角的运算】

【例6】（2022•江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，匕808=90。，4BOC=a（0）VaV180。）,

00,0E分别是乙力03,乙B0C的平分线.

图1备用图

⑴如图1,当OC在。8左侧,且a=80°时,乙DOE的度数是._________*.

⑵当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究£。。£的大小与a的数量关系：

⑶当乙。。Z?的度数为36。时，请直接写出。的度数.

【变式6-1］（2022•山东烟台・期末）有公共顶点的两个角,N40B=NC0D,且0E为/BOC的角平分线.

/

图1图2

（1）如图1,请探索Z40E和ND0E的大小关系,并说明理由;

（2）如图2,和NDOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由;

(3)若=90°,Z-AOC=64°,求出48。£的度数.

【变式6-2］（2022・山东济南•七年级期末）如图1,已知财08=60。，OM平分0AO/L

BOB

图2备用图

⑴勖0M=；

⑵若在图1中画射线OC,使得团80c=20。，ON平分回8OC,求助/ON的大小；

（3）如图2,若线段OA与08分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针,0408=60°,在时针与分针转动过

程中，OM始终平分姐08,则经过多少分钟后，回80M的度数第一次等于50。.

【变式6-3］（2022•内蒙古・察哈尔右翼前旗教学研究室七年级期末）已知NAOB内部有三条射线，其中，0E

平分/BOC,。9平分N/OC.

（1）如图1,若乙40B=90。，Z-AOC=30°,求乙EOF的度数；

（2）如图2,若乙4。8=a,求4EOF的度数（用含a的式子表示）；

（3）若将题中的"平分"条件改为"3"。8=ZCOB,3"。r=2"。力〃，且2力。8=a,用含a的式子表示

△EOF的度数为.

【题型7与角n等分线相关的角的运算】

【例7】（2022•贵州毕节•七年级阶段练习）如图，点4、。、8三点在一直线上，从点C引射线CQ、CE、

CF，^DCE-^ECA.团FCE一争ECB.

⑴求团。C尸的大小，并说明理由；

（2）当（3OCE=粕EC4,用时，直接写出团。C尸的大小（用含〃的代数式表示）.

【变式7・1】（2022•湖南长沙•七年级期末）如图，在财式B的内部有3条射线。C、OD、OE,若财OC=70。,

皿"如鲂。"神。从则血心--------。.（用含〃的代数式表示）

A

O

D

B

【变式7-2]（2022•全国•七年级西元测试）已知2OB和〃。。是直角.

（1）如图，当射线。8在乙C。。内部时，请探究41。。和之间的关系;

（2）如图2,当射线04射线OB都在aOD外部时，过点0作射线由射线。巴满足乙B0E=1乙BOC,乙DOF=

;乙AO。，求乙EOF的度数.

（3）如图3,在（2）的条件下，在平面内是否存在射线0G,使得乙G0B乙GOE=2:3,若不存在，请说明

理由，若存在，求出4G。尸的度数.

A

D

【变式7-3]（2022•江苏淮安•七年级期末）

图3备用图

【阅读理解】

射线OC是刻03内部的•条射线,若刻OC=扣5OC,则称射线0C是射线OA在财03内的•条"友好线〃.如

图1,若0408=75。，财0。=25。，则财。C=粕BOC,所以射线OC是射线0A在财08内的一•条“友好线".

【解决问题】

（1）在图1中，若作加OC'的平分线OD,则射线OD（填“是"或"不是"）射线。笈在内的一条“友

好线"；

⑵如图2,（MO4的度数为小射线OM是射线03在财04内的一条"友好线"，ON平分财08,则E1MON的

度数为（用含”的代数式表示）；

⑶如图3,射线08先从与射线0A重合的位置出发，绕点。以每秒V的速度逆时针旋转：10秒后射线OC

也从与射线04重合的位置出发，绕点。以每秒5。的速度逆时针旋转，当射线0C与射线0A的延长线重合

时，运动停止.问：当射线。。运动时间为多少秒时，射线OA,OB,0C中恰好有一条射线是余下两条射

线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？

【题型8在三角板中的角的运算】

【例8】（2022•陕西・西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）将一副三角板如图1搜放.乙4。8=60。/。。。=

45°,OM平分，A。。，ON平分“08.

（1）乙M0N=；

（2）将图1中的三角板。CD绕点。旋转到图2的位置，求ZM0N；

⑶将图1中的三角板OCD绕点。旋转到图3的位置，求ZM0N.

【变式8-1］（2022•山东枣庄•七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究.

⑴如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是财C8的平分线，请你猜想此时C8

是不是的平分线，并简述理由;

（2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若始终在团。。石的内部，请猜想刚CE与田。

是否相等，并简述理由.

【变式8-2］（2022•福建福州•七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板ABC、按

如图1放置,点A、C、。在同一直线上，（4E4D=30。、乙847=45。），并将三角板力3c绕点A顺时针

旋转•定角度，且始终保持0。VZC4D工30。.

BB

图4

⑴在旋转过程中，如图2,当点4、C、E在同一直线上时，则；

⑵在旋转过程中，如图3,当/B4E=30。时.请说明力。平分

⑶在旋转过程中，如图4.当=4NC/D时，求此时/C4E的度数.

【变式8-3］（2022・安徽•宿城第一初级中学七年级期中）以直线48上一点。为端点作射线0C,使ZBOC=30°,

将一个直角三角板的直角顶点放在。处，即=90。.

⑴如图1,若直角三角板DOE的一边。£放在射线。力上，则4。。。=

⑵如图2,将直角三角板。0E绕点。顺时针转动到某个位置，

①若0E恰好平分乙AOC,则4COD=；

②若。。在乙80C内部，请直接写与"0E的数量关系为：

（3）将直角三角板OOE绕点。顺时针转动（。0与08重合时为停止）的过程中，恰好有2。。。=於力。E,求此

时乙80。的度