2.1 二元一次方程-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

.1二元一次方程一、二元一次方程的概念含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。它必须同时满足三个条件：一是整式方程，即等号的两边必须都是整式；二是含有两个未知数；三是含有未知数的项的次数是一次。二、二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值。同时，一个二元一次方程有无数个解，这是因为我们可以为其中一个未知数选择任意值，然后求出另一个未知数的对应值。三、二元一次方程的变形把一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的一元一次方程。例如，对于方程ax+by=c（a≠0，b≠0），我们可以将其变形为y=c-ax/b（当b≠0时）或x=(c-by)/a（当a≠0时）的形式。巩固课内例1:用x的代数式表示y1．将方程改写成用含x的代数式表示y的形式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了二元一次方程，先移项，再两边都除以，可得用含x的代数式表示y的形式即可．【详解】，移项，得，两边都除以，得．故选：D．2．将方程写成用含x的代数式表示y，则．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程：把方程看作是关于y的一元一次方程，然后解关于y的方程即可．熟知二元一次方程的变形法则是关键．【详解】解：移项得：，故答案为：．3．把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式：（1）；

（2）；

（3）.【答案】1）；（2）；（3）.【分析】利用去括号、移项、系数化为1的步骤进行方程的变形．移项的时候，即把含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边．【详解】解：（1）移项，得5y=21-3x，系数化为1，得y=；（2）移项、合并同类项，得4y=1-3x，系数化为1，得y=；（3）去括号，得2x+2y=3x-3y-1，移项、合并同类项，得5y=x-1，系数化为1，得y=．【点睛】本题重点在于对表达式的变形，在变形的过程中对方程式两边做同样的运算．巩固课内例2:写出二元一次方程的解1．已知是方程的一个解，那么常数a的值是（

）A．5 B． C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：C．2．写出二元一次方程的一组整数解：．（写出一组即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查二元一次方程的解，令取一固定值，求出对应的y值即可．【详解】解：对于，当时，，是二元一次方程的一组整数解，故答案为：（答案不唯一）．3．（1）根据表中所给的x的值以及x与y的对应关系，填写下表：x1234567（2）根据上表，写出二元一次方程的三个解．【答案】（1）见解析；（2），，（答案不唯一）【分析】本题侧重考查二元一次方程的解．（1）分别将，2，…，7代入即可求出y的值；（2）运用表格中的数据找出方程的解．【详解】解：（1）填写表格如下：x1234567258111417（2）由表格知，二元一次方程的三个解为：，，（答案不唯一）．类型一、二元一次方程的定义1．下列选项是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐项判断即可．【详解】解：A.不是方程，故该选项不正确，不符合题意；

B.是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；

C.不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；

D.，未知数的项的最高次数是2，故不是二元一次方程，不符合题意．故选：B．2．若关于的方程是二元一次方程，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得，进一步即可求出结果．【详解】解：根据题意，得，，解得：，故答案为：3．已知关于，的二元一次方程．(1)求，的值；(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）．数对判断数对是否是方程的解【答案】(1)，(2)是；不是；是；不是【分析】（1）根据二元一次方程的定义得到，，解得，的值即可；（2）把数对代入方程验证左边是否等于右边即可．【详解】（1）解：∵是关于，的二元一次方程，∴，，解得，．（2）由（1）可知，关于，的二元一次方程，当时，，是方程的解，当时，，不是方程的解，当时，，是方程的解，当时，，不是方程的解，故答案为：是；不是；是；不是【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．类型二、二元一次方程的解1．下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二元一次方程组的解，了解方程组的解的意义是解题关键．将代入各选项求解．【详解】解：把代入，A选项符合题意．不能和组成二元一次方程组，B选项不符合题意．把代入，，C选项不符合题意．把代入得，D选项不符合题意．故选：A．2．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是．【答案】【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可．【详解】解：把代入，得：，解得：；故答案为：．3．已知方程：①，②．(1)根据方程①填写下表：x21____________y____________2(2)根据方程②填写下表：x3____________y____________2(3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解决本题的关键是要理解二元一次方程解的定义．（1）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值；（2）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值；（3）根据（1）（2）表格中的值找出满足方程①又满足方程②的公共解．【详解】（1）解：填表如下：x210y1062（2）解：填表如下：x32y42（3）解：根据表格可得方程组的解是．类型一、根据题意列方程1．太原市某茶叶店经销两种茶，第一次购进了种茶30盒，种茶20盒，共花费6000元，设购进种茶的价格为元/盒，种茶的价格为元/盒，根据题意可列出的方程为，下列的值可以是该方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把各个选项的的值代入方程进行验算即可得到答案．【详解】解：A.当时，，故不是方程的解，不符合题意；B.当时，，故是方程的解，符合题意；C.当时，，故不是方程的解，不符合题意；D.当时，，故不是方程的解，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解满足这个方程是解题的关键．2．把一根长为的电线剪成和长的两种规格的电线（每种规格的电线至少有一条）．设截成长的电线根，长的电线根，根据题意可列方程为，若剪出根长的电线后，剩余部分刚好剪成长的电线根．【答案】【分析】把y=7代入方程，得出x的值即可【详解】解：把y=7代入方程得：解得：则剩余部分刚好剪成长的电线6根；故答案为：6【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，根据y的值得出x是解本题的关键，注意x，y只能取正整数3．根据题意列二元一次方程组：(1)两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？(2)某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？(3)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？(4)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；（1）等量关系式：节火车皮所装货物辆汽车所装货物吨，节火车皮所装货物辆汽车所装货物吨，据此列出方程组，即可求解；（2）等量关系式：所有人数分组为每组7人的人数人，所有人数分组为每组人的人数人，据此列出方程组，即可求解；（3）等量关系式：买0.8元的邮票枚数买2元的邮票枚数枚，买0.8元的邮票费用买2元的邮票的费用元，据此列出方程组，即可求解；（4）等量关系式：鸡的总数每个笼中放4只的数量只，鸡的总数每个笼中放只的数量，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．【详解】（1）解：每节火车皮平均装货物吨，每辆汽车平均装货物吨，由题意得；（2）解：设这个课外小组共有人，分成组，由题意得；（3）解：设0.8元邮票买了枚，买2元的邮票买了枚，由题意得；（4）解：设有只鸡，个笼，由题意得．类型二、用x代数式表示y或用y表示x1．由可以得到用含x的式子表示y，下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查解二元一次方程，把x看作已知数表示出y即可，解题的关键是将一个未知数看作已知数，求出另一个未知数．【详解】解：∴，∴，∴，故选：B．2．将方程变形为用含有的式子表示，则．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解，将看作已知数求出即可．【详解】解：∴∴，故答案为：．3．已知是方程的解，(1)求的值．(2)请将方程变形为用的代数式表示．【答案】(1)8(2)【分析】（1）将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；（2）将代入原方程，整理后，即可用还含的代数式表示．【详解】（1）解：将代入原方程得：，解得：，的值为8；（2）解：当时，原方程为，．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．类型三、已知二元一次方程的解求参1．若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．把代入方程进行求解即可．【详解】解：把方程的解代入，得：，解得：；故选：A．2．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入即可求出的值．【详解】解：把代入，得，∴．故答案为：．3．已知是方程的解，求k的值．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入方程，即可求解；理解二元一次方程的解是解题的关键．【详解】解：由题意得，解得：．类型一、二元一次方程的整数解1．方程的整数解的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是0与l，于是一个等式可裂变为两个等式．【详解】解：由题意得，x、y都是整数，故可得、都为整数，从而可得：解得：；解得：；解得：；解得：；综上可得解得整数解为，故有2组．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能唯一确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．2．请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，根据题意，写出满足题意的，的系数，再把代入，验证的值，即可．【详解】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，∴满足题意，∵，是这个二元一次方程的解，∴当时，，解得：，∴符合题意．故答案为：（答案不唯一）．3．求方程的正整数解．【答案】或或【分析】本题考查了求二元一次方程的特殊解，正确变形是解答本题的关键．对于求关于x，y的方程的正整数解，方程可化为，结合x，y是整数求解即可．【详解】解：由原方程，得．因为x，y为正整数，所以原方程的正整数解是或或．类型二、二元一次方程的规律1．对5个正整数，，，，，作规律探索，①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③以下几个结论正确的是：①取，5个正整数可以为：4，6，8，7，9②F能表示为（m、n为正整数）③若，则一共有8种组合以上结论正确的个数有（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】本题考查列代数式、解一元一次方程、解二元一次方程．根据每个结论，分别利用题中的3个条件，表示出，，，，5个数，通过各自的特点与要求进行求解．【详解】解：①取，5个正整数可以为：4，6，8，7，9，①说法正确；②设，则，，设，则，∴，∴F不能表示为（m、n为正整数），②说法错误；③当时，，则，此方程无正整数解；当时，，则，此方程无正整数解；当时，，则，此方程无正整数解；当时，，则，此方程有正整数解；∴，则一共有0种组合，③说法错误；故选：A2．观察下列方程组：①；②；③；…若第④方程组满足上述方程组的数字规律，则第④方程组为．【答案】【分析】根据①②③方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到答案．本题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握猜想归纳思想是解题的关键．【详解】解：观察第二个方程：①，②，③，得规律：的系数为方程组的序号加上1，的系数等于序号，常数项等于序号，∴第④个方程组的第二个方程为：，观察第一个方程：的系数为1，的系数等于方程组序号的相反数，常数项等于序号乘序号加1的积，即第④个方程组的第一个方程为：，故答案为：．3．研究下列方程组的解的个数：(1)；(2)；(3).你发现了什么规律?【答案】(1)无解；(2)一组解；(3)无数解．【分析】根据二元一次方程组解的情况的判定方法逐一进行判断即可【详解】解：（1）由②-①，得：0=1，显然不可能，故（1）中的方程组无解；（2）由②-①，得：y=,把y=代入①，得x=故原方程组只有一组解；（3）①2-①，得0=0，即无论x与y取何值，结果是一样的，故原方程组有无数个解.故答案为(1)无解；(2)一组解；(3)无数解．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，用到的知识点是二元一次方程组的解的定义，关键是根据方程组的特点判断出方程组解的情况．类型三、二元一次方程的新定义1．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如，．二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为，其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面的说法错误的是（

）．A． B．C．方程组的解为 D．【答案】D【分析】分别根据行列式的定义计算可得结论．【详解】A、3×3-（-1）×1=10，计算正确，不符合题意；B、Dx=1×3-（-1）×7=10，计算正确，不符合题意；C、方程组的解：x==2，计算正确，不符合题意．D、Dy=3×7-1×1=20，计算错误，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查二元一次方程组的解，理解题意，直接运用公式计算是解题的关键．2．若x和y表示两个自然数，规定新运算“*”及“△”如下：，，其中m、n、k均为自然数．已知，，则的值为．【答案】【分析】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出新定义的运算法则求出参数的值.根据新定义运算，得出的式子为，，再根据均为自然数可推出，即可求出的值，再代入即可求解.【详解】解：由得到，即由，则

即①代入①则

又因为均为自然数,要使k为自然数,则要为16的因数,即为，则n可能为要使为自然数,

则n只可能为2，所以

∵，把代入得，故答案为：3．对于任意一个四位数，我们记为，即．若规定：对任意整数进行运算，得到整数．例如：．(1)计算；(2)求出所有满足的四位数．【答案】(1)126(2)或或或【分析】本题考查了新定义下的实数运算及方程的解，理解题意是解题的关键．（1）根据题意，代入求值即可；（2）根据建立方程，再根据为非负整数，即可解答．【详解】（1）解：根据题意，得；（2）解：，，即，为非负整数，或或或，满足的四位数有：或或或．1．下列方程中属于二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义即可判断．【详解】解：A、，不是整式方程，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意；B、，含未知数项的最高次数为二次，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意；C、，属于二元一次方程，故此选项符合题意；D、，含有3个未知数，不属于二元一次方程，故此选项不符合题意．故选：C．2．已知，是二元一次方程的解，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入方程，进行求解即可．【详解】解：把代入，得：，解得：；故选B．3．方程的正整数的组数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了非一次不定方程，解二元一次方程组，解答本题的关键是将方程整理为整式方程；利用已知条件将方程之变形，整理为，分析两数相乘所有的可能，找出符合题意的解的个数；【详解】解：去分母得：，，又与是正整数，两整数之积为，存在三种情况；①，解得：，不合题意舍去；②，解得：，不合题意舍去；③，解得：，不合题意舍去；故符合题意的方程的解为组；故选：A4．已知方程：为二元一次方程，则的值为．【答案】3【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可．【详解】解：因为方程为二元一次方程，所以，解得．故答案为：35．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查二元一次方程的定义及二元一次方程组解的定义．写出一个符合题意的方程即可．【详解】解：所组成的方程组的解为的二元一次方程为，故答案为：（答案不唯一）．6．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有种不同的截法．【答案】四【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，结合题意列出关于的二元一次方程是解题关键．设截得的的彩绳有根，的彩绳有根，根据题意列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数确定该方程的解，即可获得答案．【详解】解：设截得的的彩绳有根，的彩绳有根，根据题意，可得，因为均为非负整数，所以或或或，即有四种不同的截法．故答案为：四．7．已知是二元一次方程的一个解．(1)则_________(2)试直接写出二元一次方程的所有正整数解．【答案】(1)5(2)，【分析】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中，即可求得a的值；（2）将a的值代入方程2x+y=a，再用列举法求出方程的解即可．【详解】（1）将代入二元一次方程2x+y=a中可得：，a=5；故答案为：5（2）把a=5代入方程2x+y=a中可得：2x+y=5，所以可列出所有正整数解为：，．【点睛】考查二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系．8．某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为秒和秒的两种广告．若要求每种广告播放不止1次（至少2次），问两种广告的播放次数有哪几种安排方式？【答案】播放秒的广告的次数是2次，播放秒的广告的次数是3次；播放秒的广告的次数是4次，播放秒的广告的次数是2次【分析】本题考查了不定方程的实际应用，设播放秒