典型例题：线段垂直平分线（解析版）

典型例题：线段垂直平分线知识点线段的垂直平分线的性质和判定1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。PA=PB2）判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等1．（2021·河北保定市·八年级期末）内一点到三边距离相等，则点一定是（）A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点 D．三条中线的交点【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：∵点P到三边距离相等，∴点P一定在三条角平分线的交点上，故选：A．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．【答案】11．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC，∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．3．（2021·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．【答案】56【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．【详解】解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，由作法可知，AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠BAC＝34°，∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AGQ是直角三角形，∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°，故答案为：56．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．4．（2021·江西八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值．【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故选：A【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．5．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点、．以下说法正确的是______（填序号）．①；②；③；④点到点和点的距离相等．【答案】①②④【分析】根据垂直的定义、四边形内角和等于360°计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，FB=FA，进而得到∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．【详解】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA=∠PNA=90°，∠BAC=120°∴∠P=360°-90°-90°-120°=60°，①说法正确；∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°-120°=60°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC=EA，FB=FA，∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，∴∠EAF=∠BAC-∠EAC-∠FAB=∠BAC-（∠B+∠C）=120°-60°=60°，∴∠EAF=∠B+∠C，②说法正确；△ABC不一定是等腰三角形，∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；连接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC=PA，PB=PA，∴PB=PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6．（2021·内蒙古中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,在△ACD和△AED中∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS）∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；选项B，只有AE=EB时，才符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．7．（2021·辽宁九年级二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（）A．B．C．D．AD平分【答案】B【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明．【详解】解：A、由旋转的性质可知：，故A正确，不符合题意；B、由绕旋转任意角度得