2013四川数学高考试题及答案

2013四川数学高考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(f(x)=2\sin(ωx+φ)\)的部分图象如图，则\(ω\)，\(φ\)的值分别是（）A.\(2\)，\(-\frac{π}{3}\)B.\(2\)，\(-\frac{π}{6}\)C.\(4\)，\(-\frac{π}{6}\)D.\(4\)，\(\frac{π}{3}\)2.设\(x\inZ\)，集合\(A\)是奇数集，集合\(B\)是偶数集。若命题\(p\)：\(\forallx\inA\)，\(2x\inB\)，则（）A.\(\negp\)：\(\forallx\inA\)，\(2x\notinB\)B.\(\negp\)：\(\forallx\notinA\)，\(2x\notinB\)C.\(\negp\)：\(\existsx\notinA\)，\(2x\inB\)D.\(\negp\)：\(\existsx\inA\)，\(2x\notinB\)3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）4.设\(i\)是虚数单位，则复数\(i^{3}-\frac{2}{i}\)=（）A.\(-i\)B.\(-3i\)C.\(i\)D.\(3i\)5.从\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(9\)这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为\(a\)，\(b\)，共可得到\(\lga-\lgb\)的不同值的个数是（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(18\)D.\(20\)6.抛物线\(y^2=4x\)的焦点到双曲线\(x^2-\frac{y^2}{3}=1\)的渐近线的距离是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(1\)D.\(\sqrt{3}\)7.函数\(f(x)=2\sin(ωx+φ)(ω\gt0,|φ|\lt\frac{π}{2})\)的部分图象如图所示，则\(f(0)\)的值为（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-1\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(1\)8.某学校随机抽取\(20\)个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。以组距为\(5\)将数据分组成\([0,5)\)，\([5,10)\)，\(\cdots\)，\([30,35)\)，\([35,40]\)时，所作的频率分布直方图是（）9.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的\(4\)秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以\(4\)秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过\(2\)秒的概率是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{7}{8}\)10.设函数\(f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}-k(\frac{2}{x}+\lnx)\)（\(k\)为常数，\(e=2.71828\cdots\)是自然对数的底数）。若函数\(f(x)\)在\((0,2)\)内存在两个极值点，则\(k\)的取值范围是（）A.\((-\infty,\frac{e}{2})\)B.\((\frac{e}{2},+\infty)\)C.\((\frac{e}{2},\frac{e^{2}}{4})\)D.\((\frac{e^{2}}{4},+\infty)\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.\(y=x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\lnx\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(m,1)\)，若向量\(\vec{a}+\vec{b}\)与\(\vec{a}\)垂直，则\(m\)的值可以是（）A.\(-7\)B.\(-8\)C.\(-9\)D.\(-10\)3.下列命题中，真命题是（）A.\(\existsx_0\inR\)，\(e^{x_0}\leq0\)B.\(\forallx\inR\)，\(2^{x}\gtx^{2}\)C.\(a+b=0\)的充要条件是\(\frac{a}{b}=-1\)D.\(a\gt1\)，\(b\gt1\)是\(ab\gt1\)的充分条件4.已知等差数列\(\{a_n\}\)的公差\(d\neq0\)，且\(a_1\)，\(a_3\)，\(a_9\)成等比数列，则\(\frac{a_1+a_3+a_9}{a_2+a_4+a_{10}}\)的值可能为（）A.\(\frac{13}{16}\)B.\(\frac{15}{16}\)C.\(\frac{11}{16}\)D.\(\frac{17}{16}\)5.已知函数\(f(x)=A\sin(ωx+φ)(A\gt0,ω\gt0,|φ|\lt\frac{π}{2})\)的图象如图所示，则（）A.\(A=2\)B.\(ω=\frac{π}{3}\)C.\(φ=\frac{π}{6}\)D.\(f(x)\)的单调递增区间为\([2kπ-\frac{π}{3},2kπ+\frac{2π}{3}],k\inZ\)6.设\(m\)，\(n\)是两条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，则\(m\paralleln\)B.若\(m\parallel\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，则\(\alpha\parallel\beta\)C.若\(m\paralleln\)，\(m\perp\alpha\)，则\(n\perp\alpha\)D.若\(m\parallel\alpha\)，\(\alpha\perp\beta\)，则\(m\perp\beta\)7.已知圆\(C\)：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（\(r\gt0\)）的圆心为抛物线\(y^2=4x\)的焦点，直线\(3x+4y+2=0\)与圆\(C\)相切，则该圆的方程为（）A.\((x-1)^2+y^2=1\)B.\((x+1)^2+y^2=1\)C.\(x^2+(y-1)^2=1\)D.\(x^2+(y+1)^2=1\)8.设\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，则\(z=2x-y\)的取值范围可能是（）A.\([-1,2]\)B.\([0,2]\)C.\([1,3]\)D.\([-1,3]\)9.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递减，则满足\(f(x+1)\ltf(3)\)的\(x\)的取值范围是（）A.\((-4,2)\)B.\((-2,4)\)C.\((-\infty,-4)\cup(2,+\infty)\)D.\((-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\)10.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分别为\(\triangleABC\)三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边，且\((a+b)(\sinA-\sinB)=(c-b)\sinC\)，则下列结论正确的是（）A.\(A=\frac{π}{3}\)B.\(b^2+c^2-a^2=bc\)C.若\(a=2\)，则\(\triangleABC\)面积的最大值为\(\sqrt{3}\)D.若\(b+c=2a\)，则\(\triangleABC\)为等边三角形三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)。（）2.函数\(y=\sin^2x\)的最小正周期是\(π\)。（）3.向量\(\vec{a}=(1,2)\)与\(\vec{b}=(2,4)\)共线。（）4.直线\(y=x+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切。（）5.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，则\(xy\)的最大值是\(\frac{1}{4}\)。（）6.函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在定义域内是减函数。（）7.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，则\(\alpha=\frac{π}{6}\)。（）8.一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真。（）9.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(c^2=a^2-b^2\)。（）10.若\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)）是复数，则当\(b=0\)时，\(z\)是实数。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_8=64\)，求\(a_n\)的通项公式。答：设等差数列\(\{a_n\}\)公差为\(d\)，由\(a_3=5\)得\(a_1+2d=5\)；\(S_8=8a_1+\frac{8×7}{2}d=64\)，即\(a_1+\frac{7}{2}d=8\)。联立解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，所以\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求\(f(x)\)的单调区间。答：对\(f(x)\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此时\(f(x)\)单调递增；令\(f^\prime(x)\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此时\(f(x)\)单调递减。所以增区间为\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，减区间为\((0,2)\)。3.已知向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(2,-3)\)，若\(k\vec{a}-\vec{b}\)与\(\vec{a}\)垂直，求\(k\)的值。答：\(k\vec{a}-\vec{b}=k(1,1)-(2,-3)=(k-2,k+3)\)。因为\(k\vec{a}-\vec{b}\)与\(\vec{a}\)垂直，则\((k\vec{a}-\vec{b})\cdot\vec{a}=0\)，即\((k-2)\times1+(k+3)\times1=0\)，\(k-2+k+3=0\)，\(2k+1=0\)，解得\(k=-\frac{1}{2}\)。4.已知圆\(C\)的圆心在直线\(y=x\)上，且与\(x\)轴相切于点\((1,0)\)，求圆\(C\)的方程。答：因为圆\(C\)与\(x\)轴相切于\((1,0)\)且圆心在\(y=x\)上，所以圆心为\((1,1)\)，半径\(r=1\)。则圆\(C\)的方程为\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.在解析几何中，直线与圆的位置关系有哪些判断方法？请讨论并举例说明。答：判断方法有几何法和代数法。几何法通过圆心到直线距离\(d\)与半径\(r\)比较，\(d\gtr\)相离，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交。例如直线\(x+y-1=0\)与圆\(x^2+y^2=1\)，圆心\((0,0)\)到直线距离\(d=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\lt1\)，所以相交。代数法联立直线与圆方程消元得一元二次方程，根据判别式\(\Delta\)判断，\(\Delta\gt0\