代数结构的基础知识点

代数结构的基础知识点

一、集合与运算集合是代数结构的基础概念。它是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。例如，整数集Z就是由所有整数组成的集合。在集合上定义运算，常见的运算有加、减、乘、除等。对于代数结构而言，运算需要满足一定的性质。比如封闭性，若在集合S上定义运算“”，对于任意的a,b∈S，ab的结果仍然属于S，则称该运算在S上具有封闭性。例如，在自然数集N上，加法运算具有封闭性，因为任意两个自然数相加结果还是自然数。二、群（Group）1.定义-群是一种代数结构，它由一个集合G和一个二元运算“·”组成。这个运算要满足以下四个性质：-封闭性：对于任意的a,b∈G，a·b∈G。-结合律：对于任意的a,b,c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)。-存在单位元e：对于任意的a∈G，e·a=a·e=a。例如，在整数加法群（Z，+）中，0就是单位元，因为对于任意整数a，0+a=a+0=a。-存在逆元：对于任意的a∈G，存在b∈G，使得a·b=b·a=e，b称为a的逆元。在（Z，+）中，整数a的逆元是-a。2.群的分类-有限群：如果群G中的元素个数是有限的，则称为有限群。例如，模n剩余类加群Zn就是有限群，它有n个元素。-无限群：若群G中的元素个数是无限的，则为无限群，如整数加法群（Z，+）。三、环（Ring）1.定义-环是一种代数结构，它由一个集合R和两个二元运算“+”和“×”组成。-（R，+）构成一个交换群，即满足加法的封闭性、结合律、有单位元（称为零元）、每个元素有加法逆元，并且加法满足交换律。-（R，×）满足封闭性、结合律。-乘法对加法满足分配律，即对于任意的a,b,c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c和(b+c)×a=b×a+c×a。2.环的例子-整数集Z关于普通的加法和乘法构成一个环（Z，+，×）。其中（Z，+）是交换群，（Z，×）满足封闭性和结合律，并且乘法对加法有分配律。四、域（Field）1.定义-域是一种特殊的环。它是一个集合F和两个二元运算“+”和“×”组成的代数结构。-（F，+）是交换群。-（F-{0}，×）也是交换群，这里的0是加法群（F，+）中的单位元。-乘法对加法满足分配律。2.域的例子-有理数集Q、实数集R和复数集C关于普通的加法和乘法都构成域。例如在有理数集Q中，对于任意非零有理数a，它在乘法下的逆元1/a也是有理数，（Q-{0}，×）是交换群，（Q，+）是交换群且乘法对加法满足分配律。五、子结构1.子群-设（G，·）是一个群，H是G的非空子集。如果H关于G中的运算“·”也构成一个群，则称H是G的子群。例如，在整数加法群（Z，+）中，偶数集2Z是Z的子群，因为偶数相加还是偶数，满足群的四个性质。2.子环-设（R，+，×）是一个环，S是R的非空子集。如果S关于R中的加法和乘法运算也构成一个环，则称S是R的子环。3.子域-设（F，+，×）是一个域，K是F的非空子集。如果K关于F中的加法和乘法运算也构成一个域，则称K是F的子域。六、同态与同构1.同态-设（G，·）和（H，）是两个群，f是从G到H的映射。如果对于任意的a,b∈G，f(a·b)=f(a)f(b)，则称f是从G到H的群同态。同态反映了两个代数结构之间的一种保持运算关系的映射。2.同构-如果群同态f是双射（既是单射又是满射），则称f是从