浙江省2023-2024学年高二下学期6月学业水平第二次适应性联考数学试题（含答案）

第第页浙江省2023-2024学年高二下学期6月学业水平第二次适应性联考数学试题一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1．已知集合A={x∣−2≤x<5}，B=−3,0,3，则A∩B=A．0 B．−2,0 C．0,3 D．−2,0,32．复数z=1−2024i（iA．1 B．−2024 C．2024 D．−20243．函数fxA．0,1 B．−1,0 C．−1,1 D．−1,04．样本数据1，3，5，6，7，10的中位数为（）A．5 B．5.5 C．6 D．5或65．下列函数在定义域上为减函数的是（）A．fx=2x−1 B．fx=1x6．已知tanα=3，则cosA．−12 B．12 C．7．已知fx=lnx，若a=f1A．c<a<b B．b<a<c C．a<b<c D．b<c<a8．在一次数学考试中，超过85分（含85分）为优秀，现有5位学生成绩如下：79，83，87，90，95.从这5位学生中随机抽取2位，则抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率（）A．110 B．15 C．3109．已知实数a∈R，fx=A．2 B．1 C．−1 D．−210．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：C=In⋅t，其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I=30A时，放电时间t=15h；当放电电流I=40A时，放电时间t=8h.若计算时取lgA．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.5511．我们知道，函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称的充要条件是函数y=fx+aA．x0=0 B．x0=1212．已知关于x的不等式12sinx−2ax2A．116,14 B．18,二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．已知向量a=2,1，A．若a∥b，则x=4 B．若aC．若b=5，则x=1 D．若a14．已知m，n，l是三条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若m⊥α，l//β，l∥mD．若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，则l⊥γ15．已知函数fxA．函数的值域为−1,1B．函数y=fxC．当ω=1时，方程fxD．fx在区间−π16．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AAA．直线A1P与直线CB．存在点P，使得A1B⊥C．若P为棱AB的中点，则平面A1CD．若Q为棱BC上的动点，则三棱锥P−A1三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，sinA=14，则18．若x,y>0，且x+2y=1，则log12x+log12y19．若函数fx=cosx+a，存在x1,x20．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N分别为线段B1C，四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．已知平面向量a=2sinx,3（1）求fπ（2）求函数fx（3）求函数y=fx在0,π222．如图，已知四棱锥P−ABCD，底面是边长为4的正方形，M，N分别为棱AP，BC的中点，PA=PB，CP=DP=3，∠ACP=π（1）求证：MN//平面CDP；（2）求二面角D−BC−P的平面角余弦值.23．已知函数fx=2x（1）若fx=f2−x，且f2=3（2）当a=1时，若函数fx的值域和函数ffx（3）当2<b<8时，记Ma,b为gx在[1,2]上的最大值，求

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为A={x∣−2≤x<5}，B=−3,0,3，所以A∩B=故答案为：C【分析】根据交集定义运算即可求解.2．【答案】B【解析】【解答】由复数的概念得z=1−2024i的虚部是−2024故答案为：B【分析】根据复数的概念及虚部的定义即可求解.3．【答案】D【解析】【解答】要使函数fx=1−x2+1sinx有意义所以函数fx=1−故答案为：D.【分析】根据定义域的定义，要使函数有意义，需开偶次方被开方数大于等于0，分母不能为零，结合一元二次不等式以及三角不等式，解不等式组即可求解.4．【答案】B【解析】【解答】把样本数据1，3，5，6，7，10从小到大排列为1，3，5，6，7，10，可得中位数为5+62故答案为：B.【分析】根据中位数定义将数据排序，求中间两数平均数即可.5．【答案】D【解析】【解答】对于A，fx=2x-1在对于B，fx=1x，对于C，fx=sin对于D，fx=1故答案为：D.【分析】根据一次函数、反比例函数、正弦函数、指数函数的单调性分别判断各个选项即可.6．【答案】A【解析】【解答】因为tanα=sinα将分式cosα−2sinαcosα−2故答案为：A【分析】利用同角三角函数之间的基本关系将弦化切cosα−27．【答案】B【解析】【解答】由fx=ln所以a=f1所以a=ln3,b=ln2,c=ln4，因为y=lnx在故答案为：B【分析】利用分段函数性质将a=f13转化为f3，根据当x≥18．【答案】C【解析】【解答】从这5位学生成绩79，83，87，90，95中随机抽取2位同学考试成绩，组成的样本空间共有10个样本点；即79,83,其中2位同学考试成绩都为优秀的样本点为87,90,所以抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率为310故答案为：C【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.9．【答案】A【解析】【解答】因为实数a∈R，fx=2x故12所以a−1=1，解得a=2，经检验，a=2满足题意.故答案为：A【分析】根据奇函数定义得f−x=−fx，代入得得到方程210．【答案】C【解析】【解答】因为在电池容量不变的条件下，当放电电流I=30A时，放电时间t=15h；当放电电流I=40A时，放电时间t=8h.代入两式相除可得30n×1540两边同时取对数可得lg34n即n=lg故答案为：C【分析】利用经验公式C=In⋅t11．【答案】B【解析】【解答】因为函数fx=2x则g(x)=f(x+=2x因为g(x)为奇函数，所以g(−x)=−g(x)，即−2=−2x所以得2x解得x0=1故答案为：B【分析】利用x0,y0为fx=2x12．【答案】C【解析】【解答】因为对于函数y=x2−2a+1x+1，当∆=所以，要使关于x的不等式12sinx−2ax2−2a+1x+1≤0因为14sinx≤所以14当∆=2a+12−4>0时，即a<−32若a<−32，可得因此只需满足y=x2−若a>12，可得因此只需满足y=x2−不妨取x=1，可得y=1−2a+1综上可知，实数a的取值范围是14故答案为：C【分析】将不等式恒成立问题转化成判断函数y=x2−13．【答案】A,B,D【解析】【解答】因为a=2,1，对于A选项，若a∥b，则有对于B选项，若a⊥b，则有2x+2=0，解得对于C选项，若b=5，则x2+4=对于D选项，a−b=2−x,−1，若a⋅a−故答案为：ABD【分析】根据两向量平行的坐标运算判断A正确；根据两向量垂直的坐标运算判断B正确；根据向量模长的坐标表示判断C错误；根据两向量的积的坐标运算判断D正确.14．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直性质得m⊥n，故A正确；对于B，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，当m,n平行时，可能l⊂α，故B错误；对于C，若m⊥α，l∥β，l∥m，则在平面β内存在一条直线l'满足l对于D，如下图所示：设α∩γ=n，β∩γ=m，在平面γ内取一点P，过点P作直线PM⊥m，过点P作直线PN⊥n，根据面面垂直的性质定理得PM⊥平面β，PN⊥平面α；又α∩β=l，即l⊂α,l⊂β，所以可得PM⊥l,PN⊥l；又PM∩PN=P，且PM,PN⊂平面γ，所以l⊥γ，则D正确.故答案为：ACD【分析】由线面垂直性质判断A正确；利用线面垂直判定定理判断B错误；根据面面垂直的判定定理可判断C正确；根据面面垂直的性质可判断D正确.15．【答案】A,D【解析】【解答】对于A选项，因为fx=sinωx(ω>0)，函数振幅为对于B选项，函数y=fx的周期为4π对于C选项，ω=1时，fx=sin可转化为求y=sinx与y=lgx的图象的交点个数，分别画出因为y=sinx为周期函数最大值为1，y=lg所以两函数图象在x>10之后不会再有交点，所以如图方程fx=lgC错误；对于D选项，因为x∈−π3,令ωx=t，则函数化为y=sint，又fx所以y=sint在t∈−π3因为y=sint在−π2,又因为ω>0，则0<ω≤3故答案为：AD【分析】根据振幅判断A选项正确；根据函数周期判断B选项错误；利用数形结合分别画出y=sinx与y=lgx的图象，根据交点个数判断C选项错误；利用换元法，将函数fx=sinωx(ω>0)，x∈−π16．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，由直三棱柱性质CC1//A所以直线A1P与直线CC1所成角即为直线所以直线A1P与直线CC又点P在棱AB上运动（含端点），∠AA1B∈故∠AA1B=对于B，如图，分别取A1B1、B1B、AB中点为D、E、F连接DE、EQ、DQ、DF、FQ，则DE//A1BEQ//B1CDF//BB1且DF=BB1，DQ=D所以DE2+EQ2≠DQ2，故故根据垂直定义得，不存在点P，使得A1B⊥平面对于C，若P为棱AB的中点，设Q为BC中点，连接PQ、QC1，则PQ//AC且故由PQ、AC可唯一确定一个平面，所以平面A1C1又A1P=A所以四边形A1C1平面A1C1对于D，因为VP−A1B1Q所以当h取得最大值时三棱锥P−A而h最大值为PC=3所以三棱锥P−A1B故答案为：ACD.【分析】对于A，利用直三棱柱性质CC1//AA1，将直线A1P与直线CC1所成角转化为为直线A1P17．【答案】1【解析】【解答】因为a=1，b=2，sinA=14，利用正弦定理代入得a可得sinB=故答案为：1【分析】根据正弦定理，代入即可求解.18．【答案】3；9+4【解析】【解答】（1）因为x,y>0，且x+2y=1，所以x+2y=1≥2x⋅2y所以xy≤122，所以所以log12x+log1（2）因为x,y>0，且x+2y=1，所以1x当且仅当2yx=4x所以当x=22−17,y=故答案为：3，9+42；

【分析】利用基本不等式得xy≤18，x=12,y=14时，等号成立，再由对数运算法则及对数函数单调性可得log119．【答案】0【解析】【解答】由余弦函数y=cosx的性质，得−1≤cosx≤1，所以当a-1≥0时，fx1∈[a−1,a+1]，f同理，当a+1≤0时，fx所以，存在x1,x2∈R使得当fx1⋅fx2所以-1f所以集合[a−1,a+1]与集合(-∞,-1即-1a+1≥a-1或-1a-1≤a+1，亦即所以实数a的值为0.故答案为：0.【分析】先求得函数fx=cosx+a的值域为20．【答案】3【解析】【解答】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，取A1D1,AD的中点E,F因为BB1⊥平面A1B1C又B1D1∩BB1=B1，A又因为NE//A1C1，所以NE⊥平面所以N,E关于平面BDD1B则PN+PM=PE+PM，当点M,P,E三点共线时，此时PE+PM的最小值为ME，在直角△MGE中，可得ME=M在直角△MC1N所以△QMN周长的最小值为5+故答案为：5+【分析】取A1D1,AD的中点E,F，连接NE,EF，再取EF的中点G，连接MG,A1C1，根据线面垂直判定证得NE⊥平面BDD1B1，且NH=EH，得到N,E关于平面21．【答案】（1）解法1：因为平面向量a=2sinx,3cosπ2−x，b=f=2解法2：由诱导公式可得a=2sin所以f=sin2x−所以f（2）由解法2得fx=2sin2x−（3）在fx=2sin2x−π当2x−π3=π2此时f【解析】【分析】（1）解法1：将x=π3代入可得向量a,b，由向量数量积的坐标表示fπ（2）根据解析式fx（3）先求得2x-π（1）解法1：因为当x=π3时，a=f=2解法2：由诱导公式可得a=2sin所以f=sin2x−所以f（2）由解法2得fx=2sin2x−（3）当0≤x≤π2时，当2x−π3=π2此时f22．【答案】（1）证明：取DP的中点L，连接ML，CL，如下图所示：∵M，L分别是PA，PD的中点，∴ML∥AD，∵CN∥AD，∴ML∥CN，ML=CN，所以四边形∴MN∥CL，∵MN⊄面CDP，CL⊂面所以MN//平面CDP（2）解：取AB，CD的中点E，F，连接EF，PF，PE，作PO⊥EF交EF于O，∵CP=DP=3，∴PF⊥CD且PF=5∵底面是边长为4的正方形，∴CD⊥EF，∵PF∩EF=E，PF，EF⊂平面PEF，∴CD⊥平面PEF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥CD，又CD∩EF=F且CD,EF⊂平面ABCD；所以PO⊥平面ABCD.过O点作OG⊥BC，连接PG，如下图所示：所以PG⊥BC，则∠PGO为二面角D−BC−P的平面角.在△ACP中，AP在△AEP中，PE设OF=x，则OE=4−x，则PO2=13−可得PO=5−1=2，所以在Rt△PGO中，cos所以二面角D−BC−P的平面角的余弦值为22【解析】【分析】（1）取DP的中点L，利用三角形中位线定理得ML∥AD，ML=12AD，结合平行四边形性质得ML∥CN，（2）利用线面垂直判定定理，作出二面角D−BC−P的平面角∠PGO，再由余弦定理即可求解.（1）取DP的中点L，连接ML，CL，如下图所示：∵M，L分别是PA，PD的中点，∴ML∥AD，∵CN∥AD，∴ML∥CN，ML=CN，可得四边形∴MN∥CL，∵MN⊄面CDP，CL⊂面所以MN//平面CDP（2）取AB，CD的中点E，F，连接EF，PF，PE，作PO⊥EF交EF于O，∵CP=DP=3，∴PF