浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期数学期末试题（含答案）

第第页浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期数学期末试题一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A={0，1，A．{−1，1C．{−1，02．复数−1−2iA．−2 B．−1 C．1 D．23．函数f(A．(−∞，1C．{−∞，−4．已知tanα=−1，A．5π6 B．3π4 C．5．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如下：体重变化体重减轻体重不变体重增加人数241571188如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（）A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.196．已知平面向量a=(x，2)，A．−4 B．−1 C．1 D．47．已知球的半径是3，则该球的体积是（）A．4π B．12π C．24π8．对数lga与lgA．a+b=0 B．a−b=0 C．ab=1 D．a9．取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于160（参考数据：1.A．7 B．8 C．9 D．1010．已知a，b为非零实数，则“a>b”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心12．已知函数f(x)的定义域为R，f(x+A．f(1−x)C．f(x−1)为偶函数 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列函数是增函数的是（）A．y=x3 B．y=x2 C．14．已知平面α⊥平面β，且α∩βA．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下列选项为条件，一定可以推出A=A．a=7，b=8，C．sinBsinC=16．如图，在棱长为2的正方体AC'中，点E为CC'的中点，点P在线段A'C'（不包含端点）上运动，记二面角P−AB−DA．异面直线BP与AC所成角的范围是(B．tan(αC．当△APE的周长最小时，三棱锥B−AEP的体积为D．用平面BEP截正方体AC三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数f(x)=2x，18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm，下底面直径为40cm，高为80cm.为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为cm19．已知正实数x，y满足xy−x−2y=0，则x+y的最小值是.20．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A=si四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用A款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10（1）求a的值；（2）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数.22．已知函数f(x)=sin(ωx+φ（1）求ω，（2）若|φ|<π223．已知函数f(x)（1）若a=2，求f(（2）判断函数f(（3）设f(x0五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“第一次正面朝上”，事件B=“第二次正面朝上”，则（）A．P(A)C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件B相互独立25．已知平面向量a，b满足A．|aB．|aC．|aD．|a26．已知函数f(x)=sinx，g(x)A．π B．5π6 C．2π3 27．已知正实数a、b、c满足log3a=logA．logab=log35 B．六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）28．如图，正四棱锥P−ABCD的高为22，体积为8（1）求正四棱锥P−ABCD的表面积；（2）若点E为线段PB的中点，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角A−PB−C的余弦值.29．已知定义在R上的函数f(（1）当a=3时，解不等式f(（2）若函数f(x)（3）对于a∈[4，+∞)，若存在实数x

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵A=0，1，2，B=-1，0，

∴A∪B=-1，0，1，2.

2．【答案】A【解析】【解答】∵复数−1−2i，

∴复数−1−2i（i为虚数单位）的虚部是-2，

故答案为：A3．【答案】B【解析】【解答】∵f(x)=(x-12)12=(x-12)，

∴x-14．【答案】B【解析】【解答】∵已知tanα=-1，并且α∈(0，π)，

∴α的终边在直线y=-x(x≤0)上，

故α=3π4。

故答案为：B

【分析】根据tanα=-1，并且α∈(0，5．【答案】C【解析】【解答】由题可知，统计表中1000名志愿者中，服用此药后出现体重减轻的人数为241人，因此服用此药后出现体重减轻的频率为2411000=0241≈0.24，

故答案为：C6．【答案】A【解析】【解答】∵a⇀=(x，2)，b⇀=(3，6)，a⇀⊥b⇀，

∴7．【答案】D【解析】【解答】∵半径R=3，

∴该球的体积为：V=34πR3=368．【答案】C【解析】【解答】因为对数lga与lgb互为相反数，

所有lga+lgb=0，即lgab=0，ab=19．【答案】B【解析】【解答】第一次操作去掉的线段长度为13，

第二次操作去掉的线段长度为23×13，

第三次操作去掉的线段长度为23×23×13，

……

第n次操作去掉的线段长度为23n-1×13，

由题可知，23n-1×13≥160，所以210．【答案】D【解析】【解答】当a>0>b时，1a>0>1b，所以a>b得不出1a<1b；

若1a<1b，则1a-1b=b-aab<0，若ab<0，则b-a>011．【答案】D【解析】【解答】12|AB|=34故答案为：D．【分析】利用已知条件整理化简即可得到1212．【答案】C【解析】【解答】A选项，由已知函数f(x)的定义域为R，f(x+12)为奇函数，得f(x+12)=-f(-x+12)，即fx=-f1-x，故A错误；

B选项，由已知f(2−3x)=f(3x)，得f2-x=fx，所以f2-x=-f1-x，即fx+1=-fx，则f3x+1=-f3x，故B错误；

C选项，由fx+113．【答案】A,C【解析】【解答】A选项，函数y=x3的定义域为R，函数y=x3在R上单调递增，故A正确。

B选项，函数y=x2的定义域为R，函数y=x2在(-∞，0]上单调递减，在0，+∞上单调递增，故B错误。

C选项，函数y=x12的定义域为[0，+∞），函数y=x12在[0，+∞）上单调递增，故C正确。

D选项，函数y=-x14．【答案】A,C,D【解析】【解答】A选项，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；

B选项，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；

C选项，平面α内取与(平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；

D选项，若α内的任意一点取在交线ι上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误。

故答案为：ACD

【分析】利用线面、面面关系进行判断。15．【答案】A,D【解析】【解答】A选项，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=64+25-492×8×5=12，又A∈0，π，所以A=π3，故A正确。

B选项，由正弦定理可得asinA=bsinB，又a=3，b=2，B=π4，所以sinA=3×16．【答案】A,B,D【解析】【解答】对A：因为AC∥A'C'，所以异面直线BP与AC所成角为又因为BA'=因为点P在线段A'所以当P为线段A'C'此时异面直线BP与AC所成角为π2当点P趋近A'或C'时，异面直线BP与AC所成角趋近所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，对B：过点P作PF∥A'A因为A'A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABC过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，所以∠PGF为二面角P−AB−D的平面角，∠PHF为二面角P−BC−D的平面角，故∠PGF=α，∠PHF=β，设A'P=2所以tanα=所以tan(α+β)=因为0<x<2，所以−x所以tan(α+β)=所以当x=1时，tan(α+β)取最小值，最小值为-43对C：延长EC'到点M，使得EC所以AP+PE+AE=AP+PM+AE≥AM+AE，当且仅当A，P，M三点共线时等号成立，所以当点P为线段AM与A'C'因为PC'∥AC所以PC'AC=M所以△APE的面积S=S又因为BO⊥AC，BO⊥AA'，AC∩AA'所以BO⊥平面ACC所以点B到平面APE的距离为BO，所以当△APE的周长最小时，三棱锥B−AEP的体积为V=13×对D：延长BE，B'C'，两直线交于点Q设PQ∩C'D'因为平面ABB'A平面BEP∩平面ABB'A'=BT所以BT∥ES，且BT≠ES，所以四边形BEST为梯形，所以用平面BEP截正方体AC'，截面的形状为梯形，故D正确.故答案为：ABD.【分析】对A：由异面直线夹角定义确定异面直线BP与AC所成角，分析判断即可；对B：由二面角的定义确定α，β，求tanα，tanβ，利用两角和的正切公式求tan(α+β)，再求其最小值；对C：确定△APE周长最小时点P的位置，结合锥体体积公式求B−AEP的体积运算求解；对D：根据平面的性质，确定正方体AC'17．【答案】12；【解析】【解答】∵fx=2x，x≤0fx-2，x>0，则f-1=2-1=12；

∵1=log22<log23<log218．【答案】1804【解析】【解答】如图，作圆台的轴截面，过A作AE⊥BC，垂足为E，

由已知，AE=80，BE=12×40-4=18，

所以AB=AE2+BE2=8219．【答案】3+2【解析】【解答】∵xy-x-2x=0，∴x+2y=xy，即2x+1y=1；

∴x+y=x+y2x+1y=2+xy+2yx+1≥3+2xy·2yx=3+22，

当且仅当20．【答案】(【解析】【解答】∵sin2A=sin2B+sinBsinC由正弦定理可得a2=b2+bc；

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得bc=c2-2bccosA，即b=c-2bcosA，

由正弦定理可得sinA=sinC-2sinBcosA，

∴sinB=sinA+B-2sinBcos21．【答案】（1）解：依题意可得(0解得a=0.（2）解：因为0.04<0.2<0.设为x，则0.04+(故第20百分位数为28.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，然后解方程即可得到答案。

（2）先判断第20百分位数位于[20，30]之间，设为x，然后列出方程及解方程即可算得。22．【答案】（1）解：因为f(x)=sin所以2πω=π所以f(因为f(所以sin(所以−sin所以tanφ所以φ=k（2）解：由（1）φ=kπ+所以φ=所以f(由已知−π3≤x≤所以−3所以f(x)在区间[【解析】【分析】（1）利用函数fx的周期，结合周期公式求ω，由fπ2=f2π3化简φ；

（2）由（1）的条件φ23．【答案】（1）解：若a=2，则f(所以f(（2）解：f'因为a>1，x+1>1，所以所以f'(x)=又f(1a2)=−2+1又f(1)=a+1（3）证明：由（2）可知，x0因为f(x0所以f(令x0=t，则记g(因为2t2−t+1易知g(t)在(1a所以f(因为g(所以要证f(t)<a+1令h(因为h'(t)=3所以h(t)>h(综上，12<f(【解析】【分析】（1）根据解析式计算；

（2）利用导数讨论单调性，结合零点存在的定理判断；

（3）结合单调性用放缩法进行证明。24．【答案】A,B,D【解析】【解答】A选项，试验的样本空间为：Ω=正，正，正，反，反，正，反，反，共4个样本点，

所以PA=12，故PA=12，故A正确；

B选项，试验的样本空间为：Ω=正，正，正，反，反，正，反，反，共4个样本点，事件A+B含有（正，正)，(正，反)，(反，正)，这三种结果，故PA+B=34，故B正确；

C选项，A=正，正，正，反，B=25．【答案】A,B,D【解析】【解答】设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，

因为对A：因为a→且θ∈[0，π]，则所以当cosθ=1时，|a+b|对B：因为a→且θ∈[0，π]，则所以当cosθ=-1时，|a+b对C：因为|a可得|a且θ∈[0，π]，则所以当cos2θ=0时，|a→+b→|+|a对D：因为|a可得|a且θ∈[0，π]，则所以当cos2θ=1时，|a→+b→|-故答案为：ABD.【分析】设a，b的夹角为θ，通过平方转化得a→+b→26．【答案】B,C【解析】【解答】因为对∀x1∈[0可得2f(x)=2sinx，x∈[0，π函数2f(x)=2sinx，x∈[0，π所以y=2cos(t+θ)+1，t∈−由−π2≤t≤0对A：当θ=π时，π2所以y=2cos(t+π)+1，t∈[−π对B：当θ=5π6时，π所以y=2cos(t+5π6对C：当θ=2π3时，π所以y=2cos(t+2π3对D：当θ=π2时，0≤t+π所以y=2cos(t+π2故答案为：BC.【分析】由条件可得2f(x)=2sinx，x∈[0，π2]的值域包含于函数y=227．【答案】A,C,D【解析】【解答】对A：因为a>1，所以log3由log3a=log5b，可得lnaln3对B：设log3a=log因为幂函数y=xm在(0，+∞)上为增函数，所以3m设log5c=log因为幂函数y=xn在所以3n<5n，即b<c，则对C：因为b=5m=所以mln5=nln3，所以nm所以acb2=3m对D：由基本不等式，可得a+c>2ac所以，2a+2c故答案为：ACD.【分析】对A：利用换底公式分析判断；对B：设log3a=log5b=m>0，log5c=log28．【答案】（1）解：连接AC∩BD=O，连接因为在正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，且O是AC与BD的中点，PO⊥因为正四棱锥P−ABCD的高为22，体积为823，设底面ABCD边长为t，则SABCD所以由VP−ABCD=13S因为PO⊥底面ABCD，OC⊂底面ABCD，故PO⊥OC在Rt△POC中，OC=12AC=2所以在△PBC中，PB=PC=10，同理：S△所以正四棱锥P−ABCD的表面积为S=S（2）解：由