第5章 分式 单元测试-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

第5章分式单元测试总分：120分考生姓名：注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第5章（分式）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．下列代数式是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键．【详解】解：、是整式，不符合题意；、是分式，符合题意；、是整式，不符合题意；、是整式，不符合题意．故选：．2．下列分式中，属于最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断．本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．【详解】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式2，不属于最简分式，故A选项不符合题意；B、该分式的分子、分母中不含有公因数，则该分式是最简分式，故B选项符合题意；C、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故C选项不符合题意；D、该分式的分子、分母中含有公因式，则该分式不是最简分式，故D选项不符合题意；故选：B．3．计算：（

）A． B． C．1 D．x【答案】C【分析】本题考查分式化简．根据题意利用分数计算直接作差即可．【详解】解：，故选：C．4．如果把分式中的x与y的值都扩大2倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的一半 D．扩大4倍【答案】A【分析】本题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n．解答此题时，可将分式中的x，y用代替，然后计算即可得出结论．【详解】解：依题意得：，∴把分式中的与都扩大2倍，那么分式的值不变，故选：A．5．下列各式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0．根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案．【详解】解：选项A、D是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误；b有可能为0，故选项B错误；分式的分子和分母同乘，且，符合分式的基本性质，故选项C正确．故选C．6．小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），根据“第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒”这一等量关系可列方程．【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程故答案为：C．7．已知，求（

）A． B．12 C． D．18【答案】D【分析】本题考查分式化简求值；准确化简分式并掌握整体代入法是解题的关键；首先对化简变形为，然后化简原式，再整体代入即可解答．【详解】∴．故选：D．8．如果关于的分式方程有增根，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，当最简公分母为0时产生增根，可得解．【详解】解：去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，系数化为1，得．∵原方程有增根，∴，即，解得．故选：B．9．已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式，把已知等式左右两边平方，利用完全平方公式化简，计算即可．【详解】解：，，故选：C．10．已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（

）A．12 B．10 C．6 D．4【答案】B【分析】本题考查了分式的混合运算和化简，乘法公式等知识点，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解和分式的约分．利用分式混合运算法则对原式进行化简，根据要求知道分子是分母的正整数倍，得出符合题意的的值．【详解】解：∵为正整数，且为整数，∴或，∴的取值为6，4，则所有符合条件的的值的和为，故选：B．第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．若分式有意义，则x的取值范围是．【答案】【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：．12．若，则的值是．【答案】4【分析】本题考查了分式的性质，分式的化简求值，掌握分式的性质是关键．根据题意得到，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：4．13．分式与的最简公分母是．【答案】【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键．最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解．【详解】解：分式与的最简公分母为，故答案为：．14．已知分式，若，则M的值为．【答案】【分析】根据，化简后代入计算即可．本题考查了分式的通分，求分式的值，熟练掌握通分是解题的关键．【详解】解：，当时，，故答案为：．15．已知，则．【答案】5【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是条件的灵活运用．由，代入所求分式进行化简即可得出答案．【详解】解：∵，∴．故答案为：5．16．若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为．【答案】1002【分析】本题考查了整式加减的应用，分式的化简求值，新定义，正确理解定义是解题的关键．根据和数”的定义确定即可；根据题意得出自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是，个位数字是，，再根据“和数”的定义以及该“和数”能被6整除得出或，再分类讨论解答即可．【详解】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍，百位、十位、个位上的数字之和为2，该自然数千位上的数字为1，最小的“和数”为1002，根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b，∵，∴，∴，∴十位数字是，个位数字是，为，为，，根据“和数”定义得，该“和数”能被6整除，∴该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数，，为偶数，或6，①当时，，即，，令，则，原式，当时，原式取到最大值为；②当时，，，令，则，原式，当时，原式取到最大值为，综上所述，的最大值为，故答案为：1002；．三、解答题：本题共8小题，共72分．17．解方程：(1)(2)【答案】(1)无解(2)【分析】（1）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：方程两边乘最简公分母得，，解得：，检验：当时，，∴是分式方程的增根，∴原分式方程无解；（2）方程两边乘最简公分母得，，解得：，检验：当时，，∴是分式方程的解，∴原分式方程的解为．【点睛】本题考查解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．掌握解分式方程的步骤是解题的关键．18．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解．【详解】解：，代入，原式．19．某市正在修建地铁线路，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机进行挖掘．在挖掘某段长240米的特殊路段时，盾构机的工作效率仅能达到挖掘正常路段的，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天．若挖掘正常路段，盾构机每天能掘进多少米？【答案】12米【分析】本题考查了分式方程的应用，根据设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米，则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米，结合“在挖掘某段长240米的特殊路段时，打通这段路比打通相同长度的正常路段多用了5天”，进行列分式方程，再解得，最后验根，即可作答．【详解】解：设挖掘正常路段，盾构机每天能掘进米，则挖掘特殊路段，盾构机每天能掘进米．由题意得，则，得，即．∴．经检验，是原分式方程的解，且符合题目要求．答：挖掘正常路段，盾构机每天能掘进12米．20．已知非零实数，，，，满足．(1)若，，求的值；(2)嘉淇说：“在满足题干的基础上，的结果一定是正数．”请你通过计算判断嘉淇的说法是否正确．【答案】(1)(2)嘉琪的说法不正确【分析】本小题考查完全平方公式、分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．（1）根据分式的加法运算即可求解；（2）根据题意得出，根据非负数的性质，即可求解．【详解】（1）解：原式．当，时，原式；（2）嘉琪的说法不正确，理由如下：，，，∵，，是非零实数，，的结果是非负数，离淇的说法不正确．21．阅读下列解题过程，并回答问题．已知，求．解：．仿照上述解法求解：已知，求的值．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据已知条件得到，再把仿照题干的方法化为，代入数值即可求解的值．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，22．观察下列方程的特征及其解的特点：①的解为；②的解为；③的解为．解答下列问题．（1）请你写出一个符合上述特征的第4个方程，其解为．（2）根据这类方程特征，第n个方程为，其解为．【答案】（1），，；（2），，【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，根据方程和方程解的特征找到规律是解题的关键．（1）根据上述3个方程及其解的规律，可知，，然后写出即可；（2）根据这类方程特征可知，，，然后写出即可．【详解】解：（1）由题意得：，，所以：第四个方程为：，其解为：，，故答案为：，，；（2）由题意得：，，所以：第个方程为：，其解为：，，故答案为：，，．23．阅读下列材料在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．(1)下列式子中，属于真分式的是（填序号）；；；；(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；(3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数．【答案】(1)；(2)；(3)或或或．【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．（）根据真分式的定义即可求解；（）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；（）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值．【详解】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式；故选：；（2）解：；（3）解：，∵的值为整数，为整数，∴或，解得：或或或，故答案为：或或或．24．【类比学习】在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有：1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如；2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如；3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大．例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数．【问题呈现】小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜．(1)小明组成的分式中值最大的分式是___