第4章 因式分解（优等类型）-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

思维导图第4章因式分解思维导图【类型覆盖】类型一、已知代数式的值，因式分解求值【解惑】已知，，则代数式的值为（

）A． B．25 C． D．45【答案】D【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，将式子因式分解为，代入计算即得解．【详解】解：∵，，∴，∴，故选：D．【融会贯通】1．已知，，则代数式的值是（）A．2 B． C．15 D．【答案】D【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵，∵，，∴，故选：D．2．如果满足，那么代数式的值为．【答案】【分析】本题主要考查了因式分解--公式法，把代数式分解得到，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵满足，∴∴，故答案为：3．若实数a，b满足，则代数式的值为．【答案】【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把所求式子变形为，进一步变形得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．类型二、整除问题【解惑】可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（

）A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67【答案】C【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差因式分解即可求解．【详解】解：∵，∴能被和整除，∵，，∵，，∴能被65和63整除，∴这两个数为：65和63．故选：C．【融会贯通】1．若n为任意整数，则的值总能（

）A．被3整除 B．被4整除 C．被4n整除 D．被2024整除【答案】B【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后，判断即可．【详解】解：，故的值总能被4整除；故选B．2．分解因式；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是．【答案】6【分析】此题考查了因式分解以及应用，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，然后得到，，是三个连续的整数，进而求解即可．【详解】解：；∵a是整数，∴，，是三个连续的整数∴能被，，，整除∴整数k的最大值是6．故答案为：，6．3．（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除；（2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除．【答案】（1）见详解；（2）能，验证见详解【分析】本题考查了整式加法的应用，因式分解；（1）将这个数化为，即可得证；（2）可得能被9整除，即可验证；能用因式分解将表示数的整式化为能被9整除的和是解题的关键．【详解】（1）证明：能被9整除能被9整除，能被9整除，这个数能被9整除；（2）能被9整除能被9整除．类型三、规律问题【解惑】数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律：①②③④根据上述规律解决下列问题：(1)填空：；(2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明；(3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值．【答案】(1)3(2)，见解析(3)65【分析】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键．（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．（2）用含a，b的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可．（3）根据题意建立关于a，b的等式，再进行分析即可．【详解】（1）解：由题知，因为，，，，所以．故答案为：3．（2）发现的规律是：．证明如下：左边＝右边，故此等式成立．（3）因为的结果恰好是一个整数的平方，所以是一个整数的平方．因为，又因为，所以，解得，所以．【融会贯通】1．观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律．第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…(1)写出第4个等式：_______；(2)用含n的等式表示你的猜想并证明；(3)计算：=_______．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】（1）通过观察可得第4个式子；（2）通过观察可得第n个式子，根据完全平分公式进行换算即可证明答案；（3）利用规律逆向计算，再利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：第4个等式为：，故答案为：；（2）解：猜想用含n的等式表示为：，证明：，故用含n的等式表示为：；（3）解：，故答案为：．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键．2．（1）填空：第一行：________；第二行：________；第三行：________；第四行：________．（2）找出规律，写出第n行的等式：________；（3）请说明第行等式成立的理由．【答案】（1）1；25；121；361（2）（3）见解析【分析】本题考查了规律型:数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．（1）根据有理数的乘法和加法可以计算出相应的结果；（2）根据题目中式子的特点，可以写出第n行的等式；（3）根据因式分解的方法可以说明第n行等式成立的理由．【详解】解：（1）第一行：；第二行：；第三行：；第四行：；故答案为：1；25；121；361；（2）第n行的等式是：，故答案为：；（3）证明：∵∴3．实践与探究：事实上，在数字的运算中，蕴含着很多奥秘，例如下列等式：……(1)根据上述三个等式的规律，请直接写出第四个等式；(2)根据上述规律，写出第n个等式(用含有字母n的代数式表示)，请通过运算说明该等式成立；(3)运用（2）中的结论，把因式分解；【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】此题考查了此题考查数字类变化规律，平方差公式和单项式乘以多项式运算，利用提公因式法因式分解，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律，总结规律．（1）根据上面式子的规律即可写出第4个式子；（2）探索以上式子的规律，结合（1）即可写出第n个等式，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则计算证明即可；（3）首先由得到，然后利用提公因式法分解因式即可．【详解】（1）∵∴第四个等式为；（2）由（1）中的规律可得，第n个等式为证明如下：；（3）．类型四、智慧数问题【解惑】在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，，，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”(1)40________“智慧数”，44________“智慧数”．（填“是”或“不是”）(2)设两个连续偶数是和（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是8的倍数吗？为什么？(3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．…，按此规律拼叠到正方形，其边长为200，求阴影部分的面积．【答案】(1)40不是“智慧数”，44是“智慧数”(2)由这两个连续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数(3)20200【分析】（1）根据“智慧数”的定义进行判定；（2）根据新定义列代数式，再进行因式分解；（3）根据题意列代数式，再依据（2）的结论进行计算求解．【详解】（1）解：，40不是“智慧数”，44是“智慧数”；（2）解：，由这两个连续偶数构造的“智慧数”不是8的倍数；（3）解：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，定义新运算，利用（2）的结论求（3）是解题的关键．【融会贯通】1．若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：是“智慧数”，因为；再如：（，是整数），所以也是“智慧数”．（1）请你再写一个小于的“智慧数”，并判断是否为“智慧数”（填是或者否）；（2）已知（，是整数），是常数，要使为“智慧数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；（3）如果数，都是“智慧数”，试说明也是“智慧数”．【答案】（1）之一均可；是；（2），见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S配成完美数，可求k的值（3）根据完全平方公式，可证明mn是“完美数”；【详解】解：（1）∵8＝22＋22∴8是完美数，之一均可是智慧数；故答案为之一均可；是；（2）∵S＝x2＋4y2＋4x−12y＋k＝（x＋2）2＋（2y−3）2＋k−13∴k＝13时，S是智慧数（3），都是“智慧数”设，∴===（ac＋bd）2＋（ad−bc）2为整数则和也是整数∴是“智慧数”．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．2．一个形如的五位自然数（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且），若有且，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，，则12321是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，，则43734是一个“智慧对称数”．(1)将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”，求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；(2)求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”．【答案】(1)见解析(2)最大的“智慧对称数”为81918【分析】（1）根据新定义表示一组“相关对称数”，相加变形后可得结论；（2）根据“智慧对称数”表示这两个数：和，作平方差列式：，且被7的奇数倍整除，进行分类讨论即可确定结论．【详解】（1）证明：∵“对称数”：，“相关对称数”：，∴，∵，∴，∵，，∴，∵最小“对称数”是11211，∴，∵a、b都是正整数，∴能被11211整除，∴任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）解：由（1）知五位“对称数”形式为，若此“对称数”为“智慧对称数”，，且被7的奇数倍整除.∵，，∴，∴，，，，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，，，，当时，，，，当时，不符合题意，当时，不符合题意，∴所有的“智慧对称数”为：43734，34743，52725，61716，16761，81918，18981．∴最大的“智慧对称数”为81918．【点睛】本题主要考查因式分解的应用、新定义和多位数的表示方法，比较复杂，理解“相关对称数”和“智慧对称数”的定义并熟练掌握因式分解是关键．3．大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”．(1)试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差；(2)求证：任意的“偶像数”都能被4整除．【答案】(1)20，(2)见解析【分析】本题主要考查平方差公式，理解新定义，熟练掌握平方差公式的运用是解答的关键．（1）根据“偶像数”的定义写出一个“偶像数”即可；（2）根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“偶像数”，利用平方差公式化简即可判断；【详解】（1）“偶像数”20（2）设两个连续偶数分别为和，其中n为自然数为自然数为整数能够被4整除即任意的“偶像数”都能被4整除类型五、新定义问题【解惑】【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误证明：证明见解析【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论；证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证．【详解】解：验证：，是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确；，不是“4倍数”，故淇淇的说法错误；证明：，是整数，是整数，这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．【融会贯通】1．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．【答案】(1)110；990(2)见解析【分析】此题考查了利用分解因式的应用．（1）按照题意写出最小的“和谐数”与最大的“和谐数”即可；（2）可设“和谐数”为，则有，再通过计算即可．【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c，由题意，得，要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1，b最小是，此时c最小是0，所以最小的“和谐数”时110；最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9，十位上b最大是9，此时，所以最大的“和谐数”是990．由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990；故答案为：110；990；（2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），由题意，得，∴“和谐数”为，则有：，∵a，b是整数，∴是整数，∴任意“和谐数”一定能被11整除．2．若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”．(1)请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余；(2)已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”．【答案】(1)6不是，39是；证明见解析(2)，或，【分析】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．（1）根据“尼尔数”的定义，设点表示的数为，则，，数，令，解方程，如果的解中有能被整除的自然数，那么是“尼尔数”，否则不是；同理可判断是不是“尼尔数”；令是自然数，然后证明被除余即可；（2）设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数，根据两个“尼尔数”的差是列出方程，整理，得，根据、都是自然数，求出、的值，进而求解即可．【详解】（1）解：设点表示的数为，则，，数．令，，，不能被整除，不是“尼尔数”；令，，，是能被整除的自然数，是“尼尔数”；令是自然数，，而，所有“尼尔数”一定被除余；（2）解：设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数，根据题意，得，整理，得．、都是自然数，，或，解得，或，当时，，，当时，，．故这两个“尼尔数”是，或，．3．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如：；；；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：______，______，______；(2)化简：；(3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的积．【答案】(1)，，；(2)(3)【分析】本题考查因式分解，读懂定义，能利用复数的定义对多项式进行因式分解是解题的关键．（1）利用复数的运算法则运算解题；（2）根据定义可知，且个结果为一组循环，由此求解即可；（3）将原式化为，再因式分解即可．【详解】（1）解：，，，故答案为：，，；（2）解：；（3）解：，．类型六、配方法求最值【解惑】先阅读材料内容，再解决问题：①若，求m和n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．②已知x为实数，求的最小值．解：∵而∴有最小值2(1)若，求的值；(2)设、为实数，求的最小值．【答案】(1)(2)3【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．（1）先利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性求出x，y的值，然后代入的值；（2）先利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性求解即可．【详解】（1）解：∵∴∴，∴，∴（2）解：∵而，∴有最小值3【融会贯通】1．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：(1)分解因式：________．(2)求代数式的最小值：，对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________．请完成上面的填空．(3)根据材料解决下列问题：①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________．②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值．【答案】(1)(2)(3)①；②5【分析】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键．（1）利用平方差公式分解即可；（2）根据阅读材料即可得出结果；（3）①根据材料中方法求解即可；②利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】（1）解：；（2）解：根据题意：的最小值为；（3）解：①原式；②，对于代数式，无论x取何值，都小于或等于0，再加上5，则，故的最大值为5．2．阅读理解并解答：我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．(1)例如：①，是非负数，即，，则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是，②，是非负数，即，，则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______；(2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；(3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(4)知识拓展：若，求的最小值．【答案】(1)，3(2)2，1(3)1，大，3(4)【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．（1）根据可得当时，取得最小值，由此即可得；（2）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得；（3）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得；（4）先根据已知等式可得，再利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得．【详解】（1）解：∵，∴这个代数式的最小值是，此时，∴这个代数式取得最小值时，相应的的值是，故答案为：，3．（2）解：，∵是非负数，即，∴，∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为1，故答案为：2，1．（3）解：，∵是非负数，即，∴，∴当，即时，有最大值，最大值为3，故答案为：1，大，3．（4）解：，，则，∵是非负数，即，∴，∴的最小值为．3．用配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法因式分解：，原式；②若，利用配方法求M的最小值：，∵，∴当时，M有最小值6．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法分解因式：；(2)若，求M的最小值及a的值；(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)当时，M有最小值．(3)【分析】此题考查了配方法的应用．（1）利用配方法得到，再利用平方差公式分解因式即可；（2）利用配方法得到，再由，即可得到答案；（3）由配方法得到，根据非负数的性质得到字母的值，代入代数式求值即可．【详解】（1）解：（2）∵，∴当时，M有最小值．（3）∵∴则，则，∴类型七、求证问题【解惑】已知整数，，，．满足，．(1)求证：为正数；(2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．【答案】(1)证明见详解(2)不可以，理由见详解【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．（1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明．（2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数．【详解】（1）证明：∵，∴∵，则∴为正数．（2）不可以，理由如下：∵，，，为整数，为偶数，∴为偶数，∵，∴为偶数，∴，同为偶数或者同为奇数，∴为偶数，若为奇数，则为奇数，∴为奇数，∴为奇数与为偶数矛盾，∴不可以为奇数．【融会贯通】1．求证：是一个完全平方数．【答案】见解析【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．设，将原式整理成，再利用完全平方公式进行因式分解即可证明．【详解】解：设，则，原式，是一个完全平方数．2．已知实数a，b，c，m，n满足，．求证：为非负数．【答案】见解析【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、分式的性质等基础知识：考的运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．根据题意得出，根据非负数的性质，即可求解；【详解】证明：，，，．则，，，是实数，，为非负数．3．若、、为非零实数，且，求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键．【详解】证明：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．类型八、十字相乘法【解惑】分解因式：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．（1）根据平方差公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解因式即可．【详解】（1）解：．（2）解：∵常数项，而，为一次项系数，∴．【融会贯通】1．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得，则．．解得：．另一个因式为的值为，解法二：二次三项式有一个因式是，当，即时，．把代入，得，而．问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．【答案】另一个因式为的值为20【分析】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键．根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解；根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可．【详解】解：解法一：设另一个因式为，由题意得：，则，解得：，另一个因式为的值为20．解法二：二次三项式有一个因式是，当，即时，，把代入，得，而．另一个因式是的值为20．2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．例如：分解因式：．解：原式第1步：拆项法，将拆成和第2步：分组分解法，通过添括号进行分组第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)第4步：提公因式法(整体)；第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底(1)请你试一试分解因式：；(2)请你试一试在实数范围内分解因式：．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．（1）根据题意原式可化为，再提取公因式可得，再应用平方差公式进行分解因式可得，再提取公因式可得，可化为，应用十字相乘法进行分解因式即可得出答案；（2））原式可化为再提取公因式可得，再提取公因式可得，再应用实数范围内分解因式即可得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：．3．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法．（1）二次项系数（2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．①；②；③；④（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，即，则．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．仿照以上方法分解因式．二次项系数_________________．常数项____________．发现“交叉相乘之和”的结果______________________________等于一次项系数______，则______．【答案】见解析【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题．根据题意利用十字相乘解题即可．【详解】解：二次项系数．常数项发现“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，则．类型九、分组分解法【解惑】分解因式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：（1）直接提取公因式x即可；（2）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可；（3）原式先化简，然后根据根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）第一个括号先提取公因式a，然后两个括号间提取公因式即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【融会贯通】1．解答下列各题：(1)分解因式：；(2)若a，b()都是正整数且满足，求的值；(3)若a，b为实数且满足，，求S的最小值．【答案】(1)；(2)8；(3)6．【分析】（1）利用分组分解法解答即可；（2）利用因式分解法，求解后求的值即可；（3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值．本题考查了因式分解，解方程组，实数的非负性求最值，熟练掌握因式分解，实数的非负性是解题的关键．【详解】（1）解：．（2）解：，∵,,∴,∴,∴,解得，故．（3）解：由，得，∴，∵，∴，当且仅当时成立，∴S的最小值为6．2．先阅读，再解决问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法．例如：．(1)分解因式：；(2)若，求m和n的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分组法因式分解等知识点，灵活运用分组法进行因式分解成为解题的关键．（1）先将原式分组后进行因式分解即可；（2）先将原式分组后进行因式分解，然后根据非负数的性质列二元一次方程组求解即可．【详解】（1）解：．（2）解：∵，∴，∴，∴，解得：．3．因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．因式分解：．小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式．张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目．(1)因式分解：．(2)因式分解：．(3)因式分解：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．（1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）分组后然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；（3）将看成整体，令，进行因式分解，再将“B”还原代入，再次因式分解即可．【详解】（1）解：（2）解：；（3）解：令，则．将代入，得原式．类型十、因式分解的图形应用【解惑】根据以下素材，完成三个任务：以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形．素材一某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且．素材二将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．素材三小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：．【问题解决】【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长；【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）；【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分．【答案】任务1：图见解析，周长为：；任务2：①，②，③，②，图案见解析；任务3：图见解析：．【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键．任务1：根据矩形的周长公式求解；任务2：根据完全平方公式求解；任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键．【详解】解：任务1：如图所示：周长为：；任务2：如图所示：，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片；如图所示：，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片；如图所示：，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片；如图所示：，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片；任务3：如图所示：．【融会贯通】1．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题：(1)图2中所表示的数学等式为___________：(2)请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽．【答案】(1)(2)19(3)大长方形的长为，宽为【分析】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各矩形的面积之和求解即可；（2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）由题意得，再分解因式即可得到答案．【详解】（1）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为；从部分看，图形的面积为；∴；（2）解：∵，，∴∴；（3）解：由题意可知：，∴大长方形的长为，宽为．2．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．（单位：）(1)观察图形，并解答问题：①代数式可以因式分解为______；②若长方形纸板面积为，每块小长方形的面积为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；(2)若再给一块边长都为n的小正方形，和两块长为m、宽为n的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一个长方形，并画出这个长方形，再对代数式进行因式分解．【答案】(1)①

②(2)图见解析；【分析】本题考查了图形面积与整式的因式分解，完全平方公式的变形应用，数形结合是解题的关键；（1）①由面积关系，即面积为的长方形等于长为、宽为的面积，由此即可求解；②由题意得：，由此可求得，由完全平方公式可求得的值，而所有裁剪线长的和为，代入即可求解；（2）拼成的长方形一边为，另一边为，画出图形，计算出面积即可得到因式分解的结果．【详解】（1）解①由面积相等，得；故答案为：；②，，，，，，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为：；（2）解：如图，．3．综合与实践“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．【实践操作】如下图我们通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式．（1）如图1，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割（如图2），得到三个长方体①、②、③（如图3）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为______，长方体③的体积为______（结果不需要化简）．则因式分解______．【拓展延伸】（2）尝试因式分解：【答案】（1）；；；（2）【分析】本题考查因式分解的几何应用、列代数式，根据题中给出的信息，结合数形结合思想是解答的关键．（1）根据几何体各边关系，结合长方体和正方体的体积公式求解即可；（2）将（1）中的b换为，进而化简求解即可；【详解】解：（1）由图1知，长方体②的体积为，长方体③的体积为，∴，故答案为：；；；（2）将（1）中的b换成，则，∴．【一览众山小】1．下列六个多项式中，在实数范围内，能因式分解的有（）个①

②

③

④

⑤

⑥A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：①；②不能因式分解；③，④不能因式分解；⑤；⑥，综上可知，能因式分解的是①③⑤⑥，共4个，故选：B．2．下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，因式分解的应用；设两个连续偶数为，，再利用因式分解可判断①，设两个连续奇数为，，再利用因式分解可判断②，设个位数为的整数为，再进一步可判断③．【详解】解：设两个连续偶数为，，则，∵n为整数，所以中的是正奇数，∴是4的倍数，故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．故①不符合题意；设两个连续奇数为，，则，∵n为整数，所以中的是正奇数，∴是8的倍数，故两个连续奇数数的平方差一定是8的倍数．故②符合题意；设个位数为的整数为，∴，∴任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数，故③符合题意；故选：C．3．若，则的值为（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】此题考查了因式分解和整式混合运算，根据题意求出，，即可求出的值．【详解】解∶∵，∴，∵，∴，∴解得，∴．即∵∴解得故选：C．4．分解因式：．【答案】【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法和平方差公式因式分解的运用；根据提取公因式法和平方差公式因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．5．若多项式有一个因式为，那么．【答案】2【分析】本题考查了因式分解的意义，由多项式有一个因式为，可设另一个因式为，可得．掌握因式分解的意义是解题关键．【详解】解：设另一个因式为，则，即，解得．故答案为：2．6．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：故答案为：．7．若一个两位正整数a的十位上的数字为m，个位上的数字为n，且满足．(1)写出符合条件的所有数a；(2)若，，且p，q为正整数，求的值．【答案】(1)12或21或30；(2)．【分析】本题主要考查了因式分解的应用，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．（1）由，对m，n进行取值