苏教版中考一模检测《数学试题》含答案解析

苏教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题

1.4的算术平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±272

2.2019年江苏省粮食总产达4054。000吨，居全国第四位.用科学记数法表示40540000是（）

A.4054X104B.4.054X104C.4.054X107D.4054X107

3.计算（一/丫结果是（）

b

A/B.—dC./D.-a

4.已知AABCS△。曰7,A48C与4。石厂面积之比为I：4.若BC=1,则七尸的长是（）

A.272B.2C.4D.16

5.下列整数中，与7一厉最接近的是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

7.使式子1+有意义x的耳又值范围是

8.计算后一3小^的结果是

9.分解因式aS—1）—。+1的结果是

10.已知1是关于x的方程/+H氏一3=0的一个根，则另一个根为〃?=_.

11.若一组数据2,3,4,5,x方差比另一组数据5,6,7,8,9的方差小，则x可以为_（例举一个

满足条件的值）

12.如图，四边形A8CQ是。。的内接四边形，若。O半径为4,且NC=2NA,则区力的长为

13.如图，将正六边形48co绕点。逆时针旋转27。得正六边形"夕尸，则Nl=一°.

〃)、(2,b),若a—b=—6,则.

x

15.如图，在RtZXACB中，NC=90。，8c=4,AB=5,BD平分NA8C交AC于点D,则AZ)=

16.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2,1）,点3的坐标是（2,0）.作点B关于04的对称点次,

则点*的坐标是.

三、解答题

17计算以—㈡]+巨筌

（x+\Jx—1

x+3、,

---->x+\

18.薛不等式组《2.并把解集在数轴上表示出来.

3+4（x—1）>—9

19.课外兴趣小组为了解果段路上机动生的生速，抽查了一段时间内若干辆生的早速（午速取整数，单位：

丁米/时）并制成如图所示的频数分布直方图.已知车速在41千米/时到50F米/时的车辆数占车辆总数的1.

（1）在这段时间内他们抽查的车有辆;

（2）被抽查车辆的车速的中位数所在速度段（单位：千米/时）是（）

A.30.5-40.5B.40.5-50.5C.50.5-60.5D.60.5-70.5

（3）补全频数分布直方图;

（4）如果全天超速（车速大于60千米/时）的车有200辆，则当天的车流量约为多少辆？

20.甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作.

（I）随机抽取1名，则恰是甲的概率是；

（2）随机抽取2名，求甲在其中的概率.

21.现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每

小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704000立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？

22.一辆货车从A地出发以每小时80km的速度匀速驶往8地，一段时间后，一辆轿车从3地出发沿同一条

路匀速驶往A地.货车行驶3小时后，在距3地160km处与轿车相遇.图中线段表示货车离8地的距离

与货车行驶的时间x的关系.

（1）A4两地之间的距离为km；

（2）求6与x之间的函数关系式；

（3）若两车同时到达各自目的地，在同一坐标系中画出轿车离8地的距离”与货车行驶时间x的函数图像,

用文字说明该图像与x轴交点所表示的实际意义.

23.（1）如图①，在四边形48co中，ZA=ZC=90°,AB=CD,求证：四边形ABC。是矩形；

（2）如图②，若四边形A8CD满足NA=NC>90。，A3=CD,求证：四边形A8CO是平行四边形.

24.如图，8位于A南偏西37。方向，港口C位于A南偏东35。方向，B位于C正西方向.轮船甲从A出发

沿正南方向行驶40海里到达点。处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于南偏

西45。方向.这时，E处距离港口。有多远?（参考数据：tan37%0.75,tan35。口）.70）

北

25.如图①，在矩形ABCZ）中，AB=6,BC=9,点E是BC边上一动点，连接AE、DE,作的外接

GO,交4D于点F,交AE于点G,连接产G.

（图①）

(1)求证△AFGS/\4ED；

（2）当BE的长为一时，尸G为等腰三角形;

（3）如图②，若8E=1,求证：A8与。。相切.

26.已知二次函数了=/—2〃?x+〃产+〃?一1（〃?是常数）.

（1）求证：不论加为何值，该函数的图像的顶点都在函数y=x-l的图像上.

（2）若该函数的图像与函数），=/+〃的图像有两个交点，则人的取值范围为（）

5

A.b>0B.b>-1C.b>--D.b>-2

4

（3）该函数图像与坐标轴交点的个数随〃，的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的〃?的取值范围.

27.【概念认识】

在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在耳缱的交点为等垂弦的分割点.如图①,

C。是。。的弦，AB=CDtABLCD,垂足为E,则AB、CD是等垂弦，E为等垂弦AB、C。的分割点.

（图①）（图②）

【数学理解】

（1）如图②，A4是。0的弦，作。C_LOA、0DL0I3,分别交00于点C、D,连接CD求证：AB.CD

是。。的等垂弦.

BE1

（2）在。0中，。。的半径为5,E为等垂弦4B、CD的分割点，一=-.求A8的长度.

AE3

【问题解决】

（3）4B、CO是。。的两条弦，CD=—AB且CO_LA8,垂足为尸.

2f

①在图③中，利用直尺和圆规作弦C。（保留作图痕迹，不写作法）.

②若。。的半径为，，-（切为常数），垂足〃与。。的位置关系随〃，的值变化而变化，直接写出点产

与00的位置关系及对应的根的取值范围.

（图⑤）

答案与解析

一、选择题

1.4的算术平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±272

【答案】A

【解析】

【分析】

本题是求4的算术平方根，应看哪个正数的平方等于4,由此即可解决问题.

【详解】・・・"二2,

・・・4的算术平方根是2.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的运算.一个数的算术平方根应该是非负数.

2.2019年江苏省粮食总产达40540000吨，居全国第四位.用科学记数法表示40540000是（）

A.4054X104B.4.054X104C.4.054X107D.4054X107

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iWa|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10,n是正数；当原数的绝对

值＜1时，n是负数.

【详解】将数据40540000用科学记数法表示为4.054X107,

故选:C.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax|&的形式，其中W|a|V10,n为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.计算（—/了的结果是（）

556

A.aB.-aC.-D.-a

【答案】D

【解析】

试题分析：根据鬲的乘方和积的乘方运算法则计算作出判断：

=（―l）3a1^——a6.

故选D.

考点：幕的乘方和积的乘方.

4.已知"BC与A。七户面积之比为1：4.若BC=l,贝ij石厂长是（）

A.272B.2C.4D.16

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相似三角形面枳的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.

【详解】VAABC^ADEF,aABC与ADEF的面积之比为1：4,

（BC：EF）2=1：4,

解得BC：EF=1：2,

,:BC=1,

AEF=2.

故选:B.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方，比较简单,

熟记性质是解题的关犍.

5.下列整数中，与7一厉最接近的是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可知15与16最接近，即《话与J记最接近，从而可求出7—后最接近的数.

【详解】:15与16最接近,

，而与最接近，716=4

・••与7一厉最接近的是7-4=3,

故选C.

【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是找出与而最接近的整数.

6.已知一次函数），=依+》的图像如图所示，贝口=—2米一》的图像可能是（）

【答案】B

【解^5]

【分析】

根据一次函数户kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k,b的取值范围，再根据k,b的取值范围确定

一次函数y=-2去一〃图象在坐标平面内的位置关系，从而求解.

【详解】一次函数y=kx+b过二、三、四象限，则函数值y随x的增大而减小，因而kVO；

图象与y轴的负半轴相交则bVO,

因而一次函数y=-2kx-b的一次项系数-2k>0,

y随x的增大而增大，常数项-b>0,则函数与y轴正半轴相交，

因而图象经过一、二、三象限，

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系.函数值y随x的增大而减小=k<0；函数值y随x的增

大而增大ok>0；

一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交3b>0,一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交=bV0,一

次函数y=kx+b图象过原点ob=0.

二、填空题

7.使式子1+有意义的x的取值范围是

【答案】忘1

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件可得x-120，可解即可.

【详解】•••万有意义，

r.x-i>o,

解得,x>l,

故答案为:X>1.

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数.

&计算历—36的结果是.

【答案】

【解析】

【分析】

先算开方，再算乘法，最后算减法即可.

【详解】

故答案为：.

【点睛】木题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键.

9.分解因式。3—1)一。+1的结果是

【答案】3—1)2

【解析】

【分析】

直接提取公因式(a-1)后即可得解.

【详解】a(aI)aII

=a[a—\）—（67-1）

=(tz-1)(fl-1)

=(4—1)2.

故答案为：(a—I)?.

【点睛】此题主要考查了因式分解一提公因式法，确定多项式各项的公因式是分解因式的关键.

10.已知1是关于x的方程炉+3―3=0的一个根，则另一个根为

【答案】(1).-3(2).2

【解析】

【分析】

设方程的另一个解为L根据根与系数的关系得到lxt=-3,求出t后，再运用两根的和求出m的值即可.

【详解】设方程的另一个解为t，

根据题意得lxt=-3,解得1:3；

1+(-3)=-m,解得，m=2：

故答案为：-3,2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元

二次方程的解.也考查了根与系数的关系.

11.若一组数据2,3,4,5,x的方差比另一组数据5,6,7,8,9的方差小，则x可以为_.(例举一个

满足条件的值)

【答案】4(答案不唯一)

【解析】

分析】

利用方差定义判断即可.

【详解】5,6,7,8,9,这组数据的平均数为7,方差为S声—x(Z^l2+O+lM2)=2：

5

数据2,3,4,5,x的方差比这组数据方差小，则有S22Vsl2=2,

当;《=4时，2,3,4,5,4的平均数为3.6,方差为(x(1.62+0.62+0.42+1.42+0.42)=1.16,满足题意，

故答案为：4(答案不唯一).

【点睛】此题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键.

12.如图，四边形A8CQ是。。的内接四边形，若。0半径为4,且NC=2/A,则8力的长为

【答案】473

【解析】

【分析】

连接OB,0D,利用内接四边形的性质得出NA=的。,进而得出NBODR20。,利用含30。的直角三角形的

性质解答即可.

【详解】连接OB,OD,过O作OE_LBD,

•・•四边形ABCD是。O内接四边形，ZC=2ZA,

AZC+ZA=3ZA=180°,

解得:ZA=60°,

ZBOD=120°,

在RSBEO中，OB=4,

；・BE=26，

・・・AC=4G，

故答案为：473.

【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出NA=60。.

13.如图，将正六边形A3CQE尸绕点。逆时针旋转27。得正六边形则Nl=

【答案】147

【解析】

【分析】

首先计算出正六边形的内角度数，再根据旋转求出/CDE，的度数，最后利用六边形的内角和度数减去

(ZB+ZC+ZCDF+ZDE^+ZP)即可求得N1的度数.

【详解】•・•六边形ABCDEF是正六边形

./―力FW2)口80c

6

*/六边形4BCDEF是正六边形

.(6—2)口80。

..ZE-ZF-----------------=12U

6

,?ZEDE=27°

・・・NCDE'=120°-27°=93。，

，在六边形BCDEFG中(如图),

Zl=(6-2)xl80°-(ZB+ZC+ZCDE^+ZDE,F,+ZF,)

=720°-(120°+120°+93°+l20°+120°)

=147°

故答案为：147.

【点睛】本题考查了旋转的性质、正六边形的内角的计算；熟练掌握正六边形和旋转的性质是解决问题的

关键.

14.反比例函数)，=K■的图像过点(一2,a)、(2,/?),若a—/?=—6,则"=—.

A

【答案】-9

【解析】

【分析】

将点(一2,a)、(2,b)代入反比例函数,，=人得@=6再代入。一。=—6即可求出a,b的值，从而可得

x

出答案.

k

【详解】•・•反比例函数y=—的图像过点(-2,。)、(2,b),

x

-2a=k,2b=k

-2a=2b»即a=一6

又,：a-b=-b

:.-b-b=-6,解得：b=3

a=-3

/.ah=(-3)x3=-9

故答案为：・9.

【点睛】本题主要考杳反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于

比例系数.

15.如图，在RtZUCA中，NC=90。，8c=4,AB=5,8。平分NABC交AC于点。，则AO=_.

【答案】|

3

【解析】

【分析】

过D作DE_LAB,由角平分线的性质可知DC=DE,由勾股定理求出AO3,再根据SMBD+S^BCD=S△ABC可

求出DC,从而求出AD的长.

【详解】过D作DE_LAB,垂足为E,如图所示，

•••8。平分NABC,ZC=90°,

...DE=DC,

VBC=4,AB=5,

••・AC=VAB2-BC2=5/52—42=3

,**SAABD+SABCD=SAABC

A-ABDE+-BC\DC=-BCD4C

222

1114

/.-x5^)C+-x4DDC=-x3x4,解得，DC=-

2223

45

.\AD=AC-CD=3--=-

33

故答案为：—.

3

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式.作出辅助线是正确解答本题的关键.

16.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标是Q,1),点B的坐标是(2,0).作点B关于。4的对称点方,

则点长的坐标是.

【答案】

JJ

【解析】

【分析】

连接AB,AB\BB\BB，与OA相交于点F,过B，作WE_Lx轴，垂足为E,由勾股定理求出0人二石，再

由三角形面积公式可求出BF=2叵，由对称性得出BW■生叵，再证明△36£口454/”得WE-乌，再由

555

46

勾股定理求出BE=1，从而可求出0E=］，故可得答案.

•JJ

【详解】连接AB,AB\BBSBB，与0A相交于点F,过B作B，E_Lx轴，垂足为E,如图所示，

•・•点A的坐标是(2,1),点B的坐标是(2,0),

AOB=2,AB=1,AB±OB,

•••AB=yl0B2+AB2=@+12=石

-：-AO^F=-OByiB

22

.「x卮斯」x2xl

22

・•・BF=~^B

•・•点8与点方关于。4的对称，

・•.OA±BB\B8-2BF-1-^5,

又*・B，E_Lx轴，AB1OB,

.,.BfE//AB

・•・ZABBf=ZBBzE,ZBTB=ZBFA=90°

B'BB'E

：.BfE=-

5

i-----------------4

・•・BE=>JBB,2-BE2=-

5

46

.\OE=OB-BE=2--=-

55

••点夕的坐标为（£,-）.

55

故答案为：((，

【点睛】此题主要考查了点的坐标，勾股定理，轴对称以及相似三角形的判定与性质，求出8尸二£出是

解答此题的关键.

三、解答题

17计/2XT)•f+6X+9

17.计舁2---------------------;---------.

、X+1JX—1

r—1

【答案】——

x+3

【解析】

【分析】

先将括号内的部分进行通分，再杈据同分母的分式减法法则计算，然后把除法转化为乘法，约分化简即可

得到答案.

,,华布八八1，./+6x+9

(详解】2----------+------；---------,

、x+IJx~~\

2x+2x-\(x+l)(x-l)

=(------------)•---------；—

1x+1(尤+3)一

_x+3(x+l)(x-l)

=77?*+3)2

_x-\

x+3

【点睛】此题考查了分式的混合运算，能正确进行通分和约分是解此题的关键.

x+3、]

------>x+1

18.解不等式组，2,并把解集在数轴上表示出来.

3+4(x-l)>-9

【答案】一2<x〈l.

【解析】

【分析】

分别求得两个不等式的解集，这两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集，在数轴上表示出来即可.

【详解】解：

工+3、1G

,2,

3+4（1）>-9②

解不等式①得，X<1；

解不等式②得，x>-2：

・•・不等式组的解集为：-2VXW1.

不等式组的解集在数轴上表示为：

1IAI_1_|_

-4-3-2-1012

19.课外兴趣小组为了解某段路上机动车车速，抽查了•段时间内若干辆车的车速（车速取整数，单位：

千米/时）并制成如图所示的频数分布直方图.已知车速在41千米/时到50千米/时的车辆数占车辆总数的］.

（1）在这段时间内他们抽查的车有辆：

（2）被抽查车辆的车速的中位数所在速度段（单位：千米/时）是（）

A.30.5-40.5B.40.5-50.5C.50.5-60.5D.60.5-70.5

（3）补全频数分布直方图；

（4）如果全天超速（车速大于60千米/时）的车有200辆，则当天的车流量约为多少辆？

【答案】（1）45；（2）C；（3）详见解析；（4）1125

【解析】

【分析】

（1）用车速在41千米/时到50千米/时的车辆数除以］即可得到；

（2）根据车辆总数确定第23辆车为中位数，根据每一小组的频数确定中位数所处的小组即可;

（3）用总数减去其他小组的频数即可得到50.5〜60.5小组的频数即可补全统计图；

（4）用200除以车速车速大于60千米/时的车辆所占的百分比即可求得车流量.

2

【详解】（1）观察统计图知：车速在41千米/时到50千米/时的车辆数为10,占总数的差，

所以，10弓=45；

故答案为：45；

（2）・・•共45辆车,

・♦・中位数为第23辆车的速度,

50.5-60.5

故选C.

45

答：当天的车流量约为1125辆.

【点睹】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体等知识，解题的关键是仔细的审题并从直方图中整

理出进一步解题的有关信息.

20.甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作.

（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是：

（2）随机抽取2名，求甲在其中的概率.

【答案】（1）（2）-

33

【解析】

【分析】

（1）由甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作，施机抽取I名，直接利用概率公式即可求得

则恰是甲的概率；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果马甲在其中的情况，然后利用概率公

式求解即可求得答案.

【详解】（1）•・•需要从甲、乙、丙3名医生志愿者中随机抽取1名参加新冠肺炎救治工作，

・•・抽取1名，恰好是甲的概率是：一

3

(2)画树状图得:

开始

甲乙丙

/\/\/\

乙丙甲丙甲乙

•・•共有6种等可能的结果，甲在其中的有4种情况，

，甲在其中的概率是:~=—.

63

【点睛1此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每

小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704()00立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？

【答案】大型挖掘机70台，小型挖掘机50台

【解析】

【分析】

设大型挖掘机x台，则小型挖掘机(120—幻台，根据“20小时共挖掘土方704000立方米”列出方程求解即可.

【详解】设大型挖掘机工台，则小型挖掘机(120—幻台.根据题意得：

20[360%+200(120—幻]=70400()

解得x=70,120—.1=50

答:大型挖掘机70台，小型挖掘机50台.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程.

22.一辆货车从A地出发以每小时80km的速度匀速驶往3地，一段时间后，一辆轿车从3地出发沿同一条

路匀速驶往A地.货车行驶3小时后，在距3地160km处与轿车相遇.图中线段表示货车离8地的距离户

与货车行驶的时间x的关系.

(2)求v与x之间的函数关系式；

(3)若两车同时到达各自目的地，在同一坐标系中画出轿车离8地的距离＞2与货车行驶时间x的函数图像,

用文字说明该图像与X轴交点所表示的实际意义.

【答案】(1)400；(2)yi=-80j+400；(3)详见解析，货车从A地出发*小时后，轿车从8地出发.

3

【解析】

【分析】

(1)根据货车行驶的路程+货车离B地的路程即可得出A、B两地之间的距离；

(2)根据函数图象经过的点设出一次函数的解析式用待定系数法求一次函数的解析式即可；

(3)作出一次函数的图象并根据图象得到交点坐标所表示的意义是货车从A地出发|小时后轿车从B地出

发.

【详解】(1)AB两地之间的距离为：80x3+160=400km,

故答案：400；

(2)因为货车从A地出发以每小时80km的速度匀速驶往B地，

所以yi+80x=b,代入点(3,160),得b=400.

.*.yi=-80x+400；

(3)如图，线段”即为所求的图像；

货车行驶的时间为400-80=5h,则可求设普的函数表达式为mx+n

把(5,400),(3,160)分别代入”=mx+n得,

5m+n=400

V

3m+n=160

m-120

n=-200

.』=120x—200,

当y=0时，x=g，

故该图像与x轴交点坐标为（*,0）.

3

它表示的实际意义：货车从A地出发之小时后，轿车从B地出发.

3

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象经过的点的坐标求的一次函数的解析式,

题目中还渗透了数形结合的数学思想.

23.（1）如图①，在四边形A8C。中，ZA=ZC=90°,AB=CD,求证：四边形48C。是矩形；

（2）如图②，若四边形ABCO满足N4=NC>90。，AB=CD,求证：四边形43C。是平行四边形.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）连接BD,证明RtAABDgRtZkCDB得AO=CB,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证

明四边形ABC。是平行四边形，再根据有一个是直角的平行四边形是矩形可得结论；

（2）分别过点3、D作BE1AD于点E,DF上BCF点F,证明△ABEgaCOF,进而证明四边形E4FO是

矩形，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论.

【详解】（I）证明：如图①，连接以九

A______________D

口

图①

VZA=ZC=90°,在RtAABD和RtACDB中,

AB=CD,BD=DB,

.,.RtAABD^RtACDB(HL).

:.AD=CB,

・•・四边形A8CO是平行四边形,

NA=90。，

，四边形A8CO是矩形.

（2）如图②，分别过点从。作8E_LA。于点E,8c于点尸,

NBAD=/BCD,

：.NBAE=NDCF,

在△48£和4。。*中，NA£B=/CPO=90。，/BAE=/DCF,AB=CD,

:.'ABE/ACDF（AAS）,

：・BE=DF,AE=CFt

rh（i）可得四边形EBFZ）是矩形，

:,ED=BF,

.\AD=BC,

,:AB=CD,AD=BCf

・•・四边形ABC。是平行四边形.

【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行四边形的判定，熟练运用矩形的判定和平行四边形的判定是解

答此题的关键.

24.如图，8位于A南偏西37。方向，港口C位于A南偏东35。方向，8位于C正西方向.轮船甲从4出发

沿正南方向行驶40海里到达点。处，此时轮船乙从8出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于。南偏

西45。方向.这时，E处距离港口。有多远？（参考数据：tan37%0.75,tan35%0.70）

【答案】E处距离港口C约96海里

【解析】

【分析】

延长4。交BC于点F,设EF=x海里，得DF=x海里,解RtAABF得EF=40海里,AF=80海里，耳解RtAAFC

得CF=56海里，从而可得EC=96海里.

【详解】如图，延长交BC于点入AFLBC.

设EF=x海里.

在Rt△。七尸中，ZDFE=90°,

EF

VtanZEDF=-----

DF

tan45°=—^―

DF

・•・DF=x,

在RtZ\A4/中，ZDFE=90°,

BF

*：VdnZBAF=——

AF

0

：.BF=AFtan37f

•••2U+.0O./3(4。+幻,

・・・x=40,

：.AF=AD-\~DF=SO.

在RtZXAFC中，NA广C=90。,

CF

VtanZCAF=——，

AF

CF

Vtan350=——,

AF

.•.CF=/\Ftan35°~80x0.70=56

・•・CE=EF+CF=40+56=96

答：七处距离港口C约96海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知

识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.

25.如图①，在矩形/WCO中，Ai3=6,。。=9,点E是OC边上一动点，连接A£、DE,作△ECD的外接

OO,交A。于点F,交A£于点G,连接FG.

(1)求证△A/GS/XAE。；

(2)当BE的长为一时，△4PG为等腰三角形;

(3)如图②，若BE=l,求证：AB与。0相切.

【答案】(1)详见解析；(2)3后、4.5、9—36；⑶详见解析

【解析】

口乂斤】

(1)根据圆内接四边形的性质可得NAGF=NADE,又NGAF=NDAE,从而可■证明△AFGSAAED：

(2)先证明四边形ABEF是矩形，得EF=6,然后分当AE=OE时；当OE=AO=9时；当AE=AO=9

时三种情况，运用勾股定理求解即可；

(3)连接0M,运用梯形中位线证明OM=OD,QM_LA8即可.

【详解】(1)证明：•・•四边形*GEO是。。的内接四边形，

.•・NAG”=NA。七.

又NG44/Q4E,

；・z\AR7s△AE。；

(2)由(1)可知AAPGs

・•・当△从尸G是等腰三角形时，△AED是等腰三角形时，

连接EF,如图，

BE

•・•四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=9

:.CD=AB=6,AD=BC=9,/BAD=ZABC=/BCD=ZADC=9伊,

•••□。是口£6的外接圆，NEC。=90。

」.OE是口。的直径，

;"DFE=90。,

/.ZAFE=180°—NDFE=90°，

NBAF=ZABE=ZAFE=90°,

・•・四边形48砂是矩形，

AF=BE,EF=AB=6,

・.・[|AED是等腰三角形，

・•・分三种情况：

①当七时，・.・/。庄=90。，

；.EF上AD,

又•.•?(£=QE,

119

AF=Z)F=-AZ)=-x9=-,

222

9

BE=AF=-；

2

②当。E=AD=9时，

在R/OOCE中，ZECD=90\DE=9,DC=6,

:.CE=dDE?-DC?=V92-62=3旧，

BE=BC-CE=9-35

③当AE=AD=9^i

在R/AA5E中，NA8E=90"AE=9,AB=6,

BE=y/AE2-AB2=g-6=3亚

a

综上，当跖的长为5或9-36或3后时，匚AAG为等腰三隹形，

(3)设AB的中点为M,连接OM,如图,

当BE=1时，CE=BC-BE=9—1=8,

•・•四边形人3c。是矩形，

:.BE//AD,/BAD=/BCD=90,DC=AB=6,AD=BC=9,

在RrDOCE中，NOCE=90。，

DE=y]DC2+CE2=V62+82=10

•••OE是口。的直径，

r.OD=OE=-DE=-x\0=5

22

•：BE//AD,

・•.四边形是梯形，

又・.・M是AB的中点，O为DE的中点，

:.OM是梯形ABED的中位线，

：.OM//AD

OM=-（BE+AD）=-（I+9）=5,

22

ABMO=ZBAD=90°,OM=OD

二.OMLAB

又'/OM=OD

AAB与口O相切.

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形

的性质、等腰三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）、（3）中,

需要进行分类讨论和证明三角形相似才能得出结果.

26.已知二次函数），=/—2〃Lt+〃P+〃?一1（〃?是常数）.

（1）求证：不论加为何值，该函数的图像的顶点都在函数y=/—l的图像上.

（2）若该函数的图像与函数），=x+h的图像有两个交点，则。的取值范围为（）

5

A.b>0B.b>-lC.b>——D.b>-2

4

(3)该函数图像与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m的取值范闹.

【答案】(D详见解析;(2)C；(3)①当机>1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为1；②〃?石,

2

加二一1一石时,该函数图像与坐标轴交点的个数为2；③当加-石,->加<m<±正,

2222

土公〈用V1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为3.

2

【解析】

【分析】

(1)首先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线解析式进行判断即可；

(2)联立方程组J'一I根据方程组有两组解，利用根的判别式进行判断即可；

y-x+h

(3)分别由当抛物线的顶点在直线y=x-l与x轴的交点.卜.方时，抛物线与坐标轴有•个交点，抛物线顶点

在x轴上以及抛物线经过原点时，抛物线与坐标轴有2个交点分别列式求出m的值即可确定答案.

【详解】(1)证明：*.*y=x2—2/zi.t4-w2+m—1

=(x-机/+机一1

・,・该函数的图像的顶点坐标为(阳，〃，-1),

将工=/〃代入)，=x—1得，y=m—\t

・•・不论小为何值，该函数的图像的顶点都在函数y=x-1的图像上.

,、-，y=x2-2mx-\-

(2)联立方程组1/

y=x+b

:.A2—Imx+nr+〃?-1+〃

整理，得：x2—(2m+1)x+w24-/7?-I-b=()

•・•函数y=^-2/7U+m2+w—1的图像与函数y=x+b的图像有两个交点，

△=(—2m)2—-Z?)>0

解得，b>--

4

故选：C.

(3)•・•该函数的图像的顶点坐标为(m,m-1),

①当即m>l时，该函数图像与y轴有一个交点，

・•・当机＞1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为1;

②当函数的图像的顶点在X轴以及经过原点时，

由于函数的图像的顶点在函数y=x—l的图像上

...当y=0时，x=l,即m=；

当图象经过原点时,即M+加一原o,

・•・当m=1,m=T+下,-=7一逐时,该函数图像与坐标轴交点的个数为2；

22

③当mV-＞亚,土且〈〃;〈二力5,土正〈/〃VI时，该函数图像与坐标轴交点的个数为3.

2222

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a和）与x轴的交

点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

27.【概念认识】

在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为''等垂弦”,两条弦所在京缱的交点为等垂弦的分割点.如图①,

AB.CQ是。。的弦，AB=CD,ABLCD,垂足为£,贝I」/W、CQ是等垂弦，上为等垂弦44、CO的分割点.

【数学理解】

（I）如图②，48是。。的弦，作OC_LOA、ODVOB,分别交。。于点C、D,连接CQ.求证：AB.CD

是。O的等垂弦.