统计板块四统计数据的数字特征学生版

板块四.统计数据的数字特征

且H腥学问内容

随机抽样

1.随机抽样：满意每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种常常采纳的随机抽样方

法：

⑴简洁随机抽样：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为〃的样本，假如每一次抽

取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简洁随机抽样.

抽出方法：①抽签法：底纸片或小球分别标号后抽签的方法.

②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应凡程序生成随机数的功能生成的一张

数表.表中每一位置消失各个数字的可能性相同.

随机数表法是对样本进行编号后，依据肯定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的

方法.

简洁随机抽样是最简洁、最基本的抽样方法.

⑵系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后依据预先制定的规章，从每一部分抽取一个

个体，得到所需要的样本的抽样方法.

抽出方法：从元素个数为N的总体中抽取容量为〃的样本，假如总体容量能被样本容量整

除，设k=),先对总体进行编号，号码从1到N,再从数字1到&中随机抽取一个数s作

为起始数，然后顺次抽取第S+3S+2&,…+汝个数，这样就得到容量为〃的样

本.假如总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样

方法进行抽样.

系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样.

⑶分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体状况，常采纳分层抽样，使

总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按

层在总体中所占比例进行简洁随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.

分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可敏捷选用不同的抽样方法，

应用广泛.

2.简洁随机抽样必需具备下列特点：

⑴简洁随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.

⑵简洁随机样本数〃小于等于样本总体的个数N.

⑶简洁随机样本是从总体中逐个抽取的.

⑷简洁随机抽样是一种不放回的抽样.

⑸简洁随机抽样的每个个体入样的可能性均为£.

3.系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量〃的整数倍时，取k=»；

n

若火不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容

n

量〃整除.由于每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍

旧相等，为上.

n

二.频率直方图

列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：

①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；

②打算组距与组数：取组距，用臀打算组数；

组距

③打算分点：打算起点，进行分组：

④列频率分布直方图：丸•落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得

到各小组的频率.

⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以坐手的值为纵坐标绘制直方图，

组距

频率

知小长方形的面积=组距X=频率.

频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分

布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义.

总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布

直方图可以用•条光滑曲线y=/(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.总体密度

曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.

三.茎叶图

制作茎叶图的步骤：

①将数据分为“茎”、"叶”两部分；

②将最大茎与最小茎之间的数字按大小挨次排成一列，并画上竖线作为分隔线;

③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出.

四.统计数据的数字特征

用样本平均数估量总体平均数；用样本标准差估量总体标准差.

数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述.

极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；

样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根.

一般地，设样本的元素为芭，W,…，毛样本的平均数为工，

定义样本方差为｛J")',

n

样本标准差s=卜-a+但一：：+…+区

简化公式：，[&2+£+…+£)_欣2]

五.独立性检验

1.两个变量之间的关系；

常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系

所要求的确定性，它们的关系是带有肯定随机性的.当一个变量取值肯定时，另一个变量的

取值带有肯定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.

2.散点图：将样本中的〃个数据点(七,y)(i=l,2,…，〃)描在平面直角坐标系中，就得到

了散点图.

散点图形象地反映了各个数据的亲密程度，依据散点图的分布趋势可以直观地推断分析两个

变量的关系.

3.假如当二个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时,

散点图中的点在从左下角到右上角的区域.

反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.此时，散点

图中的点在从左上角到右下角的区域.

散点图可以推断两个变量之间有没有相关关系.

4.统计假设：假如大事甘与8独立，这时应当有P(A8)=P(A)P(8),用字母儿表示此式,

即H。:P(AB)=P(A)P(B),称之为统计假设.

5.Z2(读作“卜方”)统计量：

统计学中有一个特别有用的统计量，它的表达式为个=〃"“〃22-/%)2,用它的大小可以

%+%+〃+/+2

用来打算是否拒绝原来的统计假设〃。.假如/的值较大，就拒绝“。，即认为A与8是有

关的.

/统计量的两个临界值：3.841、6.635；当/>3.841对，有95%的把握说大事A与3有

关;当/>6.635时，有99%的把握说大事A与4有关；当/〈3.841时，认为大事A与4

是无关的.

独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率大事发

生，而小概率大事在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的.

1.独立性检验的步骤：统计假设：H。；列出2x2联表；计算/统计量；查对临界值表，

作出推断.

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2.几个临界值：P(Z>2.706)^0.10,P(Z>3.841)^0.05,6.635)^0.01.

2x2联表的独立性检验:

假如对于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个状况，这样排成一张2x2的表，如

下：

状态A状态X合计

状态A年々+

状态N%丐2

%n

假如有调查得来的四个数据八，/，%1'42’并盼望依;据这样的4个数据来检验上述的两种

状态A与8是否有关，就称之为2x2联表的独立性检验.

六.回归分析

1.回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分

析就是会找相关关系中这种非确定关系的某种确定性.

回归直线：假如散点图中的各点都大致分布在一条直线四周，就称这两个变量之间具有线性

相关关系，这条直线叫做回归直线.

2.最小二乘法：

记回归直线方程为：y=a+bx,称为变量丫对变量x的1可归直线方程，其中叫做【可归

系数.

亍是为了区分y的实际值)，，当“取值%时，变量y的相应观看值为而直线上对应于8

的纵坐标是a=。+如.

设x,y的一组观看值为(4,yj,i=l,2,，且回归直线方程为亍=。+阮，

当/取值七时，y的相应观看值为丫-差其-戈G=1,2,…，〃）刻画了实际观看值与回归

直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差.

我们盼望这〃个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点.

记。科产，回归直线就是全部直线中Q取最小值的那条.

r=l

这种使“离差平方和为最小''的方法，叫做最小二乘法.

用最小二乘法求回归系数。"有如下的公式:

）:X.y.—nxy

b=R---------，4=5-症，其中上方加“人”，表示是由观看值按最小二乘法求得的

沅2

r=l

回归系数.

3.线性回归模型：将用于估量），值的线性函数。+云作为确定性函数；），的实际值与估量

值之间的误差记为£，称之为随机误差；将），=a+Zu-+£称为线性回归模型.

产生随机误差的主要缘由有：

①所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差；

②忽视了某些因素的影响，通常这些影响都比较小；

③由于测量工具等缘由，存在观测误差.

4.线性回归系数的最佳估量值：

采用最小二乘法可以得到。，b的计算公式为

〃__n__

ZE-〃"_i”i«

力=『,——=—---------a=y-bx,其中》=一之七，y=-tyi

2（七4）2疝）2小'5

r=lf=1

由此得到的直线»=4+%就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程.其中♦分

别为。，人的估量值，4称为回归截距，A称为回归系数，》称为回归值.

5.相关系数：

Z（%-幻（力-y）Zwa-〃町’

.._i-l________________________LI_______________

、历2-;）2•力（M-?）2J这X；-疝）2）（力）”心了）

V；=1r=lV1=1r=l

6.相关系数「的性质：

⑴|厂区1；

⑵|「|越接近于1,X,），的线性相关程度越强；

（3）|r|越接近于0,X,），的线性相关程度越弱.

可见，一条回归直线有多大的猜测功能，和变量间的相关系数亲密相关.

7.转化思想：

依据专业学问或散点图，对某些特别的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转

化为线性回归方程，从而确定未知参数.

8.一些备案

①回归（regression）一•词的来历：“回归”这个词英国统计学家FrancilsGalton提出来的.1889

年，他在讨论祖先与后代的身高之间的关系时发觉，身材较高的父母，他们的孩子也较高，

但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母,他们的孩子也较矮,

但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高.Galton把这种后代的身高向中间值靠近

的趋势称为“回归现象后来，人们把由一个变量的变化去推想另一个变量的变化的方法称

为回归分析•.

②回归系数的推导过程：

Q=E［（X-。）一如『=Z），：-2az,+〃/一2正Z丫+2abz七+

=而+2asz七-Z）：）+"Z"；-2/、为£+££‘

把上式看成。的二次函数，/的系数〃>0,

因此当。=_2（立-一£2=£%一冬］时取最小值.

2〃n

同理，把Q的绽开式按人的降辕排列，看成〃的二次函数，当。=皆%二⑦土时取最小值.

Z（D（另一另

解得：1）=0------------a=y-ljx,

右:-疝

r=l

其中工=」»是样本平均数.

9.对相关系数r进行相关性检验的步骤：

①提出统计假设“0：变量X,），不具有线性相关关系；

②假如以95%的把握作出推断，那么可以依据1-0.95=0.05与〃-2（〃是样本容量）在相

关性检验的临界值表中查出一个，•的临界值（其中1-0.95=0.05称为检验水平）；

③计算样本相关系数「：

④作出统计推断：若IrAq3，则否定”。，表明有95%的把握认为变量y与x之间具有线

性相关关系；若1「区而3,则没有理由拒绝”o,即就目前数据而言，没有充分理由认为变

量y与x之间具有线性相关关系.

说明：

⑴对相关系数r进行显著性检验，〜般取检验水平a=005,即牢靠程度为95%.

⑵这里的，•指的是线性相关系数，，•的肯定值很小，只是说明线性相关程度低，不肯定不相

关，可能是非线性相关的某种关系.

⑶这里的，•是对抽样数据而言的.有时即使|川=1,两者也不肯定是线性相关的.故在统计

分析时，不能就数据论数据，要结合实际状况进行合理解释.

助嘛典例分析

题型一.数字特征的计算

【例1】（2022海淀二模）

某校高中班级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名同学的

学分，用茎叶图表示（如右图）.5,,*分别表示甲、乙两班各自5名同学学分的

标准差，则0匈•（填">"、"<"或"=

甲乙

8067

54110

2243

【例2】（2022崇文二模）

甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成果如下表

标准差，则外应，S3的大小关系为

【例3】10个正数的平方和是370,方差是33,那么平均数为（）

A.1B.2C.3D.4

【例4】若M个数的平均数是X,N个数的平均数是V,则这M+N个数的平均数

是（）

X+YcX+yMX+NYMX+NY

AA.-----B.-----C.--------D.--------

2M+NM+NX+Y

［例5］已知一组数据不再，…，/的方差是2,

且G-3尸+（修-3尸+…-3f=380,则这组数据的平均数工=.

【例6】求下列各组数据的方差与标准差（精确到0.1）,并分析由这些结果可得出什么更

一般的结论.

（1）123456789；

（2）111213141516171819；

（3）24681012141618

【例7】（2022上海18）

在发生某公共卫生大事期间，有专业机构认为该大事在一段时间内没有发生大规模

群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人〃.依据过去1。天甲、

乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，肯定符合该标志的是（）

A.甲地：总体均为3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

【例8】（2022四川卷文）

设矩形的长为明宽为〃，其比满意。之0.618,这种矩形给人以美感，

称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取两个