安徽省阜阳市大田中学2024-2025学年 高二下册第一次学情诊断数学试题有解析

/2024-2025学年高二年级下学期第一次学情诊断数学试卷一、选择题1．已知复数z满足：，则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则()A. B. C. D.3．在等差数列中,,,则公差等于()A.1 B.2 C.3 D.44．幂函数,,都有成立,则下列说法正确的是()A. B.或C.是奇函数 D.是偶函数5．如图，P是抛物线上一点，F是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则()A.1 B.2 C.4 D.86．已知,且,函数在R上单调递减,则a的取值范围为()A. B. C. D.7．如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点B到直线的距离为()A.2 B. C. D.8．如图，在圆锥中，为底面圆O的直径，过的中点M与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.二、多项选择题9．点P在圆上,点Q在圆上,则()A.圆与圆有4条公切线 B.的最大值为C.的最小值为 D.最大值为10．已知函数,其部分图象如图所示,则下列关于的结论正确的是()A.B.在区间上单调递减C.的图象关于点对称D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象11．在棱长为2的正方体中,M为中点,N为四边形内一点（含边界）,若平面,则下列结论正确的是()A. B.三棱锥的体积为C.点N的轨迹长度为 D.的取值范围为三、填空题12．甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛,采取三场两胜制（当一队赢得两场比赛时,该队获胜,比赛结束）,根据以往比赛成绩可知,甲队每场比赛获胜的概率为.比赛结果没有平局,且各场比赛结果相互独立,则甲队获胜的概率为______________.13．已知椭圆短轴长为4,焦距为3,,分别是椭圆的左、右焦点,若点P为C上的任意一点,的最小值为_____________________.14．已知是等差数列的前n项和,数列的公差为,且是等差数列,则______.四、解答题15．已知集合,.(1)当时,求;(2)若是的充分条件,求实数a的取值范围.16．已知在各项为正的等比数列中,,是与的等差中项.（1）求数列的通项公式;（2）若,,求数列的前n项和.17．棱锥中,平面平面,,,O是棱的中点.(1)证明：平面;(2)求二面角的余弦值.18．已知圆,过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点.(1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点,求四边形EGFH面积的最大值.(2)设曲线C与x轴交于P、Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.19．如图,在平面直角坐标系中,,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连结.

1.若点的坐标为,且,求椭圆的方程;

2.若求椭圆离心率的值.

答案1．答案：A解析：因为，所以，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A2．答案：C解析：根据样本数据平均数公式可知，，方差.故选：C3．答案：B解析：设等差数列的首项为,公差为d,因为,,所以,解得,故选：B.4．答案：C解析：因为是幂函数,所以,解得或,因为,都有成立,所以该函数在是减函数,所以,即,定义域为,则,所以是奇函数,故A、B错误,选项C正确,选项D错误,故选：C.5．答案：B解析：由题可知，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，解得，或，因为点P在第一象限，所以，所以.故选：B.6．答案：C解析：因为在R上单调递减,所以解得.故选：C.7．答案：D解析：以A为原点，分别以，过A垂直于，方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，因为，且四边形是菱形，所以，，且，即，所以，设点B到直线的距离为d，所以，故选：D.8．答案：C解析：设，该曲线与圆锥的底面圆交于点H、P，因为，所以，即为等边三角形，又M为的中点，取的中点Q，过S作，交直线于点N，过点N作y轴，以直线为x轴，N为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，所以，又，所以，则点，所以，解得（负值舍去），所以双曲线的离心率.故选：C9．答案：ACD解析：因为圆心,半径,圆,即圆心,半径,则,所以两圆外离,所以两圆有四条公切线,A正确;,,故B错误,C正确：当与圆相切时最大,且,,则,所以最大值为,故D正确.故选：ACD.10．答案：AC解析：由图可知,,,,,,将点代入,由于,所以,所以,故A正确：,所以在区间上不单调,故B错误：得的图象关于点对称,故C正确：,故D错误.故选：AC.11．答案：BD解析：在棱长为2的正方体中,M为中点,N为四边形内一点（含边界）,平面,取、中点分别为、E,连接、、、,,如图:为正方体,M为中点,E为中点,,,,,、平面,、平面,且,,平面平面,为四边形内一点（含边界）,且平面,点N在线段上（含端点）,对于A:当N在时,则与的夹角为,此时,则与不垂直,故A不正确;对于B为四边形内一点（含边界）,到平面的距离为2,三棱锥的体积为,故B正确;对于C:由于点N在线段上（含端点）,而,点的轨迹长度为,故C不正确;对于D为正方体,平面,平面,,为直角三角形,且直角为,,点N在线段上（含端点）,则当最大时,即点N为点时,此时,此时最小,为,当最小时,即,此时,此时最大,最大为,则的取值范围,故D正确.故选:BD.12．答案：解析：甲队获胜的事件是比赛两局获胜和比赛三局获胜的事件和,它们互斥,所以甲队获胜的概率为.故答案为.13．答案：解析：,当且仅当时等号成立,的最小值为,故答案为.14．答案：解析：由题意,,,所以,因为是等差数列,则通项是一次函数型,则能整理成完全平方型,所以,化简得,所以,即.故答案为.15．答案：(1)(2)解析：(1)由题意得,或当时,,所以,(2)因为或,所以,若是的充分条件,则所以,,解得,所以,实数a的取值范围是.16．答案：（1）（2）解析：（1）设各项为正的等比数列的公比为,由,所以,,因为是与的等差中项,所以,化简得,解得,（舍去）,所以数列的通项公式为;（2）由（1）可得,,所以,,两式相减得,所以.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：因为,O是棱的中点,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.(2)因为平面,平面,所以,因为,O是棱的中点,所以,所以,,两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系,因为,,所以,,,所以,,,由上可知为平面的一个法向量,设平面的一个法向量为,则,故,取,则,所以,所以由图可知二面角的余弦值为.18．答案：(1)7(2)点N恒在定直线解析：(1)法一:令点C到直线m,l距离分别为,,则,当且仅当时S取到最大值7法二:令,则当时,当且仅当时S取到最大值7当时,,,综上,当时S取到最大值7(2)不妨记,,令,恒成立,,,,,,,所以点N恒在定直线.19．答案