正六棱锥题目及答案

正六棱锥题目及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.正六棱锥底面边长为a，侧棱长为2a，则斜高为（）A.$\sqrt{3}a$B.$\sqrt{5}a$C.$\sqrt{7}a$D.2a2.正六棱锥的底面外接圆半径与高相等，则其侧棱与底面所成角为（）A.30°B.45°C.60°D.75°3.一个正六棱锥的底面周长为24，则底面面积为（）A.$12\sqrt{3}$B.$24\sqrt{3}$C.$36\sqrt{3}$D.$48\sqrt{3}$4.正六棱锥相邻两侧面所成二面角的平面角是（）A.锐角B.直角C.钝角D.不确定5.正六棱锥的高为h，底面边长为a，则侧棱长为（）A.$\sqrt{h^{2}+a^{2}}$B.$\sqrt{h^{2}+(\sqrt{3}a)^{2}}$C.$\sqrt{h^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2}}$D.$\sqrt{h^{2}+(\frac{2\sqrt{3}}{3}a)^{2}}$6.正六棱锥的侧面与底面所成角为60°，底面边长为2，则其侧棱长为（）A.2B.4C.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$7.若正六棱锥的侧棱长为5，底面边长为3，则它的高为（）A.4B.$\sqrt{25-9}$C.$\sqrt{25-\frac{9}{4}}$D.$\sqrt{25-\frac{27}{4}}$8.正六棱锥的底面面积为$24\sqrt{3}$，高为4，则其体积为（）A.$32\sqrt{3}$B.$96\sqrt{3}$C.$32$D.969.正六棱锥的侧面积是底面积的2倍，底面边长为a，则斜高为（）A.aB.$\frac{3}{2}a$C.2aD.3a10.正六棱锥的底面边长与侧棱长相等，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{3}$多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于正六棱锥的说法正确的是（）A.底面是正六边形B.六个侧面全等C.侧棱长都相等D.侧棱与底面所成角都相等2.正六棱锥中，若底面边长为a，侧棱长为b，则（）A.斜高可以用a、b表示B.高可以用a、b表示C.侧面积为$3a\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$D.体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$3.下列条件能确定一个正六棱锥的是（）A.底面边长和高B.底面边长和侧棱长C.底面外接圆半径和斜高D.侧面与底面所成角和底面边长4.正六棱锥的性质有（）A.顶点在底面上的射影是底面正六边形的中心B.相邻两侧面所成二面角大于侧面与底面所成角C.侧棱与底面所成角小于侧面与底面所成角D.侧面积一定大于底面积5.若正六棱锥的底面边长为a，高为h，则（）A.侧棱长为$\sqrt{h^{2}+a^{2}}$B.斜高为$\sqrt{h^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}$C.侧面积为$3a\sqrt{h^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}$D.体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}h$6.正六棱锥的下列说法正确的是（）A.侧棱与底面所成角的正弦值一定小于1B.侧面与底面所成角的余弦值一定大于0C.相邻两侧面所成二面角的平面角一定是锐角D.侧棱长一定大于底面边长7.正六棱锥中，关于其相关量的关系正确的是（）A.侧棱长的平方等于高的平方与底面中心到底面顶点距离的平方和B.斜高的平方等于高的平方与底面中心到边中点距离的平方和C.侧面积等于底面周长与斜高乘积的一半D.体积等于底面积与高乘积的三分之一8.对于正六棱锥，以下说法正确的是（）A.当底面边长固定时，高越大，侧棱长越大B.当高固定时，底面边长越大，侧棱长越大C.当侧棱长固定时，底面边长越大，高越小D.当斜高固定时，底面边长越大，高越大9.正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，以下式子正确的是（）A.底面面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$B.侧面积为$6\times\frac{1}{2}a\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$C.高为$\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$D.体积为$\frac{1}{3}\times\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$10.正六棱锥具有的特征有（）A.是空间几何体B.有7个面C.有12条棱D.有7个顶点判断题（每题2分，共10题）1.正六棱锥的所有侧棱都平行。（）2.正六棱锥的底面是正六边形，各侧棱长可以不相等。（）3.正六棱锥相邻两侧面所成二面角一定是钝角。（）4.正六棱锥的高就是顶点到底面的距离。（）5.若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则其侧面与底面所成角为45°。（）6.正六棱锥的侧面积一定大于底面积。（）7.正六棱锥顶点在底面上的射影是底面正六边形的中心。（）8.正六棱锥的斜高一定大于高。（）9.正六棱锥的体积等于底面积乘以高。（）10.正六棱锥的六个侧面都是等腰三角形。（）简答题（每题5分，共4题）1.简述正六棱锥的定义。答案：底面是正六边形，且顶点在底面的射影是底面正六边形中心的棱锥叫正六棱锥。2.正六棱锥底面边长为a，求底面面积。答案：正六棱锥底面是正六边形，由正六边形面积公式，其面积$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$。3.正六棱锥侧棱长为l，底面边长为a，求高。答案：底面中心到底面顶点距离为a，根据勾股定理，高$h=\sqrt{l^{2}-a^{2}}$。4.说明正六棱锥侧棱与底面所成角的特点。答案：正六棱锥侧棱与底面所成角都相等，且顶点在底面射影为底面中心，此角的正切值等于高与底面中心到底面顶点距离的比值。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论正六棱锥中侧面与底面所成角和侧棱与底面所成角的大小关系。答案：设正六棱锥高为h，底面中心到底面顶点距离为r，到底边中点距离为$r_1$。侧棱与底面所成角$\alpha$，$\tan\alpha=\frac{h}{r}$；侧面与底面所成角$\beta$，$\tan\beta=\frac{h}{r_1}$，$r_1\ltr$，所以$\tan\beta\gt\tan\alpha$，则$\beta\gt\alpha$。2.若正六棱锥的体积固定，如何改变底面边长和高来使侧面积最小？答案：设底面边长为a，高为h，体积$V=\frac{\sqrt{3}}{6}a^{2}h$（固定），侧面积$S=3a\sqrt{h^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}$。由体积公式得$h=\frac{6V}{\sqrt{3}a^{2}}$，代入侧面积公式，利用导数等方法求最值，可知当底面边长与高满足一定关系（具体关系通过求导计算得出）时侧面积最小。3.正六棱锥在生活中有哪些实际应用？举例并说明原理。答案：比如一些建筑的顶部设计成正六棱锥形状。原理是正六棱锥形状规则、美观，且具有较好的稳定性。像某些宫殿建筑顶部，既展现独特造型，又能利用其结构特性承载重量，分散压力。4.讨论正六棱锥的对称性特点。答案：正六棱锥具有轴对称性，有6条对称轴，分别是顶点与底面正六边形对边中点连线所在直线；具有中心对称性，对称中心是顶点在底面的射影，即底面正六边形中心。其六个侧面关于对称中心和对称轴具有对称关系。答案单项选择题1.C2.B3.B4.C5.D6