2023-2024学年福建省福清市高二下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福清市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效；3.考试结束，考生必须将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，，则（）A.7 B.8 C.10 D.11【答案】A【解析】依题意，得，，故选：A2.福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（）A.28 B.56 C.64 D.112【答案】B【解析】火车票是要分出发站与到达站，是有顺序的，故不同的火车票的种数为：，故选：B3.已知函数，则（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】，令，得，得，则，得，故选：C4.将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】每个小球都有3种不同的选择，根据乘法原理可知，所求即为.故选：A.5.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】法一：因为，所以，当时，，此时在上单调递增，当时，，令得，解得，令得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，要想在上单调递增，则，解得，故，综上，，由于是的真子集，则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.法二：由题可得在上恒成立，即恒成立，又，所以，下面同解法一.故选：A6.地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（）种.A.84 B.72 C.48 D.24【答案】A【解析】将图形区域氛围上下左右，若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，所以共有种，故选：A7.在等差数列中，，则（）A.7 B.11 C.14 D.16【答案】C【解析】设公差为，则，所以故.故选：C8.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得：，因为函数的定义域为，则当时，，所以在和上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以当时，有极大值，又由，得，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】对于A项，为常数，则，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，则，故C项正确；对于D项，，故D项错误，故选：BC10.已知函数，则（）A.的极大值点为 B.的极大值为C.有两个零点 D.直线是曲线的一条切线【答案】ABD【解析】AB选项，的定义域为，，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故的极大值点为，极大值为，AB正确；C选项，由于极大值为，当时，恒成立，趋向于0时，趋向于，故在上存在一个零点，在上无零点，综上，函数只有1个零点，C错误；D选项，设切点，，，故，显然，故为方程的一个根，故切点为，故切线方程为，故D正确.故选：ABD11.如图，满足，，以的斜边为第2个直角三角形的直角边，且，再以的斜边为第3个直角三角形的直角边，且，依此方法一直继续下去，记第个直角三角形为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】根据题意得、、、、构成相似三角形，其相似比等于．对于A，在中，，在中，，可知A项正确；对于B，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理得，所以，故B项正确；对于C，由前面的分析，可知，可知C项不正确；对于D，根据题意得、、、、的长度成等比数列，其中首项，公比，结合，可得，故D项正确．故选：ABD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列中，，，则__________【答案】4【解析】在等比数列中，奇数项都是同号的，则，由，得，故答案为：413.有4人到甲､乙､丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为__________.（用数字作答）【答案】36【解析】根据题意，四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有种不同的录用情况；故答案为：36．14.已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为有且仅有一个零点，显然不是零点，故只有一个非零实数根，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，，，当时，，，其大致图象如图所示，结合函数图象可知，当时，符合题意．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.（1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件.（ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？（ⅱ）抽出3件中至少有1件次品的抽法有多少种？（2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法.（ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？（ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？解：（1）（ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品，则有种不同的抽法；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况：只有1件次品的抽法和2件次品的抽法，由（ⅰ）得有2件次品抽法为种不同的抽法，只1件次品的抽法为种不同的抽法，共有种不同的抽法；解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有种不同的抽法；（2）（ⅰ）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法；（ⅱ）解法一：因为5个人全排列有排法，且A站左端有种排法，B站右端有种排法，A站左端且B站右端有种排法，所以A不站左端，且B不站右端有种排法；解法二：依题意可得：整件事可分为B站左端，和B不站左端．若B站左端，则其他4人全排列，有种排法；若B不站左端，则其他3人中选出1人站在左端，有种选法，又由于B不站左端，也不站右端，有种排法，剩下3人有有种排法，所以B不站左端有排法；所以A不站左端，且B不站右端有排法.16.设为数列的前项和，已知，.（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，则，因为①，所以时，②，由①－②得，时，，即，因为，所以，即，故是以1为首项，1为公差等差数列；（2）由（1），得，所以，.17.设是函数的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为.（1）求实数，的值；（2）求的极值.解：（1）因，所以，所以，又因为函数的对称中心为，所以，即，解得.（2）由（1）知，，所以，由，得或，·当变化时，，的变化情况如下表所示：12002因此，的极大值为，极小值为.18.已知数列与等差数列，若，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）因为，所以，又，得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，故，则，设等差数列的公差为，则，解得，所以．（2）由（1）知，，，所以，所以，，两式相减，得，故．19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线的斜率；（2）若，讨论的单调性；（3）若，且时，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为，，所以，又因为函数的图象过点，所以，即，故，解得，所以，故，即曲线在点处的切线的斜率为.（2）因为，所以，所以，当时，，在区间R上单调递增；当时，令，解得，当时，；当时，，所以函数在单调递减，在单调递增.综上：当时，在区间R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）因为，所以，所以，设，则，所以，时，所以在上单调递增，且；①当时，，即，所以函数在上单调递增，所以当时，，所以符合题意，.②当时，又在上单调递增，且，当时，，，使得，，，即，所以在上单调递减；，，即，所以在上单调递增，所以，所以不合题意.综上，实数的取值范围为.福建省福清市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效；3.考试结束，考生必须将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，，则（）A.7 B.8 C.10 D.11【答案】A【解析】依题意，得，，故选：A2.福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（）A.28 B.56 C.64 D.112【答案】B【解析】火车票是要分出发站与到达站，是有顺序的，故不同的火车票的种数为：，故选：B3.已知函数，则（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】，令，得，得，则，得，故选：C4.将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】每个小球都有3种不同的选择，根据乘法原理可知，所求即为.故选：A.5.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】法一：因为，所以，当时，，此时在上单调递增，当时，，令得，解得，令得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，要想在上单调递增，则，解得，故，综上，，由于是的真子集，则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.法二：由题可得在上恒成立，即恒成立，又，所以，下面同解法一.故选：A6.地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（）种.A.84 B.72 C.48 D.24【答案】A【解析】将图形区域氛围上下左右，若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，所以共有种，故选：A7.在等差数列中，，则（）A.7 B.11 C.14 D.16【答案】C【解析】设公差为，则，所以故.故选：C8.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得：，因为函数的定义域为，则当时，，所以在和上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以当时，有极大值，又由，得，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】对于A项，为常数，则，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，则，故C项正确；对于D项，，故D项错误，故选：BC10.已知函数，则（）A.的极大值点为 B.的极大值为C.有两个零点 D.直线是曲线的一条切线【答案】ABD【解析】AB选项，的定义域为，，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故的极大值点为，极大值为，AB正确；C选项，由于极大值为，当时，恒成立，趋向于0时，趋向于，故在上存在一个零点，在上无零点，综上，函数只有1个零点，C错误；D选项，设切点，，，故，显然，故为方程的一个根，故切点为，故切线方程为，故D正确.故选：ABD11.如图，满足，，以的斜边为第2个直角三角形的直角边，且，再以的斜边为第3个直角三角形的直角边，且，依此方法一直继续下去，记第个直角三角形为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】根据题意得、、、、构成相似三角形，其相似比等于．对于A，在中，，在中，，可知A项正确；对于B，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理得，所以，故B项正确；对于C，由前面的分析，可知，可知C项不正确；对于D，根据题意得、、、、的长度成等比数列，其中首项，公比，结合，可得，故D项正确．故选：ABD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列中，，，则__________【答案】4【解析】在等比数列中，奇数项都是同号的，则，由，得，故答案为：413.有4人到甲､乙､丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为__________.（用数字作答）【答案】36【解析】根据题意，四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有种不同的录用情况；故答案为：36．14.已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为有且仅有一个零点，显然不是零点，故只有一个非零实数根，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，，，当时，，，其大致图象如图所示，结合函数图象可知，当时，符合题意．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.（1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件.（ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？（ⅱ）抽出3件中至少有1件次品的抽法有多少种？（2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法.（ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？（ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？解：（1）（ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品，则有种不同的抽法；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况：只有1件次品的抽法和2件次品的抽法，由（ⅰ）得有2件次品抽法为种不同的抽法，只1件次品的抽法为种不同的抽法，共有种不同的抽法；解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有种不同的抽法；（2）（ⅰ）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法；（ⅱ）解法一：因为5个人全排列有排法，且A站左端有种排法，B站右端有种排法，A站左端且B站右端有种排法，所以A不站左端，且B不站右端有种排法；解法二：依题意可得：整件事可分为B站左端，和B不站左端．若B站左端，则其他4人全排列，有种排法；若B不站左端，则其他3人中选出1人站在左端，有种选法，又由于B不站左端，也不站右端，有种排法，剩下3人有有种排法，所以B不站左端有排法；所以A不站左端，且B不站右端有排法.16.设为数列的前项和，已知，.（1）求证：是等差数列；（2）