2023-2024学年福建省福州市八县（市）协作校高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命题“”的否定是“”.故选：D2.在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误；对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确；对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误；对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误；故选：B．3.假如女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，已知父亲身高为，则（）A.女儿的身高必为 B.女儿的身高估计为C.女儿的身高必为 D.女儿的身高估计为【答案】B【解析】由，，代入得，故选：B4.是离散型随机变量，，那么和分别是()A. B.C. D.【答案】D【解析】由期望和方差的运算性质知E(X1)=E(2X－5)=2E(X)-5=7D(X1)=D(2X－5)=D(X)＝2,故选D5.已知随机变量，随机变量，若,，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，因，所以，又，所以A正确；故选：A6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，排除C；当时，，排除AB选项.故选：D.7.已知为不相等的正实数，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得：，构造函数，则，可知在上递增，结合，得，即由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，所以.故选：C.8.已知函数的定义域为R，且．若函数有唯一零点，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】因为函数的定义域为R，且，所以函数的图象关于轴对称，由有唯一零点知，有唯一根，即与的图象有唯一交点，而图象关于对称，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由于，则，所以，故，A正确，对于B，若时，，故B错误，对于C，由于，所以，故，C正确，对于D,由于，故，D正确，故选：ACD10.高斯取整函数又称“下取整函数”，其中表示不大于最大整数，如．若函数，则的值可能是（）A.0 B. C.1 D.2【答案】AB【解析】由题意可得，则对应的图象为：由图象可知.故选：AB11.若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，令，则，得，所以A错误，对于B，令，则，所以，所以B正确，对于C，由，得，令，则，所以，所以C正确，对于D，令，则，所以，所以，所以D正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值是__________.【答案】【解析】函数，则，所以.故答案为：13.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号）【答案】②【解析】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条，当时，，所以曲线③是函数的图象，函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以的图象是曲线②.故答案为：②.14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）【答案】30【解析】当丙、丁参加同一项活动时，共有种；当丙、丁不参加同一项活动时，共有种；综上，共有30种不同的安排方案．故答案为：30四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由，得，解得，所以．当时，，所以，又，所以．（2）①若，则，即．此时满足．②若，则，要使，当且仅当，解得．综上，的取值范围为．16.当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；（2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：，.解：（1）由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为，所以，解得，即注射了药品，的值为.（2）设药物注射量为，则小时后残余量为，设药物注射量为，则小时后残余量为，又题可知，药物注射量为，药物注射量为，设小时后残余量相同，则，即，两边取对数可得，即，即，即，即，即，解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望．解：（1）设事件“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则．现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为，则，所以恰好有2袋是三等品的概率（2）设方案二中糖果的售价为，则（元），因为，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二．（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋．依题意，X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3．，，，所以的分布列为0123所以．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：，．0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828解：（1）根据题意，可得的列联表：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场30535甲球员未上场257合计321042零假设为：球队的胜负与甲球员是否上场无关，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于；（2）设“甲球员上场打前锋”，“甲球员上场打中场”，“甲球员上场打后卫”，“球队获得胜利”．则，且两两互斥，依题意得，,；（ⅰ）由全概率公式得；（ⅱ）“如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率，则所求概率.19.已知函数．（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出的草图；（2）若，都有，求实数的取值范围．解：（1）①定义域：的定义域为．②值域：因为，，，所以，故的值域为．③奇偶性：，，，所以为奇函数．④单调性：，且，则，所以，即，所以为增函数．⑤当时，，；当时，，．所以直线为图象的渐近线．综合上述讨论，可作出的草图如下：（2）当时，，由（1）知，为增函数，所以，由（1）知的值域为，故的取值范围为所以，都有，等价于对于都成立，记，则或解得，综上，的取值范围是．福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命题“”的否定是“”.故选：D2.在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误；对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确；对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误；对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误；故选：B．3.假如女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，已知父亲身高为，则（）A.女儿的身高必为 B.女儿的身高估计为C.女儿的身高必为 D.女儿的身高估计为【答案】B【解析】由，，代入得，故选：B4.是离散型随机变量，，那么和分别是()A. B.C. D.【答案】D【解析】由期望和方差的运算性质知E(X1)=E(2X－5)=2E(X)-5=7D(X1)=D(2X－5)=D(X)＝2,故选D5.已知随机变量，随机变量，若,，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，因，所以，又，所以A正确；故选：A6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，排除C；当时，，排除AB选项.故选：D.7.已知为不相等的正实数，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得：，构造函数，则，可知在上递增，结合，得，即由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，所以.故选：C.8.已知函数的定义域为R，且．若函数有唯一零点，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】因为函数的定义域为R，且，所以函数的图象关于轴对称，由有唯一零点知，有唯一根，即与的图象有唯一交点，而图象关于对称，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由于，则，所以，故，A正确，对于B，若时，，故B错误，对于C，由于，所以，故，C正确，对于D,由于，故，D正确，故选：ACD10.高斯取整函数又称“下取整函数”，其中表示不大于最大整数，如．若函数，则的值可能是（）A.0 B. C.1 D.2【答案】AB【解析】由题意可得，则对应的图象为：由图象可知.故选：AB11.若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，令，则，得，所以A错误，对于B，令，则，所以，所以B正确，对于C，由，得，令，则，所以，所以C正确，对于D，令，则，所以，所以，所以D正确，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值是__________.【答案】【解析】函数，则，所以.故答案为：13.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号）【答案】②【解析】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条，当时，，所以曲线③是函数的图象，函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以的图象是曲线②.故答案为：②.14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有____种不同的安排方案．（用数字作答）【答案】30【解析】当丙、丁参加同一项活动时，共有种；当丙、丁不参加同一项活动时，共有种；综上，共有30种不同的安排方案．故答案为：30四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由，得，解得，所以．当时，，所以，又，所以．（2）①若，则，即．此时满足．②若，则，要使，当且仅当，解得．综上，的取值范围为．16.当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；（2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：，.解：（1）由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为，所以，解得，即注射了药品，的值为.（2）设药物注射量为，则小时后残余量为，设药物注射量为，则小时后残余量为，又题可知，药物注射量为，药物注射量为，设小时后残余量相同，则，即，两边取对数可得，即，即，即，即，即，解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：等级一等品二等品三等品袋数404020（1）若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；（2）用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元；方案二：按品级出售，售价如下：等级一等品二等品三等品售价（元）242217为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为，求的分布列与数学期望．解：（1）设事件“从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则．现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为，则，所以恰好有2袋是三等品的概率（2）设方案二中糖果的售价为，则（元），因为，从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二．（3）用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋．依题意，X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3．，，，所以的分布列为0123所以．18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：上场球队的胜负情况合计胜负甲球员上场535甲球员未上场7合计3242（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6