2023-2024学年广东省梅州市高二下学期7月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，所以.故选：B.2.已知命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由题意可知：为，.故选：D.3.若，，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充分必要【答案】C【解析】由，得不出，所以“”是“”的不充分条件，又，得不出，所以“”是“”的不必要条件，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：C.4.小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记其通过面试为事件A，若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中，则，所以.故选：C.5.展开式中的常数项为（）A.6 B.18 C. D.【答案】A【解析】由题意可知：展开式中的常数项为.故选：A.6.（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】由题意可得：，即.故选：B.7.若制作一个容积为的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（）（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】设容积为的无盖正四棱柱容器底面边长，则高为，则容器的表面积为，则，令，得，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当，取最小值，所以最小值为，所以底面边长为，所用材料最省.故选：A.8.已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A，“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B，则，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量乙类水果的平均质量，A正确；对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，所以，B错误；对于C，D，根据正态曲线图像可知所以，C错误，D正确；故选：AD.10.某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则附：．a0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多B.用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65C.根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关D.根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关【答案】AC【解析】由题意可知：抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，对于女生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；对于男生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；对于选项A：因为，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A正确；对于选项B：其热爱阅读的频率为，用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误；对于选项CD：根据题意可得列联表性别热爱阅读合计是否女生641680男生5050100合计11466180零假设：学生是否热爱阅读与性别无关，则，根据根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误；故选：AC.11.已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（）A.的最大值为37B.的最小值为C.在处导数等于0D.当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4【答案】BC【解析】对于A：，当时，最大值为，故A错误；对于B：，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确；对于D：设，所以点的轨迹为直线，令，则的轨迹方程为，又表示点与的距离的平方，又，，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________．10P0.50.3q【答案】0.3【解析】由题意可得：，解得.故答案为：0.3.13.写出在处的切线方程为的一个二次函数________．【答案】（满足均可）.【解析】设二次函数，则，由题意可得：，例如取，则.故答案为：（满足均可）.14.摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式________．【答案】；【解析】设标记点为，圆心为，作，如图所示：旋转时间，则，则，可得，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，的图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为．（1）求ω和φ的值；（2）若，，求的值．（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以，所以，函数的图象关于直线对称，所以，所以，所以，又，所以；（2）所认，，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，；（3）因为，又，则有，所以，由，使得关于的不等式成立，所以，实数的取值范围为．16.某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：单价x/元180190200210220月销量y/个5752423227（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）参考公式：．参考数据：．解：（1）由表中数据求得：，，则故关于的回归直线方程为.（2）设每月的总利润，因为抛物线的对称轴方程为，所以该拖把月利润最大时，该商品单价为196元.17.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围．解：（1）若，则，可知的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数有极小值，无极大值.（2）因为，且，若函数在区间上为单调函数，则有：当函数在区间上为单调递增函数，则，可得，原题意等价于对任意恒成立，可知在区间上为单调递增函数，当时，取到最小值1，可得；当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，原题意等价于对任意恒成立，可知在区间上为单调递增函数，当时，取到最大值6，可得；综上所述：或，所以a的取值范围为.18.如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是．（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？解：（1）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为，由题意可知：，所以其恰遇到一次堵车的概率.（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为，可知，则，可得，，，，所以其遇到堵车的概率.（3）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：，所以平均拥堵时间为分钟；若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为，由（2）可得：，，，则，所以平均拥堵时间为分钟；因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好.19.设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：①，且Q中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合Q为集合P的“耦合集”．（1）若集合，求集合P1的“耦合集”；（2）集合，且，若集合存在“耦合集”．（i）求证：对于任意，有；（ii）求集合“耦合集”的元素个数．解：（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；检验可知均满足条件③，所以，检验可知：或也符合题意，所以或或.（2）（ⅰ）因为，，由已知条件②得的可能元素为：，由条件③可知，且，可得，同理可得，所以对于任意，有；（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，则，即，同理可得：，则，又因为的可能元素为：，即，假设还存在其他元素，因为，可知，由集合性质可知：或，则或，即或，假设不成立，所以不存在其他元素，所以共5个元素.广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，所以.故选：B.2.已知命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由题意可知：为，.故选：D.3.若，，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充分必要【答案】C【解析】由，得不出，所以“”是“”的不充分条件，又，得不出，所以“”是“”的不必要条件，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：C.4.小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记其通过面试为事件A，若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中，则，所以.故选：C.5.展开式中的常数项为（）A.6 B.18 C. D.【答案】A【解析】由题意可知：展开式中的常数项为.故选：A.6.（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】由题意可得：，即.故选：B.7.若制作一个容积为的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（）（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】设容积为的无盖正四棱柱容器底面边长，则高为，则容器的表面积为，则，令，得，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当，取最小值，所以最小值为，所以底面边长为，所用材料最省.故选：A.8.已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A，“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B，则，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量乙类水果的平均质量，A正确；对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，所以，B错误；对于C，D，根据正态曲线图像可知所以，C错误，D正确；故选：AD.10.某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则附：．a0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多B.用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65C.根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关D.根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关【答案】AC【解析】由题意可知：抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，对于女生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；对于男生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；对于选项A：因为，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A正确；对于选项B：其热爱阅读的频率为，用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误；对于选项CD：根据题意可得列联表性别热爱阅读合计是否女生641680男生5050100合计11466180零假设：学生是否热爱阅读与性别无关，则，根据根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误；故选：AC.11.已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（）A.的最大值为37B.的最小值为C.在处导数等于0D.当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4【答案】BC【解析】对于A：，当时，最大值为，故A错误；对于B：，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确；对于D：设，所以点的轨迹为直线，令，则的轨迹方程为，又表示点与的距离的平方，又，，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________．10P0.50.3q【答案】0.3【解析】由题意可得：，解得.故答案为：0.3.13.写出在处的切线方程为的一个二次函数________．【答案】（满足均可）.【解析】设二次函数，则，由题意可得：，例如取，则.故答案为：（满足均可）.14.摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式________．【答案】；【解析】设标记点为，圆心为，作，如图所示：旋转时间，则，则，可得，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，的图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为．（1）求ω和φ的值；（2）若，，求的值．（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以，所以，函数的图象关于直线对称，所以，所以，所以，又，所以；（2）所认，，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，；（3）因为，又，则有，所以，由，使得关于的不等式成立，所以，实数的取值范围为．16.某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：单价x/元180190200210220月销量y/个5752423227（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）参考公式：．参考数据：．解：（1）由表中数据求得：，，则故关于的回归直线方程为.（2）设每月的总利润，因为抛物线的对称轴方程为，所以该拖把月利润最大时，该商品单价为196元.17.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围．解：（1）若，则，可知的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数有极小值，无极大值.（2）因为，且，若函数在区间上为单调函数，则有：当函数在区间上为单调递增函数，则，可得，原题意等价于对任意恒成立，可知在区间上为单调递增函数，当时，取到最小值1，可得；当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，原题意等价于对任意恒成立，可知在区间上为单调递增函数，当时，取到最大值6，可得；综上所述：或，所以a的取值范围为.1