2023-2024学年河南省金科新未来高二下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省金科新未来2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列满足，且，则首项（）A. B.0 C.1 D.3【答案】C【解析】设等差数列an的公差为，因，且，所以，所以．故选：C．2.已知曲线在点处的切线方程是，则（）A. B. C.1 D.-1【答案】A【解析】函数，求导得，依题意，，得，显然，因此，所以．故选：A.3.在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（）A.4 B.3 C.1 D.2【答案】D【解析】因为与的等比中项为2，所以，所以．故选：D．4.函数的最大值是（）A. B.0 C.2 D.3【答案】A【解析】因为，所以，令f'x>0，得，令f'所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是．故选:A．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且AB=8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为设双曲线的一条渐近线方程为，则，.故选：D．6.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C D.【答案】B【解析】由函数，可得，因为函数在区间上单调递减，可得在恒成立，即恒成立，设，则，所以，所以在单调递减，所以.故选：B．7.已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为数列是正奇数数列，对于数列等价于，当为奇数时，设，则为奇数；当为偶数时，设，则为偶数，所以，所以.故选：B．8.在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（）A.120 B.135 C.210 D.225【答案】D【解析】根据题意，可分为三种情况：①质点往右移动4次，往左移动2次，，②质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，，③质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，，所以质点移动的方法总数为225.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（）A.不可能为等比数列B.anC.是等差数列D.是等比数列【答案】BC【解析】对于A中，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以A错误．对于B中，当为常数列时，因为为等差数列，所以anbn对于C中，设的公差为，则，可得，因为，所以数列是等差数列，所以C正确．对于D中，设的公比为，则，当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误．故选：BC．10.已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（）A.到直线的距离为2B.以为圆心，为半径的圆与相切C.直线斜率的最大值为2D.若，则的面积为2【答案】ABD【解析】A选项，易知，准线，所以到直线的距离为2，A选项正确；B选项，由抛物线的定义，点到准线的距离等于，所以以为圆心，为半径的圆与相切，B选项正确；C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，与抛物线联立可得：，令得：，所以直线斜率的最大值为1，C选项错误；D选项，，设，则，解得，所以的面积为，D选项正确.故选：ABD．11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为C.若有两个零点，则D.若，且，则的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，当时，，令，则，，，当时，恒成立，在上单调递增；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；对于B，当时，，又为正实数，，，当时，恒成立，在上单调递增，则由得：，即，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，则正实数的最小值为，B正确；对于C，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，，，，，即，在上单调递增，，即，，可知不成立，C错误；对于D，由，得：，即，由C知：在上单调递减，在上单调递增；，，则，，，即，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知变量和的统计数据如下表：123451.5244.5若由表中数据得到经验回归直线方程为，则_________．【答案】3【解析】易知，经验回归直线过样本点的中心，所以，所以，解得．故答案为：13.已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由的图象经过第一象限，得，使得，即，设，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，则有，即，所以实数的取值范围是．14.不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．【答案】【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为，取走2个黑球的方法数为，所以乙取出白球的概率为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设为的前项和，求的最小值．解：（1）设an的公差为，则，依题意，，即，整理得，，解得，或（舍），所以；（2），因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．16.如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）因为为的中点，，所以，因平面平面，所以，又平面；所以平面；（2）若，则两两垂直，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以平面的一个法向量为，易知平面平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17.某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲，（1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；（2）用随机变量表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求的分布列与期望．解：（1）记事件“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则，所以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为；（2）的所有可能取值分别为0，1，2，则，，，的分布列为012所以的期望为．18.已知椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，为坐标原点，当时，．（1）求的方程；（2）过的另一条直线交于两点，设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的最大值．解：（1）设焦距为，当时，将代入椭圆方程可得，，解得y=±b2所以，又，解得，所以的方程为；（2）设直线，与椭圆线方程联立可得，，由韦达定理，，所以，同理可得，，，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．19.已知函数，gx=（1）若在上恒成立，求k的取值范围；（2）设为图象上一点，为图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：．解：（1）令函数，求导得，则函数在上单调递增，从而，即，因此，当时，，符合题意；当时，令函数，，则，在上单调递增，且，，则存在，使得，且时，，即单调递减，则当时，，与题意矛盾，所以k的取值范围是.（2）依题意，由，得，即，亦即，因为，则不等式为，设，则不等式为，设，则，设，则，函数在上单调递减，因此，即，即在上单调递减，因此由，得，即，设，则，由（1）可知，则有，从而，即，在上单调递增，因此φx>φ0=0，从而所以．河南省金科新未来2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列满足，且，则首项（）A. B.0 C.1 D.3【答案】C【解析】设等差数列an的公差为，因，且，所以，所以．故选：C．2.已知曲线在点处的切线方程是，则（）A. B. C.1 D.-1【答案】A【解析】函数，求导得，依题意，，得，显然，因此，所以．故选：A.3.在各项为正的等比数列中，与的等比中项为2，则（）A.4 B.3 C.1 D.2【答案】D【解析】因为与的等比中项为2，所以，所以．故选：D．4.函数的最大值是（）A. B.0 C.2 D.3【答案】A【解析】因为，所以，令f'x>0，得，令f'所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值是．故选:A．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且AB=8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为设双曲线的一条渐近线方程为，则，.故选：D．6.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C D.【答案】B【解析】由函数，可得，因为函数在区间上单调递减，可得在恒成立，即恒成立，设，则，所以，所以在单调递减，所以.故选：B．7.已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为数列是正奇数数列，对于数列等价于，当为奇数时，设，则为奇数；当为偶数时，设，则为偶数，所以，所以.故选：B．8.在平面坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（）A.120 B.135 C.210 D.225【答案】D【解析】根据题意，可分为三种情况：①质点往右移动4次，往左移动2次，，②质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，，③质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，，所以质点移动的方法总数为225.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（）A.不可能为等比数列B.anC.是等差数列D.是等比数列【答案】BC【解析】对于A中，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以A错误．对于B中，当为常数列时，因为为等差数列，所以anbn对于C中，设的公差为，则，可得，因为，所以数列是等差数列，所以C正确．对于D中，设的公比为，则，当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误．故选：BC．10.已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（）A.到直线的距离为2B.以为圆心，为半径的圆与相切C.直线斜率的最大值为2D.若，则的面积为2【答案】ABD【解析】A选项，易知，准线，所以到直线的距离为2，A选项正确；B选项，由抛物线的定义，点到准线的距离等于，所以以为圆心，为半径的圆与相切，B选项正确；C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，与抛物线联立可得：，令得：，所以直线斜率的最大值为1，C选项错误；D选项，，设，则，解得，所以的面积为，D选项正确.故选：ABD．11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为C.若有两个零点，则D.若，且，则的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，当时，，令，则，，，当时，恒成立，在上单调递增；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；对于B，当时，，又为正实数，，，当时，恒成立，在上单调递增，则由得：，即，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，则正实数的最小值为，B正确；对于C，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，，，，，即，在上单调递增，，即，，可知不成立，C错误；对于D，由，得：，即，由C知：在上单调递减，在上单调递增；，，则，，，即，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知变量和的统计数据如下表：123451.5244.5若由表中数据得到经验回归直线方程为，则_________．【答案】3【解析】易知，经验回归直线过样本点的中心，所以，所以，解得．故答案为：13.已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由的图象经过第一象限，得，使得，即，设，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，则有，即，所以实数的取值范围是．14.不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．【答案】【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为，取走2个黑球的方法数为，所以乙取出白球的概率为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设为的前项和，求的最小值．解：（1）设an的公差为，则，依题意，，即，整理得，，解得，或（舍），所以；（2），因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．16.如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，且．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）因为为的中点，，所以，因平面平面，所以，又平面；所以平面；（2）若，则两两垂直，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以平面的一个法向量为，易知平面平面的