2023-2024学年江苏省连云港市高二下学期6月期末调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省连云港市2023-2024学年高二下学期6月期末调研数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义:集合且.若,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由定义得.故选：A.2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B3.由这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（）A.360 B.480 C.600 D.720【答案】D【解析】由题意得第一位上不得为0，故有6种选择，第二位上减去第一位上使用过的数字共有6种选择，同理第三位上有5种选择，第四位上有4种选择，故由分步乘法计数原理得共可以组成个无重复数字的四位数，故选：D4.已知正方体的棱长为分别是和的中点.则两条平行线和间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，分别与交于点，，，平面，平面，又平面，；四边形为正方形，，又平面，，平面，平面，；又，，，和间的距离即为的长；，，，即和间距离为.故选：C.5.已知，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，则，即得，故，则，故，由于，故，故选：C.6.的展开式中的常数项为（）A.-80 B.80 C.-160 D.160【答案】C【解析】因为，展开式的通项为，令，得，所以的展开式中的常数项为，所以即的展开式中的常数项为.故选：C.7.设甲袋中有3个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分两种情况，若第一次交换时从乙袋中拿到红球，则第二次交换时从甲袋中也拿到红球，其概率为，若第一次交换时从乙袋中拿到的是白球，则第二次交换时，从乙袋中拿到的仍然是白球，其概率为，故这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为.故选：A.8.一个密闭的长方体盒子高为4，底面是边长为2的正方形，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】小球在长方体盒子自由滚动当与长方体三面相切时，即在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，不能达到的空间为，此后当小球移动时与长方体的侧面两面相切，其不能达到的空间为以长方体的侧棱中间长为2的棱为棱柱减去底面半径为1的圆柱的四分之一体积（这样的空间有四个），体积为，故小球达不到空间体积为：.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直B.如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直C.如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行D.如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行【答案】AB【解析】对于A，如果一个平面与另一个平面的垂线平行，设两个平面为，两条直线为，如果，则有，进而，所以有，故A正确；对于B，如果一个平面与另一个平面的垂面平行，有三个平面为，设，在平面内作直线，使得，则，过直线作平面，使得，则有,则，因为，所以，故B正确；对于C，如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，当这三点在一条直线上时,这两个平面不一定平行,故C错误；对于D，当直线上的两点位于平面的同侧时，可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直线与平面相交，故D错误.故选：AB.10.已知由样本数据点集合,求得的回归直线方程为,且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（）A.变量与具有正相关关系B.去除后的回归方程为C.重新求得的回归直线必过点D.去除后相应于样本点的残差为-0.05【答案】ACD【解析】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确；对C,将代入回归直线方程为，解得，则样本中心为，去掉两个数据点和后，由于，所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是，故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确；对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故选项不正确；对D,因为，所以，故选项正确．故选：ACD．11.已知一个几何体是由正四棱锥和正四面体组合而成,且，则（）A.该几何体的体积是B.二面角的余弦值是C.该几何体是七面体D.平面平面【答案】ABD【解析】如图，连接、，与交于点，过点作平面于点，连接，由题意得正四棱锥和正四面体的棱长为2，则，，，，所以该几何体的体积=，故A正确；取中点，连接，因为点为中点，所以，，因为平面平面，所以为二面角的平面角，，，，所以二面角的余弦值为，故B正确；由图易知，二面角的平面角为，，，因为，所以二面角与二面角互补，所以平面与平面为同一个平面，同理平面与平面为同一个平面，故该几何体为5个面，故C错；因为，所以四边形为菱形，所以，因为为正四棱锥，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，平面，所以平面平面，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布（试卷满分为120分）.统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为__________.【答案】20【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以成绩不低于90分学生人数为.故答案为：20.13.在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有______种.【答案】90【解析】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品，前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能，前3次测试中的顺序有种可能，由分步计数原理即得共有种可能.故答案为：9014.用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆）,其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆__________kg.（精确到）【答案】【解析】如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高，则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，，所以，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求函数最大值；（2）讨论函数的单调性.解：（1），定义域为，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为（2），定义域为，，当时，，故在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.16.已知数列满足:是等差数列,，.（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）当时，，则；当时，，则；又，所以，又，所以等差数列的公差，所以.令，当时，，得，因此，也满足上式，所以.（2），设其前项和为.则，，两式相减得：，，所以17.某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点,研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下列联表：预防药品感染未感染未使用4010使用3020（1）根据表格中的数据，能否有的把握认为预防药品对预防甲流有效果？（2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗.已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为，对使用过预防药品的动物的治愈率为，求该动物被治愈的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0252.7063.8415.024解：（1）假设：使用预防药品对预防甲流无效果，由列联表可知，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为有的把握认为使用预防药品对预防甲流有效果.（2）设事件表示使用治疗药品并且治愈，事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品，由题意可得，且，则，治疗药品的治愈概率.18.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线交椭圆于两点,且（其中为坐标原点），求的面积解：（1）设椭圆的半焦距为，由得，，过点，，又，联立，解得，，，所以椭圆方程为：.（2）由题意知，直线的斜率存在，设为，又直线过点则直线的方程为，设Mx1,y1，N由，得，，又，有，即，整理得，所以，解得，满足，又因为，点到直线的距离，则，即，代入得，，故的面积为.19.如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面.（1）证明：；（2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求：①直线与平面所成角的正弦值；②三棱锥外接球的表面积.解：（1）取的中点，连接，在直角梯形中，，则四边形为正方形，所以，在等腰直角三角形中，，为等腰直角三角形，而，故，则有，所以，因为平面平面平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，直线有公共点，平面所以平面又平面得；（2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，，设，则，则，设平面的一个法向量为，则，得，取，则，得平面的一个法向量为，点P到平面的距离为，解得，此时，，①设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值；②取的中点，其为直角三角形外心，且，则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，即平面，设，由，得，解得，故外接球的半径为，其表面积为，故三棱锥外接球表面积为.江苏省连云港市2023-2024学年高二下学期6月期末调研数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义:集合且.若,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由定义得.故选：A.2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B3.由这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（）A.360 B.480 C.600 D.720【答案】D【解析】由题意得第一位上不得为0，故有6种选择，第二位上减去第一位上使用过的数字共有6种选择，同理第三位上有5种选择，第四位上有4种选择，故由分步乘法计数原理得共可以组成个无重复数字的四位数，故选：D4.已知正方体的棱长为分别是和的中点.则两条平行线和间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，分别与交于点，，，平面，平面，又平面，；四边形为正方形，，又平面，，平面，平面，；又，，，和间的距离即为的长；，，，即和间距离为.故选：C.5.已知，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，则，即得，故，则，故，由于，故，故选：C.6.的展开式中的常数项为（）A.-80 B.80 C.-160 D.160【答案】C【解析】因为，展开式的通项为，令，得，所以的展开式中的常数项为，所以即的展开式中的常数项为.故选：C.7.设甲袋中有3个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分两种情况，若第一次交换时从乙袋中拿到红球，则第二次交换时从甲袋中也拿到红球，其概率为，若第一次交换时从乙袋中拿到的是白球，则第二次交换时，从乙袋中拿到的仍然是白球，其概率为，故这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为.故选：A.8.一个密闭的长方体盒子高为4，底面是边长为2的正方形，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】小球在长方体盒子自由滚动当与长方体三面相切时，即在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，不能达到的空间为，此后当小球移动时与长方体的侧面两面相切，其不能达到的空间为以长方体的侧棱中间长为2的棱为棱柱减去底面半径为1的圆柱的四分之一体积（这样的空间有四个），体积为，故小球达不到空间体积为：.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直B.如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直C.如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行D.如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行【答案】AB【解析】对于A，如果一个平面与另一个平面的垂线平行，设两个平面为，两条直线为，如果，则有，进而，所以有，故A正确；对于B，如果一个平面与另一个平面的垂面平行，有三个平面为，设，在平面内作直线，使得，则，过直线作平面，使得，则有,则，因为，所以，故B正确；对于C，如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，当这三点在一条直线上时,这两个平面不一定平行,故C错误；对于D，当直线上的两点位于平面的同侧时，可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直线与平面相交，故D错误.故选：AB.10.已知由样本数据点集合,求得的回归直线方程为,且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（）A.变量与具有正相关关系B.去除后的回归方程为C.重新求得的回归直线必过点D.去除后相应于样本点的残差为-0.05【答案】ACD【解析】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确；对C,将代入回归直线方程为，解得，则样本中心为，去掉两个数据点和后，由于，所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是，故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确；对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故选项不正确；对D,因为，所以，故选项正确．故选：ACD．11.已知一个几何体是由正四棱锥和正四面体组合而成,且，则（）A.该几何体的体积是B.二面角的余弦值是C.该几何体是七面体D.平面平面【答案】ABD【解析】如图，连接、，与交于点，过点作平面于点，连接，由题意得正四棱锥和正四面体的棱长为2，则，，，，所以该几何体的体积=，故A正确；取中点，连接，因为点为中点，所以，，因为平面平面，所以为二面角的平面角，，，，所以二面角的余弦值为，故B正确；由图易知，二面角的平面角为，，，因为，所以二面角与二面角互补，所以平面与平面为同一个平面，同理平面与平面为同一个平面，故该几何体为5个面，故C错；因为，所以四边形为菱形，所以，因为为正四棱锥，所以，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，平面，所以平面平面，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布（试卷满分为120分）.统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为__________.【答案】20【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以成绩不低于90分学生人数为.故答案为：20.13.在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有______种.【答案】90【解析】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品，前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能，前3次测试中的顺序有种可能，由分步计数原理即得共有种可能.故答案为：9014.用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆）,其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆__________kg.（精确到）【答案】【解析】如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高，则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，，所以，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求函数最大值；（2）讨论函数的单调性.解：（1），定义域为，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为（2），定义域为，，当时，，故在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.16.已知数列满足:是等差数列,，.（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）当时，，则；当时，，则；又，所以，又，所以等差数列的公差，所以.令，当时，，得，因此，也满足上式，所以.（2），设其前项和为.则，，两式相减得：，，所以17.某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点,研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下列联表：预防药品感染未感染未使用4010使用3020（1）根据表格中的数据，能否有的把握认为预防药品对预防甲流有效果？（2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方