2023-2024学年广东省汕尾市高二下学期7月期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省汕尾市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的虚部为（）A.1 B.2 C. D.0【答案】D【解析】根据题意，，所以的虚部为0.故选：D2.已知是三角形一内角，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是三角形一内角，，所以，由，得，，因为，所以，解得或（舍去）.故选：A3.集合，，是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，，所以真包含于，所以是的充分不必要条件.故选：A4.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确；对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误；对于C中，由，，，则，所以C错误；对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确.故选：D.5.在的展开式中，的系数是（）A. B. C.60 D.80【答案】C【解析】由，令，解得，所以，故选：C6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据:,,．A.455 B.2718 C.6346 D.9545【答案】B【解析】由题意可知，，则数学成绩位于[80，88]的人数约为.故选：B7.某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退18米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为（）米．A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意，，，，所以，所以，则，所以，即石像的高度为米.故选：A8.是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，显然，由于切圆于点，则，四边形的面积，当且仅当直线垂直于直线时取等号，所以四边形面积的最小值为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依题意，令，解得，故点的坐标为和，故选：AC10.，若在上的投影向量为，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为在上的投影向量为，所以，解得，故A正确；由，可知，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：AD11.端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（）A.事件A与事件相互独立 B.C. D.【答案】ABD【解析】B选项，5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，可以分为和，其中分为时，共有种情况，其中分为时，共有种情况，故共有种，其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为和，当剩余4名志愿者分为时，有种情况，当剩余4名志愿者分为时，有种情况，当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有种情况，故，所以，B正确；C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为时，有种情况，当5名志愿者分为时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有种情况，故，C错误；A选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，则有种情况，若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况，当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况，综上，，，因为，故事件A与事件相互独立，A正确；D选项，，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是等比数列，若，则______．【答案】2【解析】由等比数列的通项公式可知，，即，所以，故答案为：213.已知双曲线的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若轴上一点到双曲线的渐近线距离为，则的离心率为______．【答案】或【解析】①若焦点在轴上，设双曲线方程，则渐近线方程为，即，则点到双曲线的渐近线距离，所以，所以，则，所以离心率；②若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，即，则点到双曲线的渐近线距离，所以，所以离心率；综上可得双曲线的离心率为或.故答案为：或14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由函数有两个零点，即方程有两个解，即有两个解，令，函数为过点的直线，若，则直线与曲线只有一个交点，不符合题意，所以，先求过点曲线的切线，设切点为，由，则，切线方程为，将点代入方程，，得，因为，而在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，所以方程只有一解，为，故过点曲线的切线斜率为，若直线与曲线有两个交点，则，此时函数有两个零点.故答案为：0,1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列前项和为，求使不等式成立的的最小值．解：（1）等差数列的公差为2，由，，成等比数列，得，解得，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，由，得，即，而，解得，又，所以.16.已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．解：（1）因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，所以动点P到直线的距离和到点距离相等，故曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线E的方程为．（2）设Ax易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为，联立，消去x得，，所以，，解得，所以直线l的方程为或．17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．（1）证明：平面．（2）若平面与平面的夹角为，求的长．解：（1）连接BD交AC于点O，连接OE，如图，因为O为BD的中点，E为PD的中点，所以．又平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB//平面AEC（2）因为平面ABCD，AD，平面ABCD，所以，．又，所以PA，AD，AB两两互相垂直，故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，设，则，，，，,所以，．显然为平面DAE的一个法向量．设平面ACE的一个法向量为n=则，即令，得，因为平面DAE与平面AEC的夹角为，所以，解得或（舍去），即·18.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．解：（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为X012P（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，P(Y＝k)＝，所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝.∴Y的分布列为Y012P19.已知函数（为正实数）.（1）讨论函数极值点的个数；（2）若有两个不同的极值点.（i）证明：；（ii）设恰有三个不同的零点.若，且，证明：.解：（1），设，因为开口向下，，所以当时，恒成立，即，所以在上单调递减，无极值点；当时，令，解得，且，所以在上单调递增；在和上单调递减；此时有两个极值点，综上，当时，无极值点；当时，有两个极值点.（2）（i）由题意及（1）可知，且，又因为，所以.（ii）由（1）知，，，由及（i）知，所以.若证，即证，不妨设，则，由得，要证，只需证，再两边去对数得，即，即证，令，则，再令，则，所以在内单调递减，又，则在单调递减，由得，且，所以，即，综上，.广东省汕尾市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的虚部为（）A.1 B.2 C. D.0【答案】D【解析】根据题意，，所以的虚部为0.故选：D2.已知是三角形一内角，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是三角形一内角，，所以，由，得，，因为，所以，解得或（舍去）.故选：A3.集合，，是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，，所以真包含于，所以是的充分不必要条件.故选：A4.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确；对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误；对于C中，由，，，则，所以C错误；对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确.故选：D.5.在的展开式中，的系数是（）A. B. C.60 D.80【答案】C【解析】由，令，解得，所以，故选：C6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）参考数据:,,．A.455 B.2718 C.6346 D.9545【答案】B【解析】由题意可知，，则数学成绩位于[80，88]的人数约为.故选：B7.某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退18米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为（）米．A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意，，，，所以，所以，则，所以，即石像的高度为米.故选：A8.是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，显然，由于切圆于点，则，四边形的面积，当且仅当直线垂直于直线时取等号，所以四边形面积的最小值为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依题意，令，解得，故点的坐标为和，故选：AC10.，若在上的投影向量为，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为在上的投影向量为，所以，解得，故A正确；由，可知，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：AD11.端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（）A.事件A与事件相互独立 B.C. D.【答案】ABD【解析】B选项，5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，可以分为和，其中分为时，共有种情况，其中分为时，共有种情况，故共有种，其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为和，当剩余4名志愿者分为时，有种情况，当剩余4名志愿者分为时，有种情况，当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有种情况，故，所以，B正确；C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为时，有种情况，当5名志愿者分为时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有种情况，故，C错误；A选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，则有种情况，若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况，当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况，综上，，，因为，故事件A与事件相互独立，A正确；D选项，，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是等比数列，若，则______．【答案】2【解析】由等比数列的通项公式可知，，即，所以，故答案为：213.已知双曲线的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若轴上一点到双曲线的渐近线距离为，则的离心率为______．【答案】或【解析】①若焦点在轴上，设双曲线方程，则渐近线方程为，即，则点到双曲线的渐近线距离，所以，所以，则，所以离心率；②若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，即，则点到双曲线的渐近线距离，所以，所以离心率；综上可得双曲线的离心率为或.故答案为：或14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由函数有两个零点，即方程有两个解，即有两个解，令，函数为过点的直线，若，则直线与曲线只有一个交点，不符合题意，所以，先求过点曲线的切线，设切点为，由，则，切线方程为，将点代入方程，，得，因为，而在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，所以方程只有一解，为，故过点曲线的切线斜率为，若直线与曲线有两个交点，则，此时函数有两个零点.故答案为：0,1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列前项和为，求使不等式成立的的最小值．解：（1）等差数列的公差为2，由，，成等比数列，得，解得，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，由，得，即，而，解得，又，所以.16.已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．解：（1）因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，所以动点P到直线的距离和到点距离相等，故曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线E的方程为．（2）设Ax易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为，联立，消去x得，，所以，，解得，所以直线l的方程为或．17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．（1）证明：平面．（2）若平面与平面的夹角为，求的长．解：（1）连接BD交AC于点O，连接OE，如图，因为O为BD的中点，E为PD的中点，所以．又平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB//平面AEC（2）因为平面ABCD，AD，平面ABCD，所以，．又，所以PA，AD，AB两两互相垂直，故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，设，则，，，，,所以，．显然为平面DAE的一个法向量．设平面ACE的一个法向量为n=则，即令，得，因为平面DAE与平面AEC的夹角为，所以，