2023-2024学年陕西省韩城市高二下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号.3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列，，，，…的第9项是（）A. B.19 C. D.17【答案】D【解析】数列，，，，…，的通项公式可以为，所以.故选：D2.已知函数在处的导数为3，则（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【解析】，故选：A．3.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，所以f'x≥0，故排除B、又函数增长趋势越来越快，在1,f1处切线的斜率为f'在处切线的斜率为，在处切线的斜率为，由图可知.故选：C4.已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】等差数列中，，，则，因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，所以当取得最小值时，.故选：B5.已知函数y=fx，其导函数y=f'x的图象如图所示，则对于A.在区间上单调递减B.当时取得最大值C.在区间上单调递减D.当时取得最小值【答案】C【解析】由图可知，时，，为增函数；时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值；时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值；时，，为减函数；综上可得只有C正确.故选：C6.已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，当，两式做差得：，故，当，，符合；故.故选：D7.设函数，若且，则下列不等式恒成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】由于，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，当时，，故函数在上递增，结合函数为偶函数可知，函数在上递减，所以等价于，也即，故选：D.8.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（）A.120 B.124 C.128 D.130【答案】B【解析】根据题意，分析可得：第个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有个竹质鳞片，假设有个碳杆材质的鳞片，则，化简为①，如果只有个碳杆材质鳞片，则骨架总数少于所以，化简为②，联立①②，又,解得，即需要个碳杆材质的鳞片，故需要个竹质鳞片.故选：二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A：，所以，所以为递增数列，故A正确；对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确；对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误；对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确；故选：ABD10.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.，B.函数可能无极值点C.若是的极值点，则D.若是的极小值点，则在区间单调递减【答案】ABC【解析】函数，，当时，，当时，，又当时，，当时，，又为连续函数，所以，，故A正确；当时，则，所以在上单调递增，无极值点，故B正确；三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确；若是的极小值点，即，则必有两个不相等的实数根，又在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，所以有极大值点且，此时在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故D错误．故选：ABC．11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.数列中的最大值是 D.数列无最大值【答案】ABC【解析】由，，可得为单调递减的数列且，由可得，.A选项：，显然A正确；B选项：，根据等比中项可得，显然B正确；C选项：由，为单调递减的数列且，可知an的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1所以数列中的最大值是，所以C正确；D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则_________．【答案】【解析】由题，所以，则.故答案为：.13.在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为______.【答案】35【解析】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则．故答案为：．14.设且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______.【答案】【解析】当时，在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，由图可知与只有一个交点，不符合题意；当时，设，则在0,+∞上有个不相等实数根，则必有在上存在变号零点，因为，又在0,+∞上单调递增，设，即有，则当x∈0,x0时，，在上单调递减，当x∈x0,+∞时，，上在且，x趋于时，fx趋于，所以只需，所以，即，即，即，即，即，解得，又，所以；综上可得的取值范围是．故答案：．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.求下列函数的导数：（1）；（2）.解：（1）因为，所以；（2）因为，所以.16.已知等比数列前项和为．公比，若，．（1）求的通项公式；（2）证明：．解：（1）由．得，解得或（舍去），所以．（2）因为，且，所以，所以．17.已知函数，.（1）若，求曲线y=fx在点处的切线方程；（2）若在0,+∞上恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，，则，，则，曲线y=fx在点处的切线方程为，即．（2）在上恒成立，等价于在上恒成立，即，令，则，则当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.故，所以，即a的取值范围为．18.若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列.（1）若数列为1级等差数列，，，求数列的前项和；（2）若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和.解：（1）若数列为1级等差数列，即为对一切，都成立，则数列为等差数列，设公差为，由，，可得，则．（2）数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，可得对一切，都成立．，，，……，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，则所以，，．19.已知函数，，其中是自然对数的底数，.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）当时，，，，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.所以，函数的极小值为，故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值；（2）假设存在实数，使，的最小值是，，.①当时，因为，所以，在上单调递减，所以，解得（舍去）；②当时，即时，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，解得，满足条件；③当时，即时，对任意的，，在上单调递减，所以，解得（舍去）.综上，存在实数，使得当时，的最小值为.陕西省韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号.3.回答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列，，，，…的第9项是（）A. B.19 C. D.17【答案】D【解析】数列，，，，…，的通项公式可以为，所以.故选：D2.已知函数在处的导数为3，则（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【解析】，故选：A．3.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数在上单调递增，所以f'x≥0，故排除B、又函数增长趋势越来越快，在1,f1处切线的斜率为f'在处切线的斜率为，在处切线的斜率为，由图可知.故选：C4.已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】等差数列中，，，则，因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，所以当取得最小值时，.故选：B5.已知函数y=fx，其导函数y=f'x的图象如图所示，则对于A.在区间上单调递减B.当时取得最大值C.在区间上单调递减D.当时取得最小值【答案】C【解析】由图可知，时，，为增函数；时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值；时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值；时，，为减函数；综上可得只有C正确.故选：C6.已知数列满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，当，两式做差得：，故，当，，符合；故.故选：D7.设函数，若且，则下列不等式恒成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】由于，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，当时，，故函数在上递增，结合函数为偶函数可知，函数在上递减，所以等价于，也即，故选：D.8.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱．某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作．则所有鳞片中竹质鳞片个数为（）A.120 B.124 C.128 D.130【答案】B【解析】根据题意，分析可得：第个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有个竹质鳞片，假设有个碳杆材质的鳞片，则，化简为①，如果只有个碳杆材质鳞片，则骨架总数少于所以，化简为②，联立①②，又,解得，即需要个碳杆材质的鳞片，故需要个竹质鳞片.故选：二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A：，所以，所以为递增数列，故A正确；对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确；对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误；对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确；故选：ABD10.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.，B.函数可能无极值点C.若是的极值点，则D.若是的极小值点，则在区间单调递减【答案】ABC【解析】函数，，当时，，当时，，又当时，，当时，，又为连续函数，所以，，故A正确；当时，则，所以在上单调递增，无极值点，故B正确；三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确；若是的极小值点，即，则必有两个不相等的实数根，又在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，所以有极大值点且，此时在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故D错误．故选：ABC．11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.数列中的最大值是 D.数列无最大值【答案】ABC【解析】由，，可得为单调递减的数列且，由可得，.A选项：，显然A正确；B选项：，根据等比中项可得，显然B正确；C选项：由，为单调递减的数列且，可知an的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1所以数列中的最大值是，所以C正确；D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则_________．【答案】【解析】由题，所以，则.故答案为：.13.在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为______.【答案】35【解析】因为正项等比数列中，为其前项和，则也是等比数列．且，，所以，则，则．故答案为：．14.设且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______.【答案】【解析】当时，在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，由图可知与只有一个交点，不符合题意；当时，设，则在0,+∞上有个不相等实数根，则必有在上存在变号零点，因为，又在0,+∞上单调递增，设，即有，则当x∈0,x0时，，在上单调递减，当x∈x0,+∞时，，上在且，x趋于时，fx趋于，所以只需，所以，即，即，即，即，即，解得，又，所以；综上可得的取值范围是．故答案：．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.求下列函数的导数：（1）；（2）.解：（1）因为，所以；（2）因为，所以.16.已知等比数列前项和为．公比，若，．（1）求的通项公式；（2）证明：．解：（1）由．得，解得或（舍去），所以．（2）因为，且，所以，所以．17.已知函数，.（1）若