2023-2024学年湖北省五市州高二下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省五市州2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时速度为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】因，所以，所以，所以当时，该质点的瞬时速度为.故选：A2.下列等式不正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由组合数性质可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：B3.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，正确的结论为（）（附：，，）A.变量与不独立B.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C.变量与独立D.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】C【解析】因为，所以依据的独立性检验，可以认为变量与独立.故选：C4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；当时，则，当时，则，故排除C.故选：D5.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（）A.72 B.78 C.96 D.120【答案】B【解析】当甲是第5名时，共有种；当甲不是第5名时，共有种；综上，共有78种.故选：B6.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（）A.0.9825 B.0.9833 C.0.9867 D.0.9875【答案】A【解析】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为，则一列车能正点到达该车站的概率为.故选：A.7.设随机变量，随机变量．则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，则，，，则，，对于A：，，所以，故A错误；对于B：，，所以，故B错误；对于C：，，所以，故C正确；对于D：因为，所以随机变量所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中，所以，故D错误.故选：C8.已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，对于任意的实数都有，即为偶函数；；当时，，当时，为增函数；又，，即.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（）A.经验回归直线过点B.残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好C.若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强D.在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位【答案】ABD【解析】对于A：由经验回归直线过样本点中心，故A正确；对于B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确；对于C：若样本相关系数的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强，故C错误；对于D：在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位，故D正确；故选：ABD10.设函数，则（）A.当时，有两个极值点 B.当时，C.当时，在上单调递增 D.当时，恒成立【答案】BCD【解析】，当时，时，，递减，时，，递增，极小值，只有一个极值点，A错误，B正确；当时，或时，，时，，在和上递增，在上递减，C正确；令，当时，时，，时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则；因为，所以，即，所以当时，恒成立，故D正确；故选：BCD．11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详析九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（）A.B.第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的C.记第行的第个数为，则D.记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则【答案】BD【解析】由可得，故A错误；第2024行是偶数，中间一项最大，即，也就是第2024行中第1013个数，故B正确；第行的第个数为，所以，故错误；由题意知，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，则___________.【答案】6.4【解析】由，则所以故答案为：6.413.已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为__________．【答案】或【解析】因为，则，则，所以曲线在点处的切线为，即，由，则，则，解得或.故答案：或14.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为__________．【答案】【解析】可取0，2，3.023所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中各二项式系数的和为64．（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项系数的和；（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．解：（1）二项式系数之和为，解得.，令解得，则常数项为.（2）令则展开式中各项系数的和为.（3）由（1）可知，令，则即展开式中有理项有4项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的3个无理项先任意排，再把这4个有理项插入其中的4个空中，方法共有种，设事件“有理项互不相邻”，.16.已知函数在处有极小值4．（1）求解析式；（2）求在上的值域．解：（1）函数，则，由题意得，解得，当时，，令，解得.则当单调递增；单调递减；，单调递增，所以是极小值点，符合题意，故.（2）由（1）知，则当单调递增；当，单调递减；当单调递增，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，而，，故在上值域为.17.某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表：46810122742555660为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②．（1）根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）；（2）若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）．附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，，ii）参考数据：设，，，，，．解：（1）因为，，所以，，，模型①中，相关系数，（2）因为，所以选择模型②，令，先建立关于的线性回归方程，由于，，所以关于的线性回归方程为，即，当时，（万元），所以若投入经费万元，收益约为万元.18.在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知，两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．（1）估计，两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由）（2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列和数学期望．（3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？解：（1）由两个班级的成绩箱型图可知，班的上四分位数与班的中位数一致均为，且班的下四分位数大于班的下四分位数，班的最小值也大于班的最小值，所以班的平均分一定大于班的平均分；（2）依题意的可能取值为，，，，所以，，，.所以的分布列如下所示：0123所以.（3）设事件“该同学来自班”，事件“该同学的分数高于分”，所以，所以，所以，，所以该同学来自班的概率为，来自班的概率为.19.已知，函数，．（1）证明：方程有两个解；（2）设（1）中方程的两个解为,直线与曲线交于点，直线与曲线交于点，证明：存在唯一的实数，使得曲线上的点与A，B两点构成等腰直角三角形．解：（1），设，则令，得，所以在单调递减，在单调递增，所以，又，且，所以存在使得.又当时，，则，所以，所以，所以，且，所以存在使得.所以有两个零点，故有两个解.（2）设，若与构成等腰直角三角形，则，即证明关于的方程在仅有一解.由得，，令，则在单调递增，.又，所以在单调递减，在单调递增，又，因为，所以由（1）知而，又，所以所以存在，使得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，因为，同理，又，所以，所以在仅有一解，原命题得证.湖北省五市州2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时速度为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】因，所以，所以，所以当时，该质点的瞬时速度为.故选：A2.下列等式不正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由组合数性质可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：B3.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，正确的结论为（）（附：，，）A.变量与不独立B.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C.变量与独立D.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过【答案】C【解析】因为，所以依据的独立性检验，可以认为变量与独立.故选：C4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；当时，则，当时，则，故排除C.故选：D5.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（）A.72 B.78 C.96 D.120【答案】B【解析】当甲是第5名时，共有种；当甲不是第5名时，共有种；综上，共有78种.故选：B6.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（）A.0.9825 B.0.9833 C.0.9867 D.0.9875【答案】A【解析】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为，则一列车能正点到达该车站的概率为.故选：A.7.设随机变量，随机变量．则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，则，，，则，，对于A：，，所以，故A错误；对于B：，，所以，故B错误；对于C：，，所以，故C正确；对于D：因为，所以随机变量所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中，所以，故D错误.故选：C8.已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，对于任意的实数都有，即为偶函数；；当时，，当时，为增函数；又，，即.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（）A.经验回归直线过点B.残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好C.若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强D.在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位【答案】ABD【解析】对于A：由经验回归直线过样本点中心，故A正确；对于B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确；对于C：若样本相关系数的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强，故C错误；对于D：在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位，故D正确；故选：ABD10.设函数，则（）A.当时，有两个极值点 B.当时，C.当时，在上单调递增 D.当时，恒成立【答案】BCD【解析】，当时，时，，递减，时，，递增，极小值，只有一个极值点，A错误，B正确；当时，或时，，时，，在和上递增，在上递减，C正确；令，当时，时，，时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则；因为，所以，即，所以当时，恒成立，故D正确；故选：BCD．11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详析九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（）A.B.第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的C.记第行的第个数为，则D.记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则【答案】BD【解析】由可得，故A错误；第2024行是偶数，中间一项最大，即，也就是第2024行中第1013个数，故B正确；第行的第个数为，所以，故错误；由题意知，故D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若随机变量，则___________.【答案】6.4【解析】由，则所以故答案为：6.413.已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为__________．【答案】或【解析】因为，则，则，所以曲线在点处的切线为，即，由，则，则，解得或.故答案：或14.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为__________．【答案】【解析】可取0，2，3.023所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中各二项式系数的和为64．（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项系数的和；（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．解：（1）二项式系数之和为，解得.，令解得，则常数项为.（2）令则展开式中各项系数的和为.（3）由（1）可知，令，则即展开式中有理项有4项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的3个无理项先任意排，再把这4个有理项插入其中的4个空中，方法共有种，设事件“有理项互不相邻”，.16.已知函数在处有极小值4．（1）求解析式；（2）求在上的值域．解：（1）函数，则，由题意得，解得，当时，，令，解得.则当单调递增；单调递减；，单调递增，所以是极小值点，符合题意，故.（2）由（1）知，则当单调递增；当，单调递减；当单调递增，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，而，，故在上值域为.17.某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表：46810122742555660为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②．（1）根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）；（2）若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）．附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，，ii）参考数据：设，，，，，．解：（1）因为，，所以，，，模型①中，相关系数，（2）因为，所以选择模型②，令，先建立关于的线性回归方程，由于，，所以关于的线性回归方程为，即，当时，（万元），所以若投入经费万元，收益约为万元.18.在统计学的实际应用中，除了中