8 3　双曲线-2026版53高考数学总复习A版精炼

8.3双曲线高考新风向·创新考法思维引导回归本质(2024新课标Ⅱ,19,17分,难)知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…):过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn,yn).(1)若k=12,求x2,y2(2)证明:数列{xn-yn}是公比为1+k1−(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积.证明:对任意正整数n,Sn=Sn+1.创新考法本题融合了直线、双曲线和数列知识,试题突出创新导向,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,提升了压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.本题创新性强,在具体内容和难度设计上环环相扣,设计布局科学合理,对今后的数学教学具有很好的导向作用.解析(1)如图1所示,由已知直线P1Q1的方程为y-4=12(x-5),即y=1又点P1(5,4)在双曲线x2-y2=m上,∴m=52-42=9,联立x2−y2=9,y=12x+32,消去y得x2-2x-15=0,解得x=5或x=-3,由P由已知Q1关于y轴的对称点为P2,则P2(3,0),故x2=3,y2=0.(2)证法一:由已知Pn(xn,yn)在双曲线上,如图2所示,设Pn-1(xn-1,yn-1)(n=2,3,…),则xn−12−yn−12=9,由已知得直线Pn-1Qn-1的方程为y-yn-1=联立x2−y2=9,y=yn−1+k(x−xn−1),消去y得(1-k2)x2-2k(yn-1-kx设Qn-1(x0,y0),∵xn-1是方程(※)的一个根,∴由根与系数的关系得x0+xn-1=2k∴x0=2k∴y0=k(x0-xn-1)+yn-1=k2即Qn-12k则Pn−2∴xn-yn=k=(k∴xn−ynxn−1−yn−1=∴数列{xn-yn}是公比为1+k1−证法二:由已知Pn(xn,yn),则Pn关于y轴的对称点是Qn-1(-xn,yn),又Pn-1(xn-1,yn-1)且Pn-1Qn-1是斜率为k的直线,∴yn−yn−1−xn−xn−1=∴x①-②可得(xn-xn-1)(xn+xn-1)=(yn-yn-1)(yn+yn-1),∴yn−y即y④-③得(xn-yn)-(xn-1-yn-1)=k[(xn-yn)+(xn-1-yn-1)],∴(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1),∴xn∴数列{xn-yn}是公比为1+k1−(3)证法一:如图3,设Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Pn+2(xn+2,yn+2),∴Pn+1Pn=(xn-xn+1,yn-yn+1),Pn+1Pn+2=(xn+2-xn+1,∴S△PnPn+1Pn+2==1=1=12|(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)-(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)|又∵xn-yn=(x1-y1)1+k1−kn−1=1+k1−kn−1(n=1,2,3,…),且(xn,yn)∴xn+yn=9x令1+k1−k=p,由0<k<1,得p>1∴xn=12(pn-1+9p1-n),yn=12(9p1-n-pn∴(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)=14(pn-1+9p1-n-pn-9p-n)(9p-1-n-pn+1-9p-n+pn=14[9(1-p)2p-2+(1-p)2p2n-1-81(p-1)2p-2n-1-9(p-1)2]=14(p-1)2(9p-2-9+p2n-1-81p-2n又(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)=14(pn+1+9p-n-1-pn-9p-n)(9p1-n-pn-1-9p-n+pn=14[(p-1)2p2n-1+9(p-1)2-81(1-p)2p-2n-1-9(1-p)2p-2]=14(p-1)2(9-9p-2+p2n-1-81p-2n∴S△PnPn+1Pn+2=12×14|18(p-1)2-18(1-p)2p-2|=9∴Sn=94[(p-1)2-(1-p)2·p-2]=94(p-1)21−1p2=9(p−1)2(p2−1)4p2证法二:要证Sn+1=Sn,即证S△即证PnPn+3∥Pn+1Pn+2,(三角形同底等高模型)设1+k1−k=p,同证法一得xn-yn=pxn=12(pn-1+9p1-n),yn=12(9p1-n-pn则k=1-2=1-2pk=1-2=1-2p故kPn+1Pn+2=kPnPn+3,即Pn五年高考考点1双曲线的定义和标准方程1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2,且过点(A.2x2-y2=1B.x2-y2C.5x2-3y2=1D.x2答案B2.(2020浙江,8,4分,易)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34−x2图象上的点,则|OP|=(A.22答案D3.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=45x的准线l经过F1,且l与双曲线的一条渐近线交于点A.若∠F1F2AA.x2C.x2答案D4.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(A.72答案B5.(2024天津,8,5分,中)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P在双曲线右支上,直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形A.x2C.x2答案A考点2双曲线的几何性质1.(2024全国甲理,5,5分,易)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2答案C2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点A.5答案D3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4A.1B.2C.4D.8答案A4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分,中)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8A.4B.8C.16D.32答案B5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)答案D6.(2024新课标Ⅰ,12,5分,易)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|答案37.(2022北京,12,5分,易)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33答案-38.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为.

答案x29.(2021全国乙文,14,5分,易)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线答案510.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=2答案y=3x;y=-3x11.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C:x2m-y2=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C的焦距为答案412.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x答案2(答案不唯一,在(1,5]范围内取值均可)13.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,F1A答案3三年模拟基础强化练1.(2024山东聊城一模,5)设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是C上的一点,若C的一条渐近线的倾斜角为60°,且|PF1|-|PF2|=2A.1B.3C.2D.4答案D2.(2025届重庆乌江新高考协作体联考,5)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与渐近线垂直的直线与双曲线C左、右两支分别交于A,B两点,若tan∠F1BF2A.615C.5答案A3.(2025届湖北武汉江汉开学考,7)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△ABF1A.6C.1,答案D4.(2024山东泰安二模,8)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,66),当△APF的周长最小时,该三角形的面积为(A.366答案D5.(多选)(2025届湖南郴州一模,10)已知曲线C:x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈(0,π),则下列说法正确的是()A.若cosθ=0,则曲线C表示两条直线B.若cosθ>0,则曲线C是椭圆C.若cosθ<0,则曲线C是双曲线D.若cosθ=-sinθ,则曲线C的离心率为2答案ACD6.(2025届北京中关村中学月考,14)已知双曲线x2-y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一动点,则双曲线的渐近线为,PA答案y=±3x;-27.(2025届江苏南通名校联盟联考,12)已知F1,F2是双曲线E:x29−y216=1的两个焦点,点M在E上,如果MF1⊥M答案168.(2025届湖南长沙六校联考,13)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,过点F1的直线l交E的左支于A,B两点.|OB|=|OF1|(O为坐标原点),记点O到直线l答案1+能力拔高练1.(2025届浙江省名校协作体开学考,7)已知A,B是椭圆x24+y23=1与双曲线x24−y23=1的公共顶点,M是双曲线上一点,直线MA,MB分别交椭圆于C,DA.3答案B2.(2024浙江杭州二中模拟,7)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点,且|FB|=4|FA|,A.y=±23C.y=±23答案C3.(2024浙江杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中三模,8)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A,B,以及双曲线上的另一点C,使得△A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.2答案A4.(多选)(2025届浙江新阵地联盟联考,10)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=12上的动点,下列说法正确的是()A.三角形AF1F2的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线,且双曲线E的焦距为8,则双曲线E的方程为x2-y2=8C.若|QF1|+|QF2|=8,则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点,则|PF2|+|PQ|的最小值是5+3答案ACD5.(多选)(2024重庆一中模拟,10)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的两个焦点分别为F1,F2,过F2作斜率为3的直线,与双曲线相交于点P,若|PF1|=3|F1F2|,则双曲线的离心率可能是()A.3+1答案AD6.(多选)(2025届湖南长沙雅礼中学月考,11)直线y=kx与双曲线x24−y23=1交于P,Q两点,点P位于第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为N,点F为双曲线的左焦点A.若|PQ|=27,则PF⊥QFB.若PF⊥QF,则△PQF的面积为4C.|PF||PN|D.|PF|-|PN|的最小值为4答案AD7.(2025届江苏南京六校联合体学情调研,14)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为2,P为C上