解析几何题库(一)

宜yF湖的圆c：x2y2(a>b>0)的右焦点为F(1,0),)仕椭恻C±.

二T1

a2b22

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知动直线1过点F,且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得放•加=-2恒成立?

16

若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理

由.解(•・•椭圆的右焦点为

1)F(1,0)代入椭圆方程化简整理得:

:.c=>/a2-b2=1,BPa2-b2=1…①

(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0

.4k22k

•••点(-1,盘)在椭圆C上

••X.+X«=-5-----9XAXR2

2AB2k2+12k~+l

.11,_

••一+=1…②Z

QATJIT：(xAy),(xyn)

a22b74AB4

由®@»得：M=2,b2=l=(x-：)(x-1)+yy

・••椭圆C的标准方程为X\2=.A4B4RB

Ty1

=(XA)(+k2

-4V^(xA-l)(xB-l)

(2)假设存在满足题述条件的点Q(m,0)

=(k2+l)xx-(k2+£)(x+x)+k2+25

当直线1的斜率不存在时，l_Lx轴…4A1116

此时，易得A(1,更),B(1,—史)■谭

22

=—2+=—

QA-QB=(m—1)

221616

=(m—1)2—=_7综上所述，x轴上存在点Q(5,0),使得

2164

m=’或3QTQBN-1恒成立

4416

当直线1的斜率为0时;此时：

易得A(-^2,0),B(^?,0)

贝JQA-QB=(m+•(m-怎0)

7

=m2—2o=——

16

••in=±_

4

.5

•♦m=_

4

下面证明当m=5时，WQB^-1对任意直线

416

1恒成立

设直线1的方程为y=k(x-1)

2、己知椭圆C：X'+y'=（a>b>0）的两个焦点分别为F、F,且|FFh=2,点P在椭圆上，且aPFF的周

——1212I2

2U21

长为6.联方

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P的坐标为（2,1）,不过原点O的直线】与椭圆C相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,点P

到直线1的距离为d,且M、0、P三点共线.求!3|八8|2+12^2的最大值。

1316

.m2-3

解△的周长为的且

(1)•••PFFz|FF4-2••xA+xB—m,xAxB——--

J

•,.|PFI|+|PF2|=4

且直线1的方程为3x+2y-2m=0

由抛物线定义知，椭圆C的长轴长为4

222

**•|AB|=(XA-xB)+(yA-yB)

a=2

2

=(k+I)(XA-XB)2

由|F|F2|=2知，c=l

/.b2=a2-c2=4-1=3

=—(12-m2)

••・椭圆C的方程为i

12

43

2

(2)当直线1与x轴垂直时，由椭圆的对称性知，点••121I3x2+2—2m|2(8-2m)

,d=1际।

M在x轴上，而直线1又不过原点O,所以点M、O、

222(4m)

P不可能在同一直线上/.—|AB|+—d=12-m+-

13164

故可设直线1的方程为y=kx+m(mWO)3,

=--m-2m+16

代入椭圆方程化简整理得：4

=-2(m++—

(4k2+3)X2+8kmx+4m2-12=0

433

则A=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)>0.••当m=—，时，231ABl2+±d2的最大侑为上2

得4k2-m2+3>o313163

•,—8km4m2—12

••X+X=__，XX="I"I.

AB4k2+3An4k2+3

•।、r6nl

••zy+y=k(x+x)+zm=_

八B八B4k2.3

,；M是AB的中点

•_+xt!_-4km

•v•A--------------

“24k2+3

_八+八_3nl

M24k2+3

•••点M在直线OP：y=lx±

2

.3m_1-4km__2km

417+3-24k2+34k?+3

・3

••k।=__

2

由4k2-02+3>0得：mG（一2超，项）

3、已知椭圆C：X"+y'=(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,点B(0,3)为短轴的一个端点，ZOFB=60°.

，.21122

a-b-

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过右焦点F2,且斜率为k(kWO)的直线1与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、

AF分别交直线x=3于点M、N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k\求证：k・k，为定值.

解(I)•・•点B(0,⑶为短轴的一个端点

/.b=43，即|OB|二j?4XE—2Xp—2

,/ZOFB=60°k22Xx-3(x+x)+4

2.口EFEF

幽7二4xx-2(x-f-x)+4

tanZOI;B=RFRF

IOFJ|0F|

2,8k2-2424k2

k2-+

=.—；———4

—4k2+34k?+3

22

A|OF2|=1,即c=l44k-1216k

------------------------------F4

/.a2—b2+c2—3+1—44k2+34k2+3

k2-3

・,.椭圆c的方程为三+£=i=—・—

434k2

3

(2)由(1)知，F(1,0),A(2,0)=-_

24

设直线1的方程为y=k(x-l)，k・k，为定值，此定值为-3

代入椭圆方程化简整理得：

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0

.8k24k:-17

••Xp+Xp=9XpXp-o

Er4k2+34k2+3

kx

•,・"-y-o,(.：-o

kAE-LK7-x-2

EE

・•.直线AE的方程为y=k(X'_1)(x-2)

2

•••当X=3时，y=k(X|：-1)

XE-2

AM(3,k(xE-))

XR—2

同理可得，N(3,k(x'-1))

XF-2

•；P为MN的中点

•IP(3,K(X|--1+X|-1))

2XE—2Xp—2

k^,-l+Xp-l^

Z.k•=2XF,-2XF-2

3-1

jL(_x£-l_+xr-l)

4xE—2xF—2

4、在矩形ABCD中,|AB|=2^3,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形

四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，

如图所示。若R、R'分别在线段OF、CF上，且IORIJCR」J

|0F||CF|n

2

（1）求证：直线ER与GR，的交点在椭圆Q：S-y2=］上；

3

（2）若M、N为椭圆。上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之

积为」.求讦：自线MN过定点，并求AGMN面积的最大值0

3

k:xx+k(b-l)(x+x)+b2-2b+l

解⑴由题意可得:|OF1=^3,|CF|=1□MNVN

XMx,

v12!iL=>£!!=L・・.IORI=更，|CR'I=1b-1_2

IOF||CF|nnn3(b+l)3

B1/.b=-3

AR(J0),R'(的，l-_)・•・直线MN的方程为y=kx-3

nn

VE(0,1),G(0,1)故，直线MN过定点（0.-3）

18k24

V

直线ER的方程为y+1=2xM+xN

3k2+l3k2+1

1

直线GR，的方程为y-1；・|MN|=J(k2+i)(&_xj2

,2W=k22

联立两方程解得：交点P(嗨,7(+1)K\1+XN)-4XJ

n2+ln2+l

代入椭圆Q的方程得：1住2+1)(31<2-8二

"\~(3kW-

112n2(n2-1)2(n2+l)2

•十==

3(n2+l)2(n2+l)2(n2+l)2•・•点G到直线MN的距离为d=匚-3,=4

心+1Jl?+1

・•.直线ER与GR，的交点P在椭圆Q上

・・・S/9MN」2h(k24-l)(3k2-8).4

（2）当直线MN的斜率不存在时，则2\(3k2+D2

XX

M=NyM=-yN

_y\<一］y..1y1.1-丫、一］=W(看**M

则kCM-kfX

）工2,与题设不符•由3kj2+l>0得，k2>l

3

XM33

・••当k?=上时，Z\GMN面积的最大值为2JT_

设直线MN的方程为y=kx+b33

代入椭圆方程化简整理得：

(3k2+l)x2+6kbx+3b2-3=0

由A>0得：3k2-b2+l>0

.-6kb3b2—3

••x,+x=--——'x.x、=-——

Nv3k2+1(3k-5+1

•?..y1_YN-I-v、丫广(为+丫.)+1

KGM,KGN=-

5、已知Fl、F2分别为椭圆Cl：21+21=1<a>b>o)的上下焦点，其B是抛

b2a2

物线C：x?=4y的焦点，点M是C与C在第二象限的交点，且|MF|二5

212I-

3

(1)试求椭圆Ci的方程：

(2)与圆x?+(y+lf=1相切的直线1：y=k(x+t)(tWO)交椭圆于A、B两

点，若椭圆上一点P满足6X+6F=OP,求实数\的取值范围。

•・•24k2t24t4

解(1)由抛物线C2：x=4y得，Fi(0,1)

42

3k2+4t+t+l

Ac2=a2-bj=1…①

设乂(*),由|MF|=5得：

t4t2t224

Vt2>0।।+1>1

t4t2

解得：x=-篆或2算(舍去)0<2<4

M33

AM(一"J)・•・G(-2,0)U(0,2)

33②当k=0时，A(J?,0),B(一超，0)

代入椭圆方程得：8+4=1…②

77

3b9a••OA+OB=(产-£)=OP=(xP,yP)

由①@解得：a2=4,b2=3・••点P(更，厘3

・•・椭圆Ci的方程为工十二=1

代入椭圆方程得：」+&=1，得=±近

34

:422

(2)•・•直线1与圆x2+(y+l)2=l相切显然，土也在①所述区间内

/.|1+kt|=1,得k=0或k32

J-+1I"③当直线1的斜率不存在时，易知A(l,文)，B

3

①当k32«m0)时，联立直线1与椭圆方程得:

1-t2(1,-22)或A(-1,注)，B(T,—卢)

333

(3k2+4)x2+6k2tx+3k2t2-12=0

VOA+OB=(±2,0)=OP=(xP.y,>)

-6k2t

X.+Xn=-----・,•点P(±2,0)

3k2+4e

8kt

，八+yB=k(x.A+xB)+2kt=3k代入椭圆方程得：—得=过

2

VOA+OB=OP33

显然，士举在①所述区间内

•,-(x+x,y+y)=(x,y)

3

综上所述，1的取值范围为(-2,0)U(0,2)

(3k，4)(3k2+4)

代入椭圆方程得：

12k4t216k2t2

2(3k2+4)22(3k2+4)2-

6^如图，已知抛物线C：y2=2px和圆M：（x-4/+/=1,过抛物线C上一点H（x4y。）（y«21）作两条直线

与圆M相切于A、B两点，分别交抛物线C于E、F两点，圆心M到抛物线准线的距离为170

4

（1）求抛物线C的方程；

（2）当NAHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率；

（3）若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值。

解⑴•・•圆心M到抛物线准线的距离为工由①@(4-y2)x-yy-15+4y2=0

4oAoAo

•4/P\17ZH1

..4—(—)=，得p=同理可得：(4-y2)x-yy-154-4y2=0

oBoBo

242

・•.抛物线C的方程为r=x・••点A、B在直线(4-y：)x-y0y-15+4y：=0上

(2)连接HM,则HM是NAHB的角平分线

\•当x=0时，y=4y

:的心轴・・・H(4,2)°y°

.晶"ki"：=-k]]F

/.YE-2__y,.--2••15

x-4x-4*t'=4+2>0

EF

即医二在二At在yo^'l上单调递增

y-4y-4

:，tmin=4_15=-ll

yE+yl：=-4

(3)设点H(y：,y。)，A(xA,yA),B(xB,yB),

贝山=yi-y。，卜=八

AHTAM7

XA-y<>XA_4

VAHIAM

•yA=-i

x_yr^4

AoA

即x2-(4+y2)x+y2-yy+4『=0…①

AoAAoAo

•・,点A在圆M上

X2-8X+y2+I5=0…②

AAA

7x2y2ab

、椭圆C：—+—=1（a>b>0）,圆心在坐标原点，半径为的圆

a?b2Va2+b2

C>定义为椭圆C的“友好圆”。若椭圆C的离心率为e=更，且其短轴.上的一

3

个端点到右焦点F的距离为忑。

（1）求椭圆C的方程及其“友好圆”G的方程；

（2）过椭圆中心C的两条弦PR与QS互相垂直，试探讨四边形PQRS与圆G的位置关系:

（3）在（2）的条件下，求四边形PQRS面积的取值范围。

解(1)•・•点(0,ib)到点F(c,0)的距离为杼.・.|SP|2=I2(k2+I)2

A/C2+b2=$/=,得a?=3(3k2+l)(k2+3)

CJ.b?森|OS|2=3(k~+l).|OP|2=3(k-+1)

椭圆C的离心率为e=_=----------=—2

aa33k2+1k+3

设点O至I」SP的距离为d,由Rt^SOP面积得:

**-b2=1

2.=|OP"OSr=3,即d=^

二21

，椭圆C的方程为一+y=

|SP|242

3

・••点O到四边形PQRS四条边的距离均艰

7a2+b2+122

・・・圆C,的内切于四边形PQRS

，“友好圆”Ci的方程为x2+y2=2

4综上所述，四边形PQRS与圆G相切

（2）由于椭圆过原点的两条弦PR与QS互相垂直，<3）由（2）知，四边形PQRS的面积为:

S=4xl|SP|d=^3|SP|

由椭圆的对称性知，四边形PQRS为菱形

2

①当PR、QS分别与两坐标轴重合时，四边形PQRS

的顶点为椭圆C的四个端点，易得，原点到四条边的22

=6I(k+l)-=6:+.+

距离为ab「雷.则圆Ci的内切于四边形PQRS\(3k2+l)(k2+3)[3(Lk2)+10

Va2+b22Yk2

令由=1+k2,则ni22

②当PR、QS分别与两坐标轴不重合时

设直线QS的方程为丫=1«（k于0）,则直线PR

的方程为y=-1x,不妨令k>0,则点S、P、Q、RAS=6ljn±2=2聿11--

V3m+I0V3m+10

分别在第一、二、三、四象限内:.当m=2时,Smin=3

将y=kx代入椭圆C的方程得E+k2x2=1

当B]f+8,即k=0时，Smax二覆

故，四边形PQRS面积的取值范围为［3,再］

)

点S‘厚"层;

同理可得，点P（1但,匚匚）

Vk2+3Vk2+3

8、在平面直角坐标系xOy中，己知M(0,)、N(0,-忑),平面上一

动点P满足|PM|+|PN|=4,记点P的轨迹为P。

(1)求轨迹P的方程；

(2)设过点E(0,I)且不垂直于坐标轴的直线L：y=kx+b1与就迹P相

交于A、B两点；若y轴上存在一点Q,使得直线QA、QB关于y轴对称,

求出点Q的坐标；

(3)是否存在不过点E(0,1)且不垂直坐标轴的直线1,它与轨迹P及圆

E：x、(y-l)2=9从左至右依次交于C、D、F、G四点，且满足

ED-EC=^G-^F?若存在，求出当AOCG的面积S取得最小值时k2的

值；若不存在，请说明理由。

解(1)由题意知，轨迹P为以M、N为上下焦点,

222

长轴长为4的椭圆,Mb=a-c=4-3=l••t•k=k+4-----k=_|,得<~+4=3b

ra,—kb

，轨迹P的方程为X2-L£

=1k2+4

4

(2)直线1,的方程为y=kx+l由k—l?十4>0得：0<k2<5

故，存在满足题述条件的直”1.

代入椭圆P的方程得：(k2+4)x'+2kx-3=0

VH(土，1)A|EH|2=k"+1

T3--9"

・・・icGi=27^F=a^E

设点Q(0,m),则

2

y-m,yB-m|b|k+4

♦・•点o到CG的距离为d=而7T=*7T

kq,\------kqB-

XAXB

.・.S-J飒k2k2I4(1?+4硼-1<2

•・•直线QA、QB关于y轴对称/.k=-k

QAQB233正+19^2+l

.・.y,「m+yB—mkx^+l-m.kx^+l-m=0令k2+l=7.,ze(1.6),则

X”XRXAXB

HP(1-m)(x+x)+2kxx=02(z+3)2(81-z)

ABAB

81z

•-2k(l-m)-6k-2k(4-m)(Z+3)(-2Z2+81Z-243)

••==nu

k2+4k2+4

VkTtOm=4

令g(z)=-2z2+81z-243,由g(z)=O得

J点Q坐标为(0,4)

(3)设直线1的方程为y=kx+b(kKO,bWl)豆二厂或“"厂(舍去)

44

代入椭圆P方程得：(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0

易知Z|6(1,6),函数f(z)在(1,%)上单调递减,

由△>()得，k2-b2+4>0

,_-2kbb2-4在(z-6)上单调递增

-4+卡~k2+4瓦0=记口

，当2=2|时，函数f(z)有最小值

令DF的中点为H,则H(―,_4b).♦.当222二厂时，S取得最小值

22k=u誓

k+4k+44

令CG的中点为K

VED-EC=EG-EF,即El)+EF=EC+EG

I.EH=ER,即EH与EK、H与K重合

•・,由垂径定理知，EK11AEHll

9、已知点Ai(。，第)，Bi(曲，0),M(2,1),直线1：x=!事,若曲线C上的动点P到Bi的距岗等于P

3

到直线1的距离的a倍，且曲线C过点Ai.

(1)求曲线C的方程；

(2)设平行于OM(O为坐标原点)的直线h在y轴上的截距为m(mWO),且h交曲线C于两点A、B。

①求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形；

②若点A、B均位于y轴的右侧，求直线MA的斜率k1的取值范围。

解(1)设点P(x,y),由题意得:(xx=2(m2-2)>0

{(x访?+y2=a|x一押则有k八+xB=-2m>0»得一2vmv<2

[m2<4

由点Ai(0,第)得：

J(0-南+2袤不妨令A在B的右侧，则

a=--------4--------=Z

1。--泼I2

xA=-m+v4-in

3

3)

二•X2-2衣+6+y2=—x~—2jx+8・•・y=1x+m=m+d-m2

4

R2A2

整理得，曲线C的方程为1

82:.k:=1V4-m2-(2-m)

1

(2)易得k(=—X.A-22V4-m2-(2+m)

2

设直线h的方程为y=[x+m

2

2V2+m

代入曲线C的方程得：

设f(m)=_上♦则f'(m)=7<Q

x2+2mx+2m2-4=02+m(2+in)2

由△>()得：2且

m<4,mWO