2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市高二下学期6月期末测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试题第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题，由可得，.故选：A2.已知），若为纯虚数，则（）A.1 B.2 C.或 D.1或2【答案】B【解析】为纯虚数，故且，解得.故选：B.3.已知函数与是互为反函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数与是互为反函数，所以，则，，，，即正确的只有D.故选：D4.已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不放回地依次随机摸出2个球,共有种选择，则两次都摸到同色球共有种选择，故两次摸到同种颜色球的概率为，故选：A5.已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，，则或与相交，故不是充分条件，反之，若，，则，故是必要条件，故选：B．6.已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】向量在向量上的投影向量为，依题意，，即，因,代入解得，.故选：C.7.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若时，，则，满足题意，若，当，解得且，此时满足题意，若时，，此时，此时方程在只有一根，满足题意，若时，，此时，此时方程在只有一根，满足题意，当，得时，此时，此时方差的根为，满足题意，综上可得或故选：C8.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得,故，由于,当且仅当,以及时，等号成立，结合，因此，且,以及，故,因此，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若A，为两个随机事件，且，，则（）A.当A和互斥时，B.当A和互斥时，C.当A和相互独立时，D.当A和相互独立时，【答案】ABD【解析】对于A,当A和互斥时，,A正确，对于B,当A和互斥时，,B正确，对于C,当A和相互独立时，,故C错误，对于D，当A和相互独立时，A和也相互独立，故，D正确，故选：ABD10.若关于的一元二次不等式的解集为，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，由韦达定理，，故，，即，故B正确；对于C，由上分析可得，故C正确；对于D，由上分析可得，故D正确.故选：BCD.11.已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立,那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】A选项，，，……，，其中，不存在一个正实数，使得对都成立，A错误；B选项，，，，故此时，，，…，，…的周期为3，且，不妨取，满足要求，B正确；C选项，，，故此时，，，…，，…的周期为2，且，不妨取，满足要求，C正确；D选项，，，，，，……，依次计算，可以发现的实部和虚部的绝对值均趋向于，故不存在一个正实数，使得对都成立，D错误；故选：BC第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】设，由得，所以.故答案为：13.已知，则__________.【答案】34【解析】由，故答案为：14.已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______.【答案】7；【解析】由于平面平面，，，.为直角三角形，底面为矩形，所以四棱锥的内切球在的“正投影”是的内切圆，设的内切圆半径为，则，解得，所以内切球的半径为1，其表面积为．设，则平面平面，且交线为,平面,所以平面，同理平面，平面,故,故,由余弦定理可得，进而可得，由等体积法可得，化简可得，故（舍去），故答案为：7，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，是不共线的单位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因为，所以存在实数，使得，即，，所以；（2）因为，所以，即，所以即因为，所以.所以16.已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条对称轴距离为，且图象关于点对称.（1）求函数解析式；（2）若，求函数的值域.解：（1）由题意得，，.因，则，，又因为，且，所以.故.（2）设，因，则，而在上递减，在上递增，且，故，所以函数的值域为.17.为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）.（1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差.解：（1），即男生一周运动时长的平均数为7.3小时；中位数为第50百分位数，运动时长为的概率为，运动时长为的频率为，所以中位数落在区间内，由，得到，即中位数为.（2）该班级全体学生一周内运动时长的平均数，所以该班级全体学生一周内运动时长的方差18.如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且.（1）求证：平面平面；（2）已知.（i）若，求证：平面；（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.解：（1）由题可知为正三角形，取中点，连接，则，且，在中，，，，，所以，所以在中，，所以，因为，平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）①取中点，连接，，在中，因为，分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，而，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因，平面,所以平面平面，因为平面，所以平面.②过作交于点，过作交于，设与交于点，连接，，，同①，易证平面平面，又因为平面平面，平面平面，所以，由（1）可知平面，所以平面，所以就是直线与平面所成的角，所以，因为，所以，在中，，所以，在中，，所以，所以，所以，解得或，因为，故.19.已知函数.（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若，记函数在上的最小值为.（i）求；（ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围.解：（1）因为为奇函数，所以，所以.（2）（i）①若，则，当时，对称轴，所以在上单调递增，当时，若，即，则在上单调递减，如图：所以.若，即，则，若，即时，如图：则在上单调递增，在上单调递减，所以，②若，则，，对称轴，如图：所以在上单调递增，所以，综上，.（ii）若，则，所以，所以，若，则，所以，所以，综上，的取值范围为.浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试题第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题，由可得，.故选：A2.已知），若为纯虚数，则（）A.1 B.2 C.或 D.1或2【答案】B【解析】为纯虚数，故且，解得.故选：B.3.已知函数与是互为反函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数与是互为反函数，所以，则，，，，即正确的只有D.故选：D4.已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不放回地依次随机摸出2个球,共有种选择，则两次都摸到同色球共有种选择，故两次摸到同种颜色球的概率为，故选：A5.已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，，则或与相交，故不是充分条件，反之，若，，则，故是必要条件，故选：B．6.已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】向量在向量上的投影向量为，依题意，，即，因,代入解得，.故选：C.7.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若时，，则，满足题意，若，当，解得且，此时满足题意，若时，，此时，此时方程在只有一根，满足题意，若时，，此时，此时方程在只有一根，满足题意，当，得时，此时，此时方差的根为，满足题意，综上可得或故选：C8.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得,故，由于,当且仅当,以及时，等号成立，结合，因此，且,以及，故,因此，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若A，为两个随机事件，且，，则（）A.当A和互斥时，B.当A和互斥时，C.当A和相互独立时，D.当A和相互独立时，【答案】ABD【解析】对于A,当A和互斥时，,A正确，对于B,当A和互斥时，,B正确，对于C,当A和相互独立时，,故C错误，对于D，当A和相互独立时，A和也相互独立，故，D正确，故选：ABD10.若关于的一元二次不等式的解集为，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，由韦达定理，，故，，即，故B正确；对于C，由上分析可得，故C正确；对于D，由上分析可得，故D正确.故选：BCD.11.已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立,那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】A选项，，，……，，其中，不存在一个正实数，使得对都成立，A错误；B选项，，，，故此时，，，…，，…的周期为3，且，不妨取，满足要求，B正确；C选项，，，故此时，，，…，，…的周期为2，且，不妨取，满足要求，C正确；D选项，，，，，，……，依次计算，可以发现的实部和虚部的绝对值均趋向于，故不存在一个正实数，使得对都成立，D错误；故选：BC第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】设，由得，所以.故答案为：13.已知，则__________.【答案】34【解析】由，故答案为：14.已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______.【答案】7；【解析】由于平面平面，，，.为直角三角形，底面为矩形，所以四棱锥的内切球在的“正投影”是的内切圆，设的内切圆半径为，则，解得，所以内切球的半径为1，其表面积为．设，则平面平面，且交线为,平面,所以平面，同理平面，平面,故,故,由余弦定理可得，进而可得，由等体积法可得，化简可得，故（舍去），故答案为：7，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，是不共线的单位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因为，所以存在实数，使得，即，，所以；（2）因为，所以，即，所以即因为，所以.所以16.已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条对称轴距离为，且图象关于点对称.（1）求函数解析式；（2）若，求函数的值域.解：（1）由题意得，，.因，则，，又因为，且，所以.故.（2）设，因，则，而在上递减，在上递增，且，故，所以函数的值域为.17.为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）.（1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差.解：（1），即男生一周运动时长的平均数为7.3小时；中位数为第50百分位数，运动时长为的概率为，运动时长为的频率为，所以中位数落在区间内，由，得到，即中位数