2024-2025学年福建省福州市八县市联盟校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市八县市联盟校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则实数的值为（）A.5 B.3 C.10 D.5或3【答案】A【解析】因为，所以或，所以故选：A.2.年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目,假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，则，，则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率，故选：D.3.函数在处可导，若，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】，故，由导数的定义可知，.故选：B4.离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，解得，所以，又，故选：B.5.近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户.小米直播间共有位主播（男女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分三种情况讨论：小李（男）被选中，小红（女）没被选中，则需在另外名女主播中再选择一人，此时，不同的安排方案种数为种；小李（男）没被选中，小红（女）被选中，则需在另外名男主播中再选择一人，此时，不同的安排方案种数为种；小李（男）和小红（女）都被选中，此时不同的安排方案种数为种.综上所述，不同的安排方案种数为种.故选：C.6.定义的实数根叫函数的“躺平点”.若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，令可得，所以，所以是函数的“躺平点”，故，因为，所以，令可得，所以，所以是函数的“躺平点”，故，因为，所以，令可得，设函数，因为函数为增函数，在上单调递减，所以函数在上为单调递增，又，，所以函数在上有且只有一个零点，设其零点为，则，所以方程的解集为，所以是函数“躺平点”，即，，，且，所以，故选：C.7.已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，函数，的导函数，，若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；若，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，由函数在上的最大值为，可得，所以，又，所以；若，当时，，函数在上单调递减，函数在上的最大值为，满足条件，所以时，函数在上的最大值为.综上所述，的范围是.故选：D8.随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误，，，，，所有，.故选：C二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（）A. B.C.展开式常数项为 D.展开式中各项系数和为【答案】AC【解析】展开式的二项式系数的和，得，故A正确；故B错误；由二项式，常数项为，故C正确；令，展开式中各项系数和为，故D错误；故选：AC．10.随机变量分布列如下表，下列说法正确的是（

）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由已知结合分布列的性质可得，，，，B正确，当，，，时，，所以所以，即，A错误；，所以，所以，当，时等号成立，所以，当或时等号成立，C正确；，又，所以，故，D正确；故选：BCD.11.函数存在3个零点，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】函数的定义域为R，求导得，当时，函数在上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意；当时，由，得或；由，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，由函数存在3个零点，得，解得，所以实数的取值可以是，ACD是，B不是.故选：ACD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，，若，则________．【答案】【解析】对求导，因为是常数，所以.将代入，可得.已知，即，那么.因为，在这个区间内满足的的值为.故答案为：.13.某校“星火”与“冲锋”两支排球队采用五局三胜制比赛，“星火”队获胜的概率为0.4，且每轮比赛都分出胜负，则“星火”队不超过四局获胜的概率为_______．【答案】0.1792【解析】计算“星火”队三局获胜的概率：“星火”队三局获胜，即前三局“星火”队都获胜.因为每轮比赛结果相互独立，且“星火”队每局获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队三局获胜的概率为：计算“星火”队四局获胜的概率：“星火”队四局获胜，意味着前三局“星火”队胜局，第四局“星火”队获胜.从三局中选两局“星火”队获胜的组合数为，前三局“星火”队胜局的概率为，第四局“星火”队获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队四局获胜的概率为：计算“星火”队不超过四局获胜的概率：“星火”队三局获胜与四局获胜这两个事件是互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式，可得“星火”队不超过四局获胜的概率为：.故答案为：0.1792.14.某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有10支队伍参赛，其中4支队伍由女生主导（记为F组），6支队伍由男生主导（记为M组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件A为“第1个进行展示的队伍来自F组”，事件B为“第2个进行展示的队伍来自F组”．则__________，__________．【答案】；【解析】由题意可得事件B可以分为两种情况，即第一个进行展示的队伍来自组和第一个进行展示的队伍来自组，所以；，，所以，故答案为：；.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在的展开式中，求．（1）含项的系数；（2）求展开式中所有的有理项．解：（1）由题知展开式的通项为，，令，解得，所以展开式中含项，所以展开式中含项的系数为60.（2）令，∴当时，当时，当时，当时，综上所述，展开式中所有的有理项分别为16.某社区随机调查了100名居民的每日睡眠时长（小时），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数（保留两位小数）；（2）为进一步调查睡眠质量，采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每日睡眠时长在内的调查人数的分布列和数学期望．解：（1）由题意得所以所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：法1：因为：所以50%分位数一定位于内，由（小时），法2：由题意得所以所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：设第50百分位数为x，则，解得（2）每日睡眠时长在内居民人数的频率分别为，所以采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人中每日睡眠时长在内居民人数分别为，即人数分别为2，4，4，所以X可取0，1，2，3，，，，所以X的分布列为X0123P数学期望17.设曲线在处的切线与轴交于点.（1）求的值；（2）求函数的极值．解：（1）由，得令，则所以曲线在点处的切线方程为∵点在切线上，可得解得.（2）由（1）知且的定义域为，则令，解得则、、的变化情况如下：

单调递增单调递减单调递增所以在和上单调递增，在上单调递减；所以的极大值为，的极小值为.18.甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．（1）当时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得5分,失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．解：（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件于是，与为互斥事件，由于，则，即甲最终获胜的概率为.（2）由（1）可知，若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取则的分布列为：5则若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，0则的分布列为：30则所以答：方案一始终更优19.在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数”．（1）若是“超光洁函数”，求的取值范围；（2）已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程；（3）若，，，.证明：.（可用结论：当时，）解：（1）方法一：设，则，由题意可知恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，故，解得，方法二：设，则，由题意可知恒成立，故在上恒成立，即，在上恒成立，，（2）方法一：设直线与曲线相切于点，直线的斜率为，因为，则，设直线与曲线相切于点，因为，则，因此有，整理得，解得或，当时，的方程为，当时，的方程为，方法二：设直线与曲线相切于点，则，，设直线与曲线相切于点，则，，所以，整理得，解得或，当时，的方程为，当时，的方程为，（3）方法一：设，则，令，则，设，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，故，当且仅当时取等号，设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，故，当且仅当时取等号，所以ex-ln所以在上单调递增，又时，，所以时，，所以，所以g'x>0，即所以，即fa+b+ca+b+c所以，同理，，累加可得，即，方法二：，令，则，设，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，故，当且仅当时取等号，设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，故，当且仅当时取等号，所以ex-ln所以在上单调递增，令，，则，又单调递增，所以，则在上单调递增，又当，，所以时，，，所以，即fx+a>f所以，所以fc+a+b即.福建省福州市八县市联盟校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则实数的值为（）A.5 B.3 C.10 D.5或3【答案】A【解析】因为，所以或，所以故选：A.2.年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目,假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，则，，则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率，故选：D.3.函数在处可导，若，则（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】，故，由导数的定义可知，.故选：B4.离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，解得，所以，又，故选：B.5.近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户.小米直播间共有位主播（男女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分三种情况讨论：小李（男）被选中，小红（女）没被选中，则需在另外名女主播中再选择一人，此时，不同的安排方案种数为种；小李（男）没被选中，小红（女）被选中，则需在另外名男主播中再选择一人，此时，不同的安排方案种数为种；小李（男）和小红（女）都被选中，此时不同的安排方案种数为种.综上所述，不同的安排方案种数为种.故选：C.6.定义的实数根叫函数的“躺平点”.若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，令可得，所以，所以是函数的“躺平点”，故，因为，所以，令可得，所以，所以是函数的“躺平点”，故，因为，所以，令可得，设函数，因为函数为增函数，在上单调递减，所以函数在上为单调递增，又，，所以函数在上有且只有一个零点，设其零点为，则，所以方程的解集为，所以是函数“躺平点”，即，，，且，所以，故选：C.7.已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，函数，的导函数，，若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；若，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，由函数在上的最大值为，可得，所以，又，所以；若，当时，，函数在上单调递减，函数在上的最大值为，满足条件，所以时，函数在上的最大值为.综上所述，的范围是.故选：D8.随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误，，，，，所有，.故选：C二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（）A. B.C.展开式常数项为 D.展开式中各项系数和为【答案】AC【解析】展开式的二项式系数的和，得，故A正确；故B错误；由二项式，常数项为，故C正确；令，展开式中各项系数和为，故D错误；故选：AC．10.随机变量分布列如下表，下列说法正确的是（

）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由已知结合分布列的性质可得，，，，B正确，当，，，时，，所以所以，即，A错误；，所以，所以，当，时等号成立，所以，当或时等号成立，C正确；，又，所以，故，D正确；故选：BCD.11.函数存在3个零点，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】函数的定义域为R，求导得，当时，函数在上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意；当时，由，得或；由，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，由函数存在3个零点，得，解得，所以实数的取值可以是，ACD是，B不是.故选：ACD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，，若，则________．【答案】【解析】对求导，因为是常数，所以.将代入，可得.已知，即，那么.因为，在这个区间内满足的的值为.故答案为：.13.某校“星火”与“冲锋”两支排球队采用五局三胜制比赛，“星火”队获胜的概率为0.4，且每轮比赛都分出胜负，则“星火”队不超过四局获胜的概率为_______．【答案】0.1792【解析】计算“星火”队三局获胜的概率：“星火”队三局获胜，即前三局“星火”队都获胜.因为每轮比赛结果相互独立，且“星火”队每局获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队三局获胜的概率为：计算“星火”队四局获胜的概率：“星火”队四局获胜，意味着前三局“星火”队胜局，第四局“星火”队获胜.从三局中选两局“星火”队获胜的组合数为，前三局“星火”队胜局的概率为，第四局“星火”队获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队四局获胜的概率为：计算“星火”队不超过四局获胜的概率：“星火”队三局获胜与四局获胜这两个事件是互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式，可得“星火”队不超过四局获胜的概率为：.故答案为：0.1792.14.某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有10支队伍参赛，其中4支队伍由女生主导（记为F组），6支队伍由男生主导（记为M组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件A为“第1个进行展示的队伍来自F组”，事件B为“第2个进行展示的队伍来自F组”．则__________，__________．【答案】；【解析】由题意可得事件B可以分为两种情况，即第一个进行展示的队伍来自组和第一个进行展示的队伍来自组，所以；，，所以，故答案为：；.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在的展开式中，求．（1）含项的系数；（2）求展开式中所有的有理项．解：（1）由题知展开式的通项为，，令，解得，所以展开式中含项，所以展开式中含项的系数为60.（2）令，∴当时，当时，当时，当时，综上所述，展开式中所有的有理项分别为16.某社区随机调查了100名居民的每日睡眠时长（小时），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数（保留两位小数）；（2）为进一步调查睡眠质量，采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每日睡眠时长在内的调查人数的分布列和数学期望．解：（1）由题意得所以所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：法1：因为：所以50%分位数一定位于内，由（小时），法2：由题意得所以所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：设第50百分位数为x，则，解得（2）每日睡眠时长在内居民人数的频率分别为，所以采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人中每日睡眠时长在内居民人数分别为，即人数分别为2，4，4，所以X可取0，1，2，3，，，，所以X的分布列为X0123P数学期望17.设曲线在处的切线与轴交于点.（1）求的值；（2）求函数的极值．解：（1）由，得令，则所以曲线在点处的切线方程为∵点在切线上，可得解得.（2）由（1）知且的定义域为，则令，解得则、、的变化情况如下：

单调递增单调递减单调递增所以在和上单调递增，在上单调递减；所以的极大值为，的极小值为.18.甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．（1）当时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得5分,失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获