2025秋 名师金典新课标高考总复习 数学 课时分层作业15

课时分层作业(十五)(本试卷共83分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)一、单项选择题1．用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)B[令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因为函数y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是单调递增的，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是单调递增的，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2)．故选B.]2．(2025·绍兴期末)已知命题p：函数f(x)＝2x3＋x－a在(1,2]内有零点，则命题p成立的一个必要不充分条件是()A．3≤a<18 B．3<a<18C．a<18 D．a≥3D[函数f(x)＝2x3＋x－a在R上单调递增，由函数f(x)＝2x3＋x－a在(1,2]内有零点，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝3－a<0，,f2＝18－a≥0，))解得3<a≤18，即命题p成立的充要条件是3<a≤18.显然3<a≤18成立，不等式3≤a<18,3<a<18，a<18都不一定成立，而3<a≤18成立，不等式a≥3恒成立，反之，当a≥3时，3<a≤18不一定成立，所以命题p成立的一个必要不充分条件是a≥3.故选D.]3．已知函数h(x)是奇函数，且f(x)＝h(x)＋2，若x＝2是函数y＝f(x)的一个零点，则f(－2)＝()A．－4 B．0C．2 D．4D[因为x＝2是函数y＝f(x)的一个零点，则f(2)＝0，于是f(2)＝h(2)＋2＝0，即h(2)＝－2，而函数h(x)是奇函数，则有h(－2)＝－h(2)＝2，所以f(－2)＝h(－2)＋2＝4.故选D.]4．函数f(x)＝log2x－log4(x＋20)的零点为()A．4 B．4或5C．5 D．－4或5C[由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x＋20>0，))解得x>0，故f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f(x)＝log2x－log4(x＋20)＝0，得log4x2＝log4(x＋20)(x>0)，则x2＝x＋20，解得x＝5或x＝－4，又因为x>0，所以x＝5.故选C．]5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x<0，,1＋|x－1|，x≥0，))若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是()A．(1,2] B．(1,2)C．(0,1) D．[1，＋∞)A[因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1,2]．]6．函数f(x)是定义在R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为()A．6 B．7C．8 D．9B[令f(x)＝x2－x＝0，x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0.所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为7.]7．已知x1＋2x1＝0，x2＋log2x2＝0,3－x3－log2x3＝0，则()A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1A[设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f(－1)＝－eq\f(1,2)，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，由函数零点存在定理可知，－1<x1<0；设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)，g(1)＝1，即geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))g(1)<0，由函数零点存在定理可知，eq\f(1,2)<x2<1；设函数h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝eq\f(1,3)，h(x3)＝0，因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即－1<x1<0<x2<1<x3.]8．(2025·菏泽模拟)关于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋2－a，0≤x<3.5，,b－x，x≥3.5，))其中a，b∈R，给出下列四个结论：甲：5是该函数的零点．乙：4是该函数的零点．丙：该函数的所有零点之积为0.丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁B[当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点．即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，则f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5，可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋2－1，0≤x<3.5，,5－x，x≥3.5.))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1,0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误；②若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋2－1，0≤x<3.5，,4－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1,0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．综上，甲正确，乙错误．故选B.]二、多项选择题9．对于函数f(x)，若在其定义域内存在x0，使得f(x0)＝x0，则称x0为函数f(x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有()A．f(x)＝2x2＋eq\f(1,4) B．f(x)＝ex－3xC．f(x)＝ex－1－2lnx D．f(x)＝lnx－eq\f(2,x)BC[对于A，f(x)定义域为R，f(x)＝2x2＋eq\f(1,4)＝x，则2x2－x＋eq\f(1,4)＝0，由于Δ＝1－4×2×eq\f(1,4)<0，故方程无实数根，故A错误；对于B，f(x)定义域为R，f(x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据零点存在定理可知，g(x)在(0,1)上存在零点，故B正确；对于C，f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ex－1－2lnx＝x，由于f(1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f(x)的一个不动点，故C正确；对于D，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝lnx－eq\f(2,x)＝x，令F(x)＝lnx－eq\f(2,x)－x，则F′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x2)－1＝eq\f(－x2＋x＋2,x2)＝eq\f(－x－2x＋1,x2)，故当x>2时，f′(x)<0，F(x)单调递减，当0＜x＜2时，f′(x)>0，F(x)单调递增，故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值，故F(x)≤F(2)＝ln2－3<0，故f(x)＝lnx－eq\f(2,x)＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误．故选BC．]10．(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,\f(1,3)x3－x2－3x＋8，x>0，))函数g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1，则下列结论正确的是()A．f(x)有3个零点B．g(x)可能有6个零点C．若g(x)恰有2个零点，则m的取值范围是(－∞，－2)∪[9，＋∞)D．若g(x)恰有5个零点，则m的取值范围是(0,2]AC[根据题意，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,\f(1,3)x3－x2－3x＋8，x>0，))当x≤0时，则f(x)在(－∞，0)上为增函数，与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))；当x>0时，f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋8，其导数f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，在区间(0,3)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(3，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，且f(0)＝8，f(3)＝－1，f(4)＝eq\f(4,3).所以f(x)的大致图象如图所示．对于A，由f(x)的图象可知，其图象与x轴有3个交点，即f(x)有3个零点，A正确；对于B，g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1，若g(x)＝0，即[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1＝0，解得f(x)＝m－1或f(x)＝m＋1，若g(x)有6个零点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1≤1，,－1<m＋1≤1，))解得m的解集为∅，故g(x)不可能有6个零点，B错误；对于C，若g(x)恰有2个零点，必有m－1≥8或m＋1<－1，解得m≥9或m<－2，即m的取值范围为(－∞，－2)∪[9，＋∞)，C正确；对于D，若g(x)恰有5个零点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－1，,－1<m＋1≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1≤1，,1<m＋1<8，))解得0≤m≤2，即m的取值范围为[0,2]，D错误．故选AC．]三、填空题11．函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________.(x－1)2(答案不唯一)[函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，且“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题，可知函数f(x)满足在(0,2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f(x)＝(x－1)2.]12．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝4x，则函数g(x)＝f(x)＋eq\f(1,x－1)在[－2,4]上的零点之和为________.6[因为函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝eq\f(1,2)，又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，又f(x＋1)＝f(－x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)的周期为2，又因为当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝4x，作出函数f(x)和y＝－eq\f(1,x－1)的简图如图所示，由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点(1,0)对称的，且关于点(1,0)对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为3×2＝6.]13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(lnx))，x>0，,x2＋2x－1，x≤0，))若方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为()A．0<a<1 B．0<a<2C．a>1 D．a>2B[作出函数f(x)的图象如图．依题意方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，即y＝f(x)与y＝ax－1有且仅有三个交点，因为y＝ax－1必过点(0，－1)，且f(0)＝－1，若a≤0，方程f(x)＝ax－1不可能有三个实数解，则必有a>0，当直线y＝ax－1与y＝lnx在x>0时相切时，设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x)＝eq\f(1,x)，即f′(x0)＝eq\f(1,x0)，则切线方程为y－y0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(1,x0)·x＋y0－1＝eq\f(1,x0)·x＋lnx0－1，因为切线方程为y＝ax－1，所以a＝eq\f(1,x0)且lnx0－1＝－1，则x0＝1，所以a＝1，即当a>0时y＝ax－1与y＝f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个交点，要使方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，则当x≤0时f(x)＝x2＋2x－1与y＝ax－1有两个交点，设直线y＝ax－1与f(x)＝x2＋2x－1切于点(0，－1)，此时f′(x)＝2x＋2，则f′(0)＝2，即a＝2，所以0<a<2.故选B.]14．(多选)(2025·日照模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－kx＋1，x≤0，,log2x，x>0，))下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的说法中正确的是()A．当k>1时，有1个零点B．当k＝－2时，有3个零点C．当0＜k＜1时，有4个零点D．当k＝－4时，有7个零点ABD[令y＝0，得f(f(x))＝－1，设f(x)＝t，则方程f(f(x))＝－1等价为f(t)＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为直线x＝eq\f(k,2).对于A，当k>1时，作出函数f(x)的图象，因为f(t)＝－1，此时方程f(t)＝－1有一个根t＝eq\f(1,2)，由f(x)＝eq\f(1,2)可知，此时x只有一解，即函数y＝f(f(x))＋1有1个零点，故A正确；对于B，当k＝－2时，作出函数f(x)的图象，因为f(t)＝－1，此时方程f(t)＝－1有一个根t＝eq\f(1,2)，由f(x)＝eq\f(1,2)可知，此时x有3个解，即函数y＝f(f(x))＋1有3个零点，故B正确；对于C，当0＜k＜1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误；对于D，当k＝－4时，作出函数f(x)的图象，因为f(t)＝－1，所以方程f(t)＝－1有3个根，其中t1＝eq\f(1,2)，t2∈(－1,0)，t3∈(－4，－3)，由f(x)＝eq\f(1,2)可知，此时x有3个解，由f(x)＝t2∈(－1,0)可知，此时x有3个解，由f(x)＝t3∈(－4，－3)可知，此时x有1个解，即函数y＝f(f(x))＋1有7个零点，故D正确．故选ABD.]15．已知函数f(x)＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)≤x≤e2))，g(x)＝e－eq\f(x＋1,2)＋1，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x＋1对称，则实数k的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，e)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,e2)，2e))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,e)，2e)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,e)，3e))C[设(x0，y0)是函数g(x)的图象上的任意一点，其关于y＝x＋1对称的点的坐标为(x，y)，所以x＝y0－1，y＝x0＋1，所以函数g(x)关于